1、第页 12019 届甘肃省师大附中上学期高三期中模拟文科数学试卷（解析版）一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1.若复数满足 ，则的共轭复数的虚部为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】由已知条件得 ，利用复数的除法运算化简，求出，则共轭复数的虚部可求.【详解】 ，共轭复数的共轭复数的虚部 1故选 C.【点睛】本题考查复数代数形式的除法运算，考查复数的基本概念 . 复数除法的关键是分子分母同时乘以分母的共轭复数，解题中要注意把的幂写成最简形式.2.已知集合 ，集合 ，则 （ ）A. B. C. D. 【答案】B【
2、解析】【分析】首先化简集合 B 得 ，根据交集运算定义可得结果。【详解】集合 B 可化简为 ，所以 ，答案选 B。【点睛】本题考查了集合的化简，以及交集运算，属于基础题。3.方程 的解所在区间是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】第页 2【分析】令 ，则函数 在 上单调递增，且函数在 上连续，根据 可得，函数 的零点所在的区间为 。【详解】令 ，则函数 在 上单调递增，且函数在 上连续，因为 ， ，故有 ，所以函数 的零点所在的区间为 ，即方程 的解所在区间是 。答案选 C。【点睛】本题主要考查函数零点的定义，判断零点所在的区间的方法，方程的解与函数零点的关系，属于基础题。在运用零
3、点存在定理判断零点所在的区间时，必须有以下几个条件：（1）函数在给定的区间 上连续；（2）满足 。如果函数是单调函数，可说明函数在区间 上有唯一的零点。4.已知 ， ，且 ，则向量与向量 的夹角为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】由 可得 ，结合向量数量积的定义和性质可得 ，代入模长并解方程可得结果。【详解】因为 ，所以有即所以 ，把 ， 代入上式，解得 ，所以 ，答案选 B。【点睛】本题主要考查平面向量的数量积及向量的垂直求向量的夹角，属于基础题。5.已知 ， ，则 （ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】第页 3【分析】利用同角基本关系得到 ，再利用诱导公式化
4、简所求即可.【详解】故选：C【点睛】本题考查了同角基本关系式及诱导公式，考查了计算能力，属于基础题.6.某公司某件产品的定价 与销量 之间的数据统计表如下，根据数据，用最小二乘法得出 与 的线性回归直线方程为： ，则表格中 的值应为（ ）2 4 5 6 830 40 50 70A. 45 B. 50 C. 55 D. 60【答案】D【解析】由题意得，根据上表中的数据可知 ，代入回归直线方程可得 ，故选 D.考点：回归直线方程的应用.7.若满足 ， 约束条件 ，则 的最大值为 （ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】可行域如图,所以直线 过点 A(0,1)时取最大值 1,选 B.第页 4
5、8.某几何体的三视图如右图所示，数量单位为 ，它的体积是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】由三视图可知，此几何体为底面为直角梯形的四棱锥，根据四棱锥的体积公式即可求出结果。【详解】根据三视图可将其还原为如下直观图，= ，答案选 C。【点睛】本题考查由三视图求几何体的体积，解答此类问题的关键是判断几何体的形状及几何尺寸。第页 59.若不等式 对 恒成立，则实数的取值范围是 （ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】由已知条件推导出 在 恒成立，令 ，利用导数性质求出函数 的最小值，由此能求出实数的取值范围【详解】 对 恒成立 在 恒成立令 ，则 .由 得 ，即
6、 在 上为增函数；由 得 ，即 在 上为减函数实数的取值范围是故选 B.【点睛】不等式有解是含参数的不等式存在性问题时，只要求存在满足条件的 即可；不等式的解集为 R是指不等式的恒成立，而不等式的解集 的对立面（如 的解集是空集，则 恒成立）)也是不等式的恒成立问题，此两类问题都可转化为最值问题，即 恒成立 ， 恒成立 .10.若直线 y=x+b 与曲线 有公共点，则 b 的取值范围是A. B. C. D. 【答案】C【解析】第页 6试题分析：如图所示：曲线 即 （x-2 ） 2+（y-3） 2=4（-1y3） ，表示以 A（2，3）为圆心，以 2 为半径的一个半圆，由圆心到直线 y=x+b
7、的距离等于半径 2，可得 =2，b=1+2 ，b=1-2当直线过点（4，3）时，直线与曲线有两个公共点，此时 b=-1结合图象可得 -1b3故答案为 C考点：本试题主要考查了直线与圆的位置关系，主要考查直线和圆的位置关系，点到直线的距离公式，体现了数形结合的数学思想，属于中档题点评：解决该试题的关键是曲线即 （x-2） 2+（y-3） 2=4（y3） ，表示以 A（2，3）为圆心，以 2 为半径的一个半圆，由圆心到直线 y=x+b 的距离等于半径 2，解得 b=1+2 ，b=1-2 当直线过点（4，3）时，直线与曲线有两个公共点，此时 b=-1，结合图象可得 b 的范围11.在锐角 中， ，则
8、 的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】在三角形中，由正弦定理可得， ，而 ，根据余弦函数的性质可求其范围内 。【详解】在锐角 中， ，由正弦定理可得，=第页 7=在锐角 中有，可求得结合余弦函数的图像与性质可得。答案选 B【点睛】本题考查正弦定量、二角和的正弦公式、二部角公式及余弦函数的图像与性质，综合性较强，考查了学生的转化能力，数学运算能力，逻辑推理能力及创新能力，属于中档题。12.已知直线的倾斜角为 ，直线与双曲线 的左、右两支分别交于 、 两点，且 、都垂直于 轴（其中 、 分别为双曲线 的左、右焦点） ，则该双曲线的离心率为（ ）A. B. C. D.
