1、第三章 3.2 第 3 课时一、选择题1若直线 l，且 l 的方向向量为(2，m, 1)，平面 的法向量为 (1，2)，则 m 为( )12A4 B6 C8 D8答案 C解析 l，l 与平面 的法向量垂直故 21 m120，12解得 m8，故选 C.2若 n(1 ， 2,2)是平面 的一个法向量，则下列向量能作为平面 法向量的是( )A(1，2,0) B(0，2,2)C(2，4,4) D(2,4,4)答案 C解析 (2 ，4,4)2(1，2,2)2n ，(2，4,4) 可作为 的一个法向量3如图所示，在空间直角坐标系中 BC2，原点 O 是 BC 的中点，点 D 在平面 yOz上，且BDC90
2、，DCB 30 ，则向量 的坐标为( )OD A. B.( 32， 12，0) (0， 12，32)C. D.( 12， 32，0) (0，12， 32)答案 B解析 如图所示，过 D 作 DEBC，垂足为 E，在 RtBCD 中，由BDC90，DCB30， BC2，得 BD1，CD .3DECDsin30 ，OEOB BDcos601 .32 12 12D 点坐标为(0， ， )，12 32即向量 的坐标为(0， ， )OD 12 324如图，在三棱锥 ABCD 中，DA，DB ，DC 两两垂直，且 DBDC，E 为 BC 中点，则 等于( )AE BC A0 B1C2 D3答案 A解析 如
3、图，建立空间直角坐标系，设DCDBa，DAb，则 B(a,0,0)、C (0，a,0)、A(0,0，b) ，E( ，0)，a2a2所以 ( a，a,0)， ( ，b) ， 00.BC AE a2a2 AE BC a22 a22二、填空题5已知点 P 是平行四边形 ABCD 所在平面外一点，如果 (2，1，4) 、AB (4,2,0) 、 (1,2，1) 对于结论：APAB； APAD； 是平面 ABCDAD AP AP 的法向量； .其中正确的是_ AP BD 答案 解析 2( 1)(1)2( 4)( 1)2240，则 .AB AP AB AP 4(1)220 0，则 ，AP AD AP AD
4、 ， ， A，AP AB AP AD AB AD 平面 ABCD，故 是平面 ABCD 的一个法向量AP AP 6(2015福建八县一中高二期末测试) 已知ABC 是B 为直角顶点的等腰直角三角形，其中 (1 ，m, 2)、 (2，m ，n)( m、nR)，则 mn _.BA BC 答案 1解析 由题意得 0，且| | |，BA BC BA BC Error!，Error!.mn1.三、解答题7.已知四棱锥 PABCD 的底面 ABCD 是平行四边形，且 PA底面 ABCD，如果BCPB ，求证：四边形 ABCD 是矩形证明 由条件知 ， ， ，AP AB AP AD AD BC BCPB，
5、0，BC PB 即 ( )0，AD AB AP 0，AD AB AD AP 0， 0，AD AP AD AB ADAB，四边形 ABCD 为平行四边形，四边形 ABCD 为矩形8.如图，ABC 中，ACBC ，D 为 AB 边中点，PO平面 ABC，垂足 O 在 CD 上，求证：ABPC .证明 设 a， b， v.CA CB OP 由条件知，v 是平面 ABC 的法向量，va 0，v b0，D 为 AB 中点， (ab)，CD 12O 在 CD 上，存在实数 ，使 (ab)，CO CD 2CACB，|a| |b|， ( ba)AB CP 2a b v (ab)(ba)(ba)v2 (|b|2
6、|a| 2)bvav 0，2 ， ABPC.AB CP 9.如图，在四棱锥 PABCD 中，底面 ABCD 是矩形，PA平面 ABCD，AP AB2，BC2 ，E、F 分别是 AD、PC 的中点，2求证：PC平面 BEF.解析 如图，以 A 为坐标原点， AB、AD 、AP 所在直线分别为 x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系APAB2，BCAD2 ，2四边形 ABCD 是矩形，A(0,0,0) 、B (2,0,0)、C(2,2 ，0)、D (0,2 ，0)、P(0,0,2)2 2又 E、F 分别是 AD、PC 的中点，E(0， ，0) 、 F(1， ，1)2 2 (2,2 ，2)、 (1
