1、习题课 综合法和分析法明目标、知重点加深对综合法、分析法的理解，应用两种方法证明数学问题1综合法综合法是中学数学证明中最常用的方法，它是从已知到未知，从题设到结论的逻辑推理方法，即从题设中的已知条件或已证的真实判断出发，经过一系列的中间推理，最后导出所要求证的命题综合法是一种由因导果的证明方法综合法的证明步骤用符号表示是： P0(已知) P1P2Pn(结论)2分析法分析法是指从需证的问题出发，分析出使这个问题成立的充分条件，使问题转化为判定那些条件是否具备，其特点可以描述为“执果索因” ，即从未知看需知，逐步靠拢已知分析法的书写形式一般为“因为，为了证明，只需证明，即，因此，只需证明，因为成立
2、，所以，结论成立” 分析法的证明步骤用符号表示是： P0(已知) Pn2 Pn1 Pn(结论)分析法属逻辑方法范畴，它的严谨体现在分析过程步步可逆题型一 选择恰当的方法证明不等式例 1 设 a， b， c 为任意三角形三边长， I a b c， S ab bc ca，试证：3 S I20，ab 2 0，1a 1b 1ab( a b)( )4.1a 1b又 a b1， 4.1a 1b方法三 1 122 4.当且仅当 a b 时，取“”号1a 1b a ba a bb ba ab baab题型二 选择恰当的方法证明等式例 2 已知 ABC 的三个内角 A， B， C 成等差数列，对应的三边为 a，
3、 b， c，求证： 1a b .1b c 3a b c证明 要证原式，只需证 3，a b ca b a b cb c即证 1，即只需证 1，ca b ab c bc c2 a2 abab b2 ac bc而由题意知 A C2 B， B ， b2 a2 c2 ac， 3 bc c2 a2 abab b2 ac bc bc c2 a2 abab a2 c2 ac ac bc 1，bc c2 a2 abab a2 c2 bc原等式成立，即 .1a b 1b c 3a b c反思与感悟 综合法推理清晰，易于书写，分析法从结论入手易于寻找解题思路在实际证明命题时，常把分析法与综合法结合起来使用，称为分析
4、综合法，其结构特点是：根据条件的结构特点去转化结论，得到中间结论 Q；根据结论的结构特点去转化条件，得到中间结论P；若由 P 可推出 Q，即可得证跟踪训练 2 设实数 a， b， c 成等比数列，非零实数 x， y 分别为 a 与 b， b 与 c 的等差中项，试证： 2.ax cy证明 由已知条件得b2 ac，2x a b,2y b c.要证 2，ax cy只要证 ay cx2 xy，只要证 2ay2 cx4 xy.由得 2ay2 cx a(b c) c(a b) ab2 ac bc，4xy( a b)(b c) ab b2 ac bc ab2 ac bc，所以 2ay2 cx4 xy.命题
5、得证题型三 立体几何中位置关系的证明例 3 如图，在四棱锥 P ABCD 中， PA底面 ABCD， AB AD， AC CD， ABC60，PA AB BC， E 是 PC 的中点(1)证明： CD AE；(2)证明： PD平面 ABE.证明 (1)在四棱锥 P ABCD 中， PA底面 ABCD， CD底面 ABCD， PA CD. AC CD， PA AC A， CD平面 PAC，而 AE平面 PAC， CD AE.(2)由 PA AB BC， ABC60，可得 AC PA， E 是 PC 的中点， AE PC.由(1)知， AE CD，且 PC CD C，所以 AE平面 PCD.而 P
6、D平面 PCD， AE PD. PA底面 ABCD， PA AB，又 AB AD， AB平面 PAD， AB PD，又 AB AE A，综上得 PD平面 ABE.反思与感悟 综合法证明线面之间的垂直关系是高考考查的重点，利用垂直的判定定理和性质定理可以进行线线、线面以及面面之间垂直关系的转化另外，利用一些常见的结论还常常可以将线面间的垂直与平行进行转化比如：两条平行线中一条垂直于平面 ，则另外一条也垂直于平面 ；垂直于同一条直线的两个平面相互平行等跟踪训练 3 如图，正方形 ABCD 和四边形 ACEF 所在的平面互相垂直，EF AC， AB ， CE EF1.2(1)求证： AF平面 BDE
7、；(2)求证： CF平面 BDE.证明 (1)如图，设 AC 与 BD 交于点 G.因为 EF AG，且 EF1，AG AC1，12所以四边形 AGEF 为平行四边形所以 AF EG.因为 EG平面 BDE，AF平面 BDE，所以 AF平面 BDE.(2)连接 FG.因为 EF CG， EF CG1，且 CE1，所以四边形 CEFG 为菱形所以 CF EG.因为四边形 ABCD 为正方形，所以 BD AC.又因为平面 ACEF平面 ABCD，且平面 ACEF平面 ABCD AC，所以 BD平面 ACEF.所以 CF BD.又 BD EG G，所以 CF平面 BDE.呈重点、现规律1综合法的特点
