1、2.3.2 双曲线的几何性质课时目标 1.掌握双曲线的简单几何性质.2.了解双曲线的渐近性及渐近线的概念.3.掌握直线与双曲线的位置关系1双曲线的几何性质标准方程 1x2a2 y2b2(a0，b0) 1y2a2 x2b2(a0， b0)图形焦点焦距范围对称性顶点轴长 实轴长_，虚轴长_离心率性质渐近线2.(1)双曲线的对称中心叫做双曲线的_；(2)双曲线 1 的两个顶点为 A1(a,0)、A 2(a,0)设 B1(0，b) 、B 2(0，b)，线x2a2 y2b2段 A1A2 叫做双曲线的_，它的长等于 2a，a 叫做双曲线的实半轴长，线段B1B2 叫做双曲线的_，它的长等于 2b，b 叫做双
2、曲线的虚半轴长实轴和虚轴等长的双曲线叫做_双曲线，等轴双曲线的渐近线方程为_(3)当双曲线的离心率 e 由小变大时，双曲线的形状就从扁狭逐渐变得_，原因是 ，当 e 增大时， 也增大，渐近线的斜率的绝对值 _ba e2 1 ba一、填空题1设双曲线 1(a0， b0)的虚轴长为 2，焦距为 2 ，则双曲线的渐近线方程x2a2 y2b2 3为_2以双曲线 1 的右焦点为圆心，且与其渐近线相切的圆的方程是x29 y216_3双曲线与椭圆 4x2y 21 有相同的焦点，它的一条渐近线方程为 y x，则双曲2线的方程为_4已知双曲线 1 (a0，b0)的左、右焦点分别为 F1、F 2，P 是双曲线上一
3、点，x2a2 y2b2且 PF1PF 2，PF 1PF24ab，则双曲线的离心率是_. 5已知双曲线 1 (a0，b0)的左、右焦点分别为 F1、F 2，点 P 在双曲线的右x2a2 y2b2支上，且 PF14PF 2，则此双曲线的离心率 e 的最大值为_6两个正数 a、b 的等差中项是 ，一个等比中项是 ，且 ab，则双曲线 152 6 x2a2 y2b2的离心率 e_.7在ABC 中，a，b，c 分别是A ，B，C 的对边，且 a10，cb6，则顶点 A 运动的轨迹方程是_ 8与双曲线 1 有共同的渐近线，并且经过点(3，2 )的双曲线方程为x29 y216 3_二、解答题9根据下列条件，
4、求双曲线的标准方程(1)经过点 ，且一条渐近线为 4x3y0；(154，3)(2)P(0,6)与两个焦点连线互相垂直，与两个顶点连线的夹角为 .310已知双曲线的渐近线方程为 3x4y0，求此双曲线的离心率能力提升11设双曲线的一个焦点为 F，虚轴的一个端点为 B，如果直线 FB 与该双曲线的一条渐近线垂直，那么此双曲线的离心率为_12过双曲线 1 (a0，b0)的右焦点 F 作双曲线斜率大于零的渐近线的垂线x2a2 y2b2l，垂足为 P，设 l 与双曲线的左、右两支相交于点 A、B.(1)求证：点 P 在直线 x 上；a2c(2)求双曲线的离心率 e 的范围；1双曲线 1 (a0，b0)既
5、关于坐标轴对称，又关于坐标原点对称；其顶点为x2a2 y2b2(a，0)，实轴长为 2a，虚轴长为 2b；其上任一点 P(x，y)的横坐标均满足|x|a.2双曲线的离心率 e 的取值范围是(1，) ，其中 c2a 2b 2，且 ，离心ba e2 1率 e 越大，双曲线的开口越大3双曲线 1 (a0，b0)的渐近线方程为 y x，也可记为 0；与双x2a2 y2b2 ba x2a2 y2b2曲线 1 具有相同渐近线的双曲线的方程可表示为 ( 0)x2a2 y2b2 x2a2 y2b223.2 双曲线的几何性质知识梳理1.标准方程 1(a0，b0)x2a2 y2b2 1(a0，b0)y2a2 x2
6、b2图形焦点 F1(c,0)，F 2(c,0) F1(0，c )，F 2(0，c)焦距 |F1F2|2c范围 xa 或 xa，yR ya 或 ya，xR对称性 关于 x 轴、y 轴和原点对称顶点 (a,0)，(a,0) (0，a)，(0，a)轴长 实轴长2a，虚轴长2b离心率 e (e1)ca性质渐近线 y xbay xab2.(1)中心 (2)实轴 虚轴 等轴 yx(3)开阔 增大作业设计1y x22解析 由题意知，2b2,2c2 ，则 b1，c ，a ；双曲线的渐近线方程为3 3 2y x.222x 2y 210x 90解析 双曲线 1 的右焦点为(5,0)，渐近线为 y x，即 4x3y
7、0.x29 y216 43r 4.|45|42 32所求圆方程为(x5) 2y 216，即 x2y 210x 90.32y 24x 21解析 由于椭圆 4x2y 21 的焦点坐标为 ，则双曲线的焦点坐标为 ，(0， 32) (0， 32)又由渐近线方程为 y x，得 ，即 a22b 2，又由 2a 2b 2，得 a2 ，b 22ab 2 ( 32) 12，又由于焦点在 y 轴上，因此双曲线的方程为 2y24x 2 1.144. 5解析 由题意，|PF 1PF 2|2a，PF PF 4c 2.21 2平方得 PF PF 2PF 1PF24a 2，21 2即 4c28ab4a 2，因此 b2a.由
8、于 c2a 24a 2，因此 c25a 2，即 e .55.53解析 |PF 1PF 2|2a，即 3PF22a，所以 PF2 c a，即 2a3c 3a，即 5a3c，2a3则 .ca 536.133解析 ab5，ab6，解得 a，b 的值为 2 或 3.又 ab，a3，b2.c ，从而 e .13ca 1337. 1( x3)x29 y216解析 以 BC 所在直线为 x 轴，BC 的中点为原点建立直角坐标系，则 B(5,0)，C(5,0)，而 ABAC63)x29 y2168. 1x294 y24解析 所求双曲线与双曲线 1 有相同的渐近线，可设所求双曲线的方程x29 y216为 (0)
9、x29 y216点(3,2 )在双曲线上，3 . 329 23216 14所求双曲线的方程为 1.x294 y249解 (1)因直线 x 与渐近线 4x3y0 的交点坐标为 ，而 30 时，焦点在 x 轴上，c 216925，所以 e .ca 54 54当 0 ，b0)，如图所示，双曲线的一条渐近线方程为x2a2 y2b2y x，ba而 kBF ， ( )1，整理得 b2ac.bc ba bcc 2a 2ac0，两边同除以 a2，得 e2e10，解得 e 或 e (舍去)1 52 1 5212(1)证明 设双曲线的右焦点为 F(c,0)，斜率大于零的渐近线方程为 y x.ba则 l 的方程为 y (xc)，从而点 P 坐标为 .因此点 P 在直线 x 上ab (a2c，abc) a2c(2)解 由Error! 消去 y 得(b 4a 4)x22a 4cx a2(a2c2b 4)0.A、B 两点分别在双曲线左、右两支上，设 A、B 两点横坐标分别为 xA、x B.由 b4a 40 且 xAxBa2.即 1，e .b2a2 1 b2a2 2故 e 的取值范围为( ， )2
