1、1.2.2 基本初等函数的导数公式及导数的运算法则(三)明目标、知重点1了解复合函数的概念，掌握复合函数的求导法则2能够利用复合函数的求导法则，并结合已经学过的公式、法则进行一些复合函数的求导(仅限于形如 f(axb)的导数)1概念一般地，对于两个函数 yf(u)和 ug(x) ，如果通过变量 u，y 可以表示成 x 的函数，那么称这个函数为 yf( u)和 ug(x) 的复合函数，记作 yf(g(x)2复合函数的求导法则复合函数 yf(g(x)的导数和函数 yf (u)，ug( x)的导数间的关系为 yxy u ux.即 y 对x 的导数是 y 对 u 的导数与 u 对 x 的导数的乘积探究
2、点一 复合函数的定义思考 1 观察函数 y2x cos x 及 yln(x2)的结构特点，说明它们分别是由哪些基本函数组成的？答 y2xcos x 是由 u2x 及 vcos x 相乘得到的；而 yln(x2) 是由 ux2 与 yln u(x2)经过“ 复合”得到的，即 y 可以通过中间变量 u 表示为自变量 x 的函数所以它们称为复合函数思考 2 对一个复合函数，怎样判断函数的复合关系？答 复合函数是因变量通过中间变量表示为自变量的函数的过程在分析时可以从外向里出发，先根据最外层的主体函数结构找出 yf (u)；再根据内层的主体函数结构找出函数ug(x)，函数 yf( u)和 ug(x)复
3、合而成函数 yf (g(x)思考 3 在复合函数中，内层函数的值域 A 与外层函数的定义域 B 有何关系？答 AB .小结 要特别注意两个函数的积与复合函数的区别，对于复合函数，要掌握引入中间变量，将其分拆成几个基本初等函数的方法例 1 指出下列函数是怎样复合而成的：(1)y(35x) 2；(2)y log 3(x22x5)；(3)ycos 3x.解 (1)y(35x) 2 是由函数 yu 2，u35x 复合而成的；(2)ylog 3(x2 2x5)是由函数 ylog 3u，ux 22x5 复合而成的；(3)ycos 3x 是由函数 ycos u，u3x 复合而成的小结 分析函数的复合过程主要
4、是设出中间变量 u，分别找出 y 和 u 的函数关系，u 和 x 的函数关系跟踪训练 1 指出下列函数由哪些函数复合而成：(1)yln ；(2) ye sin x；(3) ycos ( x1) x 3解 (1)yln u，u ；x(2)ye u，usin x；(3)ycos u，u x1.3探究点二 复合函数的导数思考 如何求复合函数的导数？答 对于简单复合函数的求导，其一般步骤为“分解求导回代” ，即：(1)弄清复合关系，将复合函数分解成基本初等函数形式；(2)利用求导法则分层求导； (3)最终结果要将中间变量换成自变量注意不要漏掉第(3)步回代的过程例 2 求下列函数的导数：(1)y(2x
5、1) 4；(2)y ；11 2x(3)ysin(2x )；(4) y10 2x3 .3解 (1)原函数可看作 yu 4，u2x1 的复合函数，则 yxy uu x(u 4)(2 x1)4u 328(2 x1) 3.(2)y (12x) 可看作 yu ，u12x 的复合函数，则 yxy uu x( )11 2x 12 12 12u (2) (12x) ；32 32 11 2x 1 2x(3)原函数可看作 ysin u，u2x 的复合函数，3则 yxy u uxcos u( 2) 2cos(2x )32cos(2x )3(4)原函数可看作 y10 u，u2x3 的复合函数，则 yxy u ux10
6、 2x3 ln 102(ln 100)10 2x3 .反思与感悟 分析复合函数的结构，找准中间变量是求导的关键，要善于把一部分量、式子暂时看作一个整体，并且它们必须是一些常见的基本函数复合函数的求导熟练后，中间步骤可以省略，不必再写出函数的复合过程，直接运用公式，从外层开始由外及内逐层求导跟踪训练 2 求下列函数的导数(1)y(2x3) 3；(2)ye 0.05x1 ；(3)ysin( x)解 (1)函数 y(2x3) 2 可以看成函数 yu 2，u2x3 的复合函数y xy uu x(u 2)(2x 3) 2u24(2 x3) 8x12.(2)函数 ye 0.05x 1 可以看成函数 ye
7、u和函数 u0.05x1 的复合函数y xy uu x(e u)( 0.05x1) 0.05e u0.05 e 0.05x1 .(3)函数 ysin(x)可以看成函数 ysin u，u x 的复合函数y xy uu x(sin u)(x )cos u cos(x )探究点三 导数的应用例 3 求曲线 ye 2x1 在点( ，1) 处的切线方程12解 ye 2x1 (2x1)2e 2x1，y| 2，x曲线 ye 2x1 在点( ，1)处的切线方程为12y12( x )，12即 2xy20.反思与感悟 求曲线切线的关键是正确求复合函数的导数，要注意“在某点处的切线”与“过某点的切线”两种不同的说法
8、跟踪训练 3 曲线 ye sin x在(0,1)处的切线与直线 l 平行，且与 l 的距离为 ，求直线 l 的方2程解 设 usin x ，则 y(e sin x)(e u)(sin x).cos xe sin x.y| x0 1.则切线方程为 y1x 0，即 xy10.若直线 l 与切线平行可设直线 l 的方程为 xyc 0.两平行线间的距离 d c3 或 c1.|c 1|2 2故直线 l 的方程为 xy30 或 xy10.1函数 y(3 x2) 2 的导数为( )A2(3x2) B6xC6x(3x2) D6(3 x2)答案 D解析 y2(3x2)(3x 2)6(3x2)2若函数 ysin
