1、第一章 1.1 1.1.2 第 2 课时一、选择题1棱锥至少由多少个面围成( )A3 B4 C5 D6答案 B解析 三棱锥有四个面围成，通常称为四面体，它是面数最少的棱锥2四棱台的上、下底面均为正方形，它们的边长分别是 1、2，侧棱长为 ，则该四2棱台的高为( )A. B. C. D.62 32 12 22答案 A解析 如图所示，由题意知，四棱台 ABCDA 1B1C1D1 为正四棱台，设 O1、O 分别为上、下底面的中心，连接 OO1、OA、O 1A1，过点 A1 作 A1EOA，E为垂足，则 A1E 的长等于正四棱台的高，又 OA ，O 1A1 ，222AEOA O 1A1 ，22在 Rt
2、 A1EA 中， AA1 ，AE ，222A 1E .AA21 AE22 12 623过正棱台两底面中心的截面一定是( )A直角梯形 B等腰梯形C一般梯形或等腰梯形 D矩形答案 C解析 过正棱台两底面中心的截面与两底面的交线一定平行且不相等当截面过侧棱时，截面是一般梯形；当截面不过侧棱时，由对称性，截面与两侧面的交线一定相等，所以截面是等腰梯形故选 C.4下列命题中，真命题是( )A顶点在底面上的射影到底面各顶点的距离相等的三棱锥是正三棱锥B底面是正三角形，各侧面是等腰三角形的三棱锥是正三棱锥C底面三角形各边分别与相对的侧棱垂直的三棱锥是正三棱锥D底面是正三角形，并且侧棱都相等的三棱锥是正三棱
3、锥答案 D解析 对于选项 A，到三角形各顶点距离相等的点为三角形的外心，该三角形不一定为正三角形，故该命题是假命题对于选项 B，如右图所示，ABC 为正三角形，若 PAAB，PAACPC ， PBBC PC，则PAB ，PAC，PBC 都为等腰三角形，但此时侧棱PA PBPC ，故该命题是假命题对于选项 C，顶点在底面上的射影为底面三角形的垂心，底面为任意三角形皆可，故该命题是假命题对于选项 D，顶点在底面内的射影是底面三角形的外心，且底面三角形为正三角形，因此，外心即中心，故该命题是真命题，故正确答案为 D.5一个正三棱锥的底面边长为 3，高为 ，则它的侧棱长为( )6A2 B2 C3 D4
4、3答案 C解析 如图所示，正三棱锥 SABC 中，O 为底面ABC 的中心，SO 为正三棱锥的高，SO ，6AB3，OA ，3在 Rt SOA 中，SA 3.SO2 OA2 6 36棱台的上、下底面面积分别为 4 和 16，则中截面面积为( )A6 B8 C9 D10答案 C解析 设中截面的面积为 S，则S 9. 4 1624二、填空题7正三棱台的上、下底面边长及高分别为 1、2、2，则它的斜高为_答案 736解析 如图，上、下底面正三角形边长分别 1、2，O 1E1 ，OE ，又 OO12，36 33斜高 E1E .OO21 OE O1E127368正四棱锥 SABCD 的所有棱长都等于 a
5、，过不相邻的两条侧棱作截面，则截面面积为_答案 a212解析 截面三角形三边长分别为 a、a、 a，为等腰直角三角形面积 S a2.212三、解答题9有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体是棱锥吗？解析 不一定如图(1)所示，将正方体 ABCDA 1B1C1D1 截去两个三棱锥AA 1B1D1 和 CB 1C1D1，得如图(2)所示的几何体，其中有一个面 ABCD 是四边形，其余各面都是三角形，但很明显这个几何体不是棱锥，因此有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体不一定是棱锥一、选择题1(2014山东威海高一期末测试) 用一个平行于棱锥底面的平面截这个棱锥，截得的棱台上、下底面面积
6、之比为 14，截去的棱锥的高是 3cm，则棱台的高是( )A12cm B9cm C6cm D3cm答案 D解析 棱台的上、下底面面积之比为 14，则截去的棱锥的高与原棱锥的高之比为12，故棱台的高是 3cm.2在侧棱长为 2 的正三棱锥 SABC 中，ASBBSCCSA40，过 A 作截3面 AEF，则截面的最小周长为( )A2 B4 C6 D102答案 C解析 将三棱锥沿 SA 剪开，展开如图连接 AA交 SB 于 E，交 SC 于 F，则 AA即为AEF 的最小周长SASA 2 ，ASA120，3AA22 sin606，故选 C.3二、填空题3正四棱台的上、下底面边长分别是 5 和 7，对
7、角线长为 9，则棱台的斜高等于_答案 10解析 如图，BDD 1B1 是等腰梯形，B 1D15 ，BD7 ，BD 19，OO 12 23，BD21 BD B1D12 2又 O1E1 ，OE ，在直角梯形 OEE1O1 中，52 72斜高 E1E .OO21 OE O1E12 104一个正三棱锥 PABC 的底面边长和高都是 4，E、F 分别为 BC、PA 的中点，则EF 的长为_答案 2 2解析 如图在正ABC 中，AE2 ，3在正PBC 中，PE 2 ，3在PAE 中，AEPE2 ， PA4，F 为 PA 中点，3EFPA，EF 2 .AE2 12AP2 2三、解答题5如图，将边长为 8 的
8、正三角形沿三条中位线折成一个正四面体，求该四面体的高3和斜高解析 由题设知正四面体 SABC 中，SASBSCABBCCA4 ，3过点 S 作 SO面 ABC，O 为垂足，过点 O 作 ODAC，则 D 为 AC 中点连接 SD，则 SDAC，故 SO 为正四面体的高， SD 为斜高在 Rt SDA 中，SA4 ，AD2 ，3 3SD 6.SA2 AD2 432 232又ABC 为正三角形，ABC 的高 h 4 6，32 3OA h 64，在 RtSOA 中，23 23SO 4 .SA2 OA2 432 42 2该四面体的高为 4 ，斜高为 6.26已知正三棱锥的一个侧面面积与底面面积之比为
9、23，求此三棱锥的高与斜高的比解析 设正三棱锥的底面边长为 a，侧棱长为 b，则一个侧面面积 S1 a ，12 b2 a24底面面积 S2 a2，由题意得 ，34 S1S212a b2 a2434a2 23 a，b2 a24 33此三棱锥的斜率 h a，33高 h ， 33a2 36a2 a2 .hha233a 327.如图，正三棱台 ABCA 1B1C1 中，已知 AB10，棱台一个侧面梯形的面积为 ，O 1、O 分别为上、下底面正三角形中心，2033D1D 为棱台的斜高，D 1DA60，求上底面的边长解析 由 AB10，则 AD AB5 ，32 3OD AD .13 533设上底面边长为 x，则 O1D1 x.36过 D1 作 D1HAD 于 H，则 DHODOHODO 1D1 x，533 36在D 1DH 中，D 1D 2 ，DHcos60 (533 36x)在梯形 B1C1CB 中，S (B1C1BC )D1D，12 (x 10)2 ，2033 12 (533 36x)40(x10)(10x)x2 ，15上底面的边长为 2 .15
