1、1.5.3 微积分基本定理明目标、知重点 1.直观了解并掌握微积分基本定理的含义.2.会利用微积分基本定理求函数的积分1微积分基本定理对于被积函数 f(x)，如果 F(x) f (x)，那么 f(x)dxF (b)F( a)，ba即 F(x)d xF(b)F (a)ba2定积分和曲边梯形面积的关系设曲边梯形在 x 轴上方的面积为 S 上 ，x 轴下方的面积为 S 下 ，则(1)当曲边梯形的面积在 x 轴上方时，如图(1)，则 f(x)dxS 上ba(2)当曲边梯形的面积在 x 轴下方时，如图(2)，则 f(x)dxS 下ba(3)当曲边梯形的面积在 x 轴上方、x 轴下方均存在时，如图(3)，
2、则 f(x)dxS 上 S 下 ，若baS 上 S 下 ，则 f(x)dx0.ba情境导学从前面的学习中可以发现，虽然被积函数 f(x)x 3 非常简单，但直接用定积分的定义计算 x3dx 的值却比较麻烦有没有更加简便、有效的方法求定积分呢？另外，我们已经学习了10两个重要的概念导数和定积分，这两个概念之间有没有内在的联系呢？我们能否利用这种联系求定积分呢？探究点一 微积分基本定理思考 1 如下图，一个做变速直线运动的物体的运动规律是 sy(t)，并且 y(t)有连续的导数，由导数的概念可知，它在任意时刻 t 的速度 v(t)y(t )设这个物体在时间段a，b内的位移为 s，你能分别用 y(t
3、)，v(t)表示 s 吗？答 由物体的运动规律是 sy(t)知：sy(b) y(a)，通过求定积分的几何意义，可得 s v(t)dt y( t)dt，ba ba所以 v(t)dt y( t)dty(b )y (a)其中 v(t)y ( t)ba ba小结 (1)一般地，如果 f(x)是区间 a，b上的连续函数，并且 F(x)f(x) ，那么 f(x)badxF(b)F (a)这个结论叫做微积分基本定理(2)运用微积分基本定理求定积分 f(x)dx 很方便，其关键是准确写出满足 F( x)f(x) 的baF(x)思考 2 对一个连续函数 f(x)来说，是否存在唯一的 F(x)，使 F( x)f(
4、x)？若不唯一，会影响微积分基本定理的唯一性吗？答 不唯一，根据导数的性质，若 F(x)f(x) ，则对任意实数 c， F(x)c F(x)cf(x) 不影响，因为 f(x)dx F(b)cF (a)c F(b)F( a)ba例 1 计算下列定积分：(1) dx；(2) (2x )dx；(3) (cos xe x)dx.211x 31 1x2 0 解 (1)因为(ln x) ，1x所以 dxln 2ln 1ln 2.211x(2)因为(x 2)2x ，( ) ，1x 1x2所以 (2x )dx 2xdx dx311x2 31 311x2x 2| |311x31(91)( 1) .13 223(
5、3)因为(sin x)cos x ，(e x)e x，所以 (cos xe x)dx cos xdx exdx0 0 0 sin x| e x| 1.0 0 1e反思与感悟 求简单的定积分关键注意两点：(1)掌握基本函数的导数以及导数的运算法则，正确求解被积函数的原函数，当原函数不易求时，可将被积函数适当变形后再求解；(2)精确定位积分区间，分清积分下限与积分上限跟踪训练 1 若 S1 x2dx，S 2 dx，S 3 exdx，则 S1，S 2，S 3 的大小关系为21 211x 21_答案 S 2 .21 2173所以 S20，所以 f(1)lg 10.又 x0 时，f(x)x 3t2dtx
6、t 3| xa 3，a0 a0所以 f(0)a 3.因为 ff(1)1，所以 a31，解得 a1.9设函数 f(x)ax 2c (a0)，若 f(x)dxf (x0)，0x 01，则 x0 的值为_10答案 33解析 (ax2c )dxax c，10 20 ax ，a3 20a0，x ，2013又 0x 01，x 0 .3310.设 f(x)是一次函数，且 f(x)dx5， xf(x)dx ，则 f(x)的解析式为_10 10176答案 f(x) 4x3解析 因为 f(x)是一次函数，设 f(x)axb(a0) ，则 f(x)dx (axb)d x axdx bdx ab5， xf(x)dx
7、x(axb)dx (ax2)10 10 10 1012 10 10 10dx bxdx a b .1013 12 176由Error!得Error!11.已知 f(a) (2ax2a 2x)dx，求 f(a)的最大值10解 ( ax3 a2x2)2ax 2a 2x，23 12 (2ax2a 2x)dx( ax3 a2x2)|1023 12 10 a a2，23 12即 f(a) a a2 (a2 a )23 12 12 43 49 29 (a )2 ，12 23 29当 a 时，f(a)有最大值 .23 2912.物体 A 以速度 vA3t 21(米/ 秒) 在一直线上运动，同时物体 B 也以
8、速度 vB10t(米/秒)在同一直线上与物体 A 同方向运动，问多长时间物体 A 比 B 多运动 5 米，此时，物体 A，B运动的距离各是多少？解 设 a 秒后物体 A 比 B 多运动 5 米，则A 从开始到 a 秒末所走的路程为sA vAdt (3t21)dta 3a；a0 a0B 从开始到 a 秒末所走的路程为sB vBdt 10tdt5a 2.a0 a0由题意得 sAs B5，即 a3a5a 25，得 a5.此时 sA5 35130(米)，s B55 2125(米) 故 5 秒后物体 A 比 B 多运动 5 米，此时，物体 A，B 运动的距离分别是 130 米和 125 米三、探究与拓展13求由抛物线 yx 24 与直线 yx2 所围成图形的面积解 由Error!得Error!或Error!所以直线 yx 2 与抛物线 yx 24 的交点为(3,5) 和(2,0)，设所求图形面积为 S，根据图形可得 S (x 2)dx (x24)d x2 3 2 3(2x x2)| ( x34x)|12 2 3 13 2 3 ( ) .252 253 1256