7、， ，1)、 (1,0,1)，PC 2 BF 2 EF 2 420， 2020，PC BF PC EF ， ，PCBF，PC EF.PC BF PC EF 又 BFEFF，PC平面 BEF.一、选择题1已知 A(3,0， 1)、B(0，2，6)、C(2,4，2) ，则ABC 是( )A等边三角形 B等腰三角形C直角三角形 D等腰直角三角形答案 C解析 (3，2，5)， (1,4，1) ，则AB AC 3 (1)2450.AB AC ，故 ABC 为直角三角形AB AC 又| | | |故选 C.AB AC 2已知矩形 ABCD，PA 平面 ABCD，则以下等式中可能不成立的是( )A. 0 B
8、. 0DA PB PC BD C. 0 D. 0PD AB PA CD 答案 B解析 Error!DA 平面 PABDA PB 0；DA PB 同知 0；AB PD PA平面 ABCDPACD 0；PA CD 若 0 ，则 BDPC，BD PC 又 BDPA，BD平面 PAC，故 BDAC ，但在矩形 ABCD 中不一定有 BDAC，故选 B.二、填空题3已知空间三点 A(0,0,1)、B(1,1,1) 、C (1,2，3)，若直线 AB 上一点 M，满足CMAB，则点 M 的坐标为_答案 ( ，1)1212解析 设 M(x，y，z)，又 ( 1,1,0)， (x，y，z1)，AB AM (x
9、 1，y2，z3)，CM 由题意得Error!，x ，y ，z1，12 12点 M 的坐标为( ，1) 12124同时垂直于 a(2,2,1)、b(4,5,3)的单位向量是_答案 ( ， ， )或( ， )13 23 23 1323 23解析 设所求向量为 c(x ，y ，z )，则Error!，解得Error!，或Error!.三、解答题5如图，已知直三棱柱 ABCA 1B1C1 中，AC BC，D 为 AB 的中点，ACBCBB 1.(1)求证：BC 1AB 1；(2)求证：BC 1平面 CA1D.证明 如图，以 C1 点为原点，C1A1、C 1B1、C 1C 所在直线分别为 x 轴、y
10、轴、z 轴建立空间直角坐标系设 ACBCBB 12，则 A(2,0,2)、B(0,2,2)、C(0,0,2)、A 1(2,0,0)、B 1(0,2,0)、C 1(0,0,0)、D(1,1,2)(1) (0 ，2，2)、 ( 2,2，2)，BC1 AB1 0 440，BC1 AB1 ， BC 1AB 1.BC1 AB1 (2)取 A1C 的中点 E，E(1,0,1)， (0,1,1)，又 (0，2，2) ， ED BC1 ED 12，且 ED 和 BC1 不共线，则 EDBC 1.又 ED平面 CA1D，BC 1平面 CA1D，故 BC1BC1 平面 CA1D.6.如图， 正四棱柱 ABCDA
11、1B1C1D1 中，底面边长为 2 ，侧棱长为 4，E、F 分别是2棱 AB、BC 的中点， EFBD G .求证：平面 B1EF平面 BDD1B1.证明 以 D 为原点， DA、DC、DD 1 分别为 x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系，由题意知：D (0,0,0)、B 1(2 ，2 ，4) 、E(22 2， ， 0)、F( ，2 ，0)，2 2 2 2(0 ， ，4) 、 ( ， ，0) B1E 2 EF 2 2设平面 B1EF 的一个法向量为 n(x，y，z)则 n y4z0，n x y0.B1E 2 EF 2 2解得 xy，z y，令 y 1 得 n(1,1， )，24 24又平
12、面 BDD1B1 的一个法向量为 (2 ，2 ，0) ，AC 2 2而 n 1(2 )12 ( )00，AC 2 2 24即 n .平面 B1EF平面 BDD1B1.AC 7在棱长 ABAD 2，AA 13 的长方体 ABCDA 1B1C1D1 中，点 E 是平面 BCC1B1上的动点，点 F 是 CD 的中点试确定点 E 的位置，使 D1E平面 AB1F.解析 建立空间直角坐标系如图，则 A(0,0,0)、F(1,2,0)、B 1(2,0,3)、D1(0,2,3)，设 E(2，y，z)，则 (2，y2，z3)、 (1,2,0) 、D1E AF (2,0,3)，AB1 D 1E平面 AB1F，Error!，即Error!，解得Error!.E(2,1， )即为所求53