9、 【答案】D【解析】【分析】根据题意设点 ， ，则 ，又由直线的倾斜角为 ，得 ，结合点在双曲线上，即可求出离心率.【详解】 直线与双曲线的左、右两支分别交于 、 两点，且 、 都垂直于 轴，根据双曲线的对称性，设点 ， ，则 ，即 ，且 ，又 直线的倾斜角为 ，直线过坐标原点， ，整理得 ，即 ，解方程得 ， （舍）故选 D.【点睛】本题考查双曲线的几何性质、直线与双曲线的位置关系及双曲线离心率的求法，考查化简整理的第页 8运算能力和转化思想，属于中档题.圆锥曲线离心率的计算，常采用两种方法：1、通过已知条件构建关于 的齐次方程，解出.根据题设条件（主要用到：方程思想，余弦定理，平面几何相似
10、，直角三角形性质等）借助 之间的关系，得到关于的一元方程，从而解得离心率.2、通过已知条件确定圆锥曲线上某点坐标 ，代入方程中，解出.根据题设条件，借助 表示曲线某点坐标，代入曲线方程转化成关于的一元方程，从而解得离心率.二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分13.执行如图所示的程序框图，若输入 ， ，则输出的 _【答案】5040【解析】【分析】通过程序框图，按照框图中的要求将几次的循环结果写出，得到输出的结果【详解】第一次循环，k=1，n=10，m=4 ，p=7；第二次循环，k=2，n=10，m=4，p=56；第三次循环，k=3，n=10，m=4，p=504； 第四次循环，k=4，n
11、=10 ，m=4，p=5040；故答案为：5040；【点睛】本题考查解决程序框图中的循环结构的输出结果问题时，常采用写出几次的结果找规律14.已知函数 的图像与直线 的三个交点的横坐标分别为 ， ， ，那么 的值是_第页 9【答案】【解析】【分析】通过正弦函数的对称轴方程，求出函数的对称轴方程分别为 和 ，由题意可得，从而求出 的值【详解】函数 的图象取得最值有 2 个 x 值，分别为 和 ，由正弦函数图象的对称性可得 故 ，故答案为 【点睛】本题主要考查三角函数 的对称性，考查计算能力15.在三棱锥 中， 底面 ， ， 且三棱锥 的每个顶点都在球 的表面上，则球 的表面积为 _【答案】【解析
12、】【分析】根据题目所给的条件可得到相应的垂直关系，得到三角形 ACD 和三角形 ABD 均为直角三角形，有公共斜边 AD，由直角三角形的性质得到 AD 中点为球心，进而得到球的半径和面积.【详解】因为三棱锥 中， 底面 ，所以 ，又因为 ，DC 和 CB 相交于点 C，故得到 AB 面 BCD，故得到 AB 垂直于 BD，又因为 DC 垂直于面 ABC，故 DC 垂直于 AC，故三角形ACD 和三角形 ABD 均为直角三角形，有公共斜边 AD，取 AD 中点为 O 点，根据直角三角形斜边的中点为外心得到 O 到 ABCD 四个点的距离相等，故点 O 是球心，求得半径为 3，由球的面积公式得到
13、S=.故答案为： .【点睛】本题考查了球与几何体的问题，是高考中的重点问题，要有一定的空间想象能力，这样才能找准关系，得到结果，一般外接球需要求球心和半径，首先应确定球心的位置，借助于外接球的性质，球心到各顶点距离相等，这样可先确定几何体中部分点组成的多边形的外接圆的圆心，过圆心且垂直于多边形所在平面的直线上任一点到多边形的顶点的距离相等，然后同样的方法找到另一个多边形的各顶点距离相等的直线（这两个多边形需有公共点） ，这样两条直线第页 10的交点，就是其外接球的球心，再根据半径，顶点到底面中心的距离，球心到底面中心的距离，构成勾股定理求解，有时也可利用补体法得到半径，例：三条侧棱两两垂直的三