8、是：从已知看可知，逐步推出未知2分析法的特点是：从未知看需知，逐步靠拢已知3分析法和综合法各有优缺点分析法思考起来比较自然，容易寻找到解题的思路和方法，缺点是思路逆行，叙述较繁；综合法从条件推出结论，较简捷地解决问题，但不便于思考实际证题时常常两法兼用，先用分析法探索证明途径，然后再用综合法叙述出来.一、基础过关1已知 a0， b0，且 a b2，则( )A a B ab12 12C a2 b22 D a2 b23答案 C解析 a b22 ， ab1.ab a2 b242 ab， a2 b22.2已知 a、 b、 c、 d正实数，且 2 ，2 ab ，a b22 12又0bc解析 a ， b
9、， c . abc.13 2 16 5 17 66如图所示， SA平面 ABC， AB BC，过 A 作 SB 的垂线，垂足为 E，过 E 作 SC 的垂线，垂足为 F.求证： AF SC.证明：要证 AF SC，只需证 SC平面 AEF，只需证 AE SC(因为_)，只需证_，只需证 AE BC(因为_)，只需证 BC平面 SAB，只需证 BC SA(因为_)由SA平面 ABC 可知，上式成立答案 EF SC AE平面 SBC AE SB AB BC解析 要证线线垂直，可先证线面垂直，要证线面垂直，还需线线垂直，通过证明 BC平面SAB，可得 AE BC，进而 AE平面 SBC， SC平面
10、AEF，问题得证7如果 a， b 都是正数，且 a b，求证： .ab ba a b证明 方法一 用综合法 ab ba a b aa bb ab baab 0，a ba bab a b2a bab .ab ba a b方法二 用分析法要证 ，ab ba a b只要证 2 a b2 ，a2b b2a ab ab即要证 a3 b3a2b ab2，只需证( a b)(a2 ab b2)ab(a b)，即需证 a2 ab b2ab，只需证( a b)20，因为 a b，所以( a b)20 恒成立，所以 成立ab ba a b二、能力提升8命题甲：( )x、2 x、2 x4 成等比数列；命题乙：lg
11、x、lg( x2)、lg(2 x1)成等差数列，14则甲是乙的( )A充分不必要条件 B必要不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件答案 C解析 由( )x、2 x、2 x4 成等比数列可得：(2 x)2( )x2x4 ，解得 x4；由 lg 14 14x、lg( x2)、lg(2 x1)成等差数列得：2lg( x2)lg xlg(2 x1)，可解得x4( x1 舍去)，所以甲是乙的充要条件. 9若 ab1， P ， Q (lg alg b)， Rlg( )，则( )lg alg b12 a b2A Rb1lg a0，lg b0， Q (lg alg b) P，12 lg alg bRlg
12、 (lg alg b) QRQP.ab1210已知 、 为实数，给出下列三个论断： 0；| |5；| |2 ，| |2 .以其中的两个论断为条件，另一个论断2 2为结论，你认为正确的命题是_答案 解析 0，| |2 ，| |2 .2 2| |2 2 22 88283225.| |5.11已知 a0，求证： a 2.a2 1a2 2 1a证明 要证 a 2，a2 1a2 2 1a只要证 2 a .a2 1a2 1a 2 a0，故只要证 2 2，(a2 1a2 2) (a 1a 2)即 a2 4 4 a22 2 2，1a2 a2 1a2 1a2 2(a 1a)从而只要证 2 ，a2 1a2 2(a
13、 1a)只要证 4 2 ，(a21a2) (a2 2 1a2)即 a2 2，而该不等式显然成立，故原不等式成立1a212已知 a、 b、 cR，且 a b c1，求证：( 1)( 1)( 1)8.1a 1b 1c证明 方法一 (分析法)要证( 1)( 1)( 1)8 成立，1a 1b 1c只需证 8 成立1 aa 1 bb 1 cc因为 a b c1，所以只需证 8 成立，a b c aa a b c bb a b c cc即证 8 成立b ca a cb a bc而 8 成立b ca a cb a bc 2bca 2acb 2abc( 1)( 1)( 1)8 成立1a 1b 1c方法二 (综
14、合法)( 1)( 1)( 1)1a 1b 1c( 1)( 1)( 1)a b ca a b cb a b cc b ca a cb a bc b ca ca babc 8，2bc2ac2ababc当且仅当 a b c 时取等号，所以原不等式成立13设数列 an的前 n 项和为 Sn，已知 a11， an1 n2 n ， nN *.2Snn 13 23(1)求 a2的值；(2)求数列 an的通项公式；(3)证明：对一切正整数 n，有 0 时，欲证原不等式成立，只需证(ac bd)2( a2 b2)(c2 d2)即证 a2c22 abcd b2d2 a2c2 a2d2 b2c2 b2d2.即证 2abcd b2c2 a2d2即证 0( bc ad)2.因为 a， b， c， dR，所以上式恒成立故原不等式成立，综合知，命题得证方法二 (用综合法)(a2 b2)(c2 d2) a2c2 a2d2 b2c2 b2d2( a2c22 acbd b2d2)( b2c22 bcad a2d2)( ac bd)2( bc ad)2( ac bd)2.