9、2x，则 y等于( )Asin 2x B2sin xCsin xcos x Dcos 2x答案 A解析 y2sin x(sin x )2sin x cos xsin 2x .3若 yf(x 2)，则 y等于( )A2xf(x 2) B2xf ( x)C4x 2f(x) Df(x 2)答案 A解析 设 x2u，则 yf(u) uxf(x 2)(x2)2xf( x2)4设曲线 ye ax在点(0,1)处的切线与直线 x2y10 垂直，则 a_.答案 2解析 由题意知 y| x0 ae ax|x0 a2.呈重点、现规律求简单复合函数 f(axb)的导数求简单复合函数的导数，实质是运用整体思想，先把简
10、单复合函数转化为常见函数 yf(u)，uaxb 的形式，然后再分别对 yf (u)与 uaxb 分别求导，并把所得结果相乘灵活应用整体思想把函数化为 yf(u)，uaxb 的形式是关键.一、基础过关1下列函数不是复合函数的是( )Ayx 3 1 By cos( x )1x 4Cy Dy(2 x3) 41ln x答案 A解析 A 中的函数是一个多项式函数， B 中的函数可看作函数 ux ，ycos u 的复合函4数，C 中的函数可看作函数 uln x，y 的复合函数，D 中的函数可看作函数1uu2x3，yu 4 的复合函数，故选 A.2函数 y 的导数是( )13x 12A. B.63x 13
11、63x 12C D63x 13 63x 12答案 C解析 y (3x1) ，故选 C.13x 12 23x 13 63x 133若 f(x)log 3(x1)，则 f (2)_.答案 1ln 3解析 f(x) log 3(x1) ，1x 1ln 3f(2) .1ln 34函数 yx 2cos 2x 的导数为 ( )Ay2xcos 2xx 2sin 2xBy 2x cos 2x2x 2sin 2xCy x 2cos 2x2xsin 2xDy2xcos 2x2x 2sin 2x答案 B解析 y(x 2)cos 2xx 2(cos 2x)2xcos 2xx 2(2sin 2x )2xcos 2x2x
12、 2sin 2x.5函数 y(2 0158x) 3 的导数 y_.答案 24(2 0158x) 2解析 y3(2 0158x) 2(2 0158x )3(2 0158x) 2(8)24(2 0158x) 2.6曲线 ycos(2x )在 x 处切线的斜率为_6 6答案 2解析 y2sin(2x )，6切线的斜率 k2sin(2 )2.6 67函数 yx(1ax )2(a0)，且 y| x2 5，则实数 a 的值为_答案 1解析 y(1ax) 2x(1 ax)2(1ax )2x2(1ax )(a)(1ax )22ax (1ax )由 y| x2 (1 2a) 24a(12a)12a 28a15(
13、a0)，解得 a1.二、能力提升8已知直线 yx 1 与曲线 yln(xa)相切，则 a 的值为( )A1 B2C1 D2答案 B解析 设直线 yx 1 切曲线 yln(xa)于点( x0，y 0)，则 y01x 0，y 0ln(x 0a) ，又 y ，y |x x 0 1，1x a 1x0 a即 x0a1.又 y0ln( x0a)，y 00，x 01，a2.9曲线 y 在点(4，e 2)处的切线与坐标轴所围三角形的面积为( )2xA. e2 B4e 292C2e 2 De 2答案 D解析 y ，y |x4 e2.12ex12 12曲线在点(4，e 2)处的切线方程为 ye 2 e2(x4)，
14、12切线与坐标轴的交点分别是(0，e 2)，(2,0)，则切线与坐标轴围成的三角形面积S | e2|2|e 2.1210若 f(x)(2xa) 2，且 f(2)20，则 a_.答案 1解析 f(x) 2(2xa)2 4(2xa)，f(2)164a20，a1.11已知 a0，f(x) ax 22x1ln(x 1) ，l 是曲线 yf(x)在点 P(0，f(0) 处的切线求切线 l 的方程解 f(x )ax 22x 1ln(x1) ，f (0)1.f(x )2ax2 ，1x 1 2ax2 2a 2x 1x 1f(0)1，切点 P 的坐标为(0,1)，l 的斜率为1，切线 l 的方程为 xy10.1
15、2有一把梯子贴靠在笔直的墙上，已知梯子上端下滑的距离 s(单位：m)关于时间 t(单位：s)的函数为 ss(t)5 .求函数在 t s 时的导数，并解释它的实际意义25 9t2715解 函数 s5 可以看作函数 s5 和 x259t 2 的复合函数，其中 x 是中间变25 9t2 x量由导数公式表可得 sx ，x t18t .12 故由复合函数求导法则得 sts xx t( )(18t) ，12x9t25 9t2将 t 代入 s(t)，得 s( )0.875 (m/s)715 715它表示当 t s 时，梯子上端下滑的速度为 0.875 m/s.715三、探究与拓展13曲线 ye 2xcos 3x 在(0,1)处的切线与直线 l 的距离为 ，求直线 l 的方程5解 y(e 2x)cos 3x e 2x(cos 3x)2e 2xcos 3x3e 2xsin 3x，y| x0 2.经过点(0,1)的切线方程为 y12(x0) ，即 y2x1.设适合题意的直线方程为 y2xb，根据题意，得 ，5|b 1|5b6 或4.适合题意的直线方程为 y2x6 或 y2x4.