14、棱锥，可以补成长方体，它们是同一个外接球.16.国务院批准从 2009 年起，将每年 8 月 8 日设置为“全民健身日”，为响应国家号召，各地利用已有土地资源建设健身场所如图，有一个长方形地块 ，边 为 ， 为 地块的一角是草坪（图中阴影部分） ，其边缘线 是以直线 为对称轴，以 为顶点的抛物线的一部分现要铺设一条过边缘线 上一点 的直线型隔离带 ， ， 分别在边 ， 上（隔离带不能穿越草坪，且占地面积忽略不计） ，将隔离出的 作为健身场所则 的面积为 的最大值为_（单位： ）【答案】【解析】【分析】以 A 为坐标原点，AB 所在的直线为 x 轴，建立平面直角坐标系，可得 ，设边缘线 所在的抛
15、物线为 ，代入 C 点坐标可求抛物线为 。EF 为抛物线的切线，设 ，由导数知识可求直线 EF 方程为 ，从而可求 E、F 的坐标，于是可列 的面积为 ，且 ，利用导数知识求函数最大值即可。【详解】以 A 为坐标原点， AB 所在的直线为 x 轴，建立平面直角坐标系，可得 。设边缘线 所在的抛物线为 ，把 代入得，所以抛物线为 。设点 ，因为 ，所以过点 P 的切线 EF 的方程为 ，令 ，得 ；令 得第页 11所以 的面积为 ，即 ，而 = ；由 得， ，所以 在 上是增函数，在 上是减函数，所以 S 在 上有最大值 。【点睛】本题主要考查利用导函数研究函数的单调性，极值与最值，曲线的切线方
16、程，抛物线的方程，重点考查了学生的分析问题与解问题的能力，逻辑推理能力与数学运算能力。是综合性较强的题目，属于中档题。三、解答题：本大题共 6 小题，共 70 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17.已知在等比数列 中, ,且 是 和 的等差中项.（1）求数列 的通项公式;（2）若数列 满足 ,求 的前 项和 .【答案】(1) (2) 【解析】【分析】(1)由题意结合等差数列的性质得到关于公比的方程，解方程求得公比的值，然后结合首项求解数列的通项公式即可.(2)结合(1)的结果首先确定数列 的通项公式，然后分组求和即可求得数列 的前 项和 .【详解】(1)设等比数列 的公比为 ,则 ,
17、 , 是 和 的等差中项, ,即 ,解得 ,第页 12 .(2) ,则.【点睛】数列求和的方法技巧：(1)倒序相加：用于等差数列、与二项式系数、对称性相关联的数列的求和(2)错位相减：用于等差数列与等比数列的积数列的求和(3)分组求和：用于若干个等差或等比数列的和或差数列的求和18.为了解少年儿童的肥胖是否与常喝碳酸饮料有关，现对 名小学六年级学生进行了问卷调查，并得到如下列联表平均每天喝 以上为“常喝” ，体重超过 为“肥胖”常喝 不常喝 合计肥胖 2不肥胖 18合计 30已知在全部 人中随机抽取 人，抽到肥胖的学生的概率为 （1）请将上面的列联表补充完整；（2）是否有 的把握认为肥胖与常喝
18、碳酸饮料有关? 请说明你的理由；（3）已知常喝碳酸饮料且肥胖的学生中恰有 2 名女生，现从常喝碳酸饮料且肥胖的学生中随机抽取 2 人参加一个有关健康饮食的电视节目，求恰好抽到一名男生和一名女生的概率参考数据：第页 13【答案】 （1）见解析；（2）见解析；（3） 【解析】【分析】（1）设常喝碳酸饮料肥胖的学生有 x 人，根据全部 30 人中随机抽取 1 人，抽到肥胖的学生的概率为 ，列出关于 x 的方程 ，求出 x 的值，填表即可；（2）计算观测值 ，对照数据表的临界值（ ），得出结论；（3）用列举法求出基本事件数，求出对应的概率值。【详解】 （1）设常喝碳酸饮料的肥胖学生共 名，则 ，解得
19、常喝碳酸饮料且肥胖的学生有 6 名列联表如下:常喝 不常喝 合计肥胖 6 2 8不肥胖 4 18 22合计 10 20 30（2）有；理由：由已知数据可求得 ，因此有 的把握认为肥胖与常喝碳酸饮料有关（3）根据题意，可设常喝碳酸饮料的肥胖男生为 ， ， ， ，女生为 ， ，则任取两人， 可能的结果有 ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，共 15 种，其中一男一女有 ， ， ， ， ， ， ， ，共 8 种故正好抽到一男一女的概率为 【点睛】本题考查画出列联表与独立性检验问题，以及等可能事件的概率计算等，属于基础题 。在计算 时，要注意数字的代入和计算不要出错。19.如图，
20、在斜三棱柱 中，已知 ， ，且 .第页 14（）求证：平面 平面 ； （）若 ，求四棱锥 的体积.【答案】(1)见解析；（2） .【解析】【分析】（1）连接 ，易证得 ， ，所以 ，所以 ，从而可证得，即可证得结论；（2）由 即可得解.【详解】 （1）证明：连接 ，在平行四边形 中，由 得平行四边形 为菱形，所以 ，又 ，所以 ，所以 ，又 ，所以 ，所以平面 平面（2）取 的中点 O,连接 AO，易知 平面 ， 平面 ,所以点 到平面 的距离为 ，由 平第页 15面 ，所以点 到平面 的距离为 ，点 到平面 的距离为 .故四棱锥 的体积为 .【点睛】求锥体的体积要充分利用多面体的截面和旋转体
21、的轴截面，将空间问题转化为平面问题求解，注意求体积的一些特殊方法分割法、补形法、等体积法. 割补法：求一些不规则几何体的体积时，常用割补法转化成已知体积公式的几何体进行解决等积法：等积法包括等面积法和等体积法20.已知定点 ，定直线： ，动圆 过点 ，且与直线相切.（）求动圆 的圆心轨迹 的方程；（）过点 作两条倾斜角互补的直线分别交抛物线 于异于点 的两点 ，试证明直线 的斜率为定值，并求出该定值。【答案】 （） （）【解析】【分析】（）设 ，由 化简即可得结论；（）设直线 的斜率为 ，则直线 的斜率为 ，联立直线方程与抛物线方程求出 两点坐标，继而求出斜率【详解】 （）设点 到直线的距离为
22、 ，依题意设 ，则有化简得所以点 的轨迹 的方程为（）设直线 的斜率为 ，则直线 的斜率为 .令 ，联立方程组： ，消去 并整理得： 设 ，因为点 的坐标为 ，所以 ，故 ，从而点 的坐标为 ，用 去换点 坐标中的可得点 的坐标为 ，所以直第页 16线 的斜率为【点睛】本题主要考查直接法求轨迹方程、点到直线的距离，求轨迹方程的常见方法很多，本题采用了直接法，设出动点的坐标 ，根据题意列出关于 的等式即可。在求直线的斜率为定值时需要求出两点坐标，结合斜率公式求出结果。21.已知函数 ，设 是 的导函数（1）求 ，并指出函数 的单调性和值域；（2）若 的最小值等于 0，证明： 【答案】 （1）答案
23、见解析；（2）证明见解析【解析】【分析】（1）求出函数 的导函数，即为 ，再求 的导函数并判断其单调性即可；（2）结合（1）可得， 有唯一解 ，故可知函数 在 与 的单调性，从而知 为极小值点，得到，根据函数的单调性求出 m 的取值范围即可。【详解】 （1）由题意得： ,函数 在 上是单调增函数，值域为 （2）由（1）得： 有且只有一个解，设 满足 ，则当 时， ；当 时， 函数 在区间 上是减函数，在区间 上是增函数， 是极小值从而 函数 是减函数且 ， ， ， 第页 17【点睛】利用导数证明不等式成立问题的常用方法(1)直接将不等式转化成某个函数最值问题：若证明 f(x)g(x)，x(a，
24、b)，可以构造函数 F(x)f(x)g( x)，如果 F(x)0，则 F(x)在(a，b)上是减函数，同时若 F(a)0，由减函数的定义可知，x(a，b)时，有 F(x)0，即证明了 f(x)g(x)(如本例(3) (2)将待证不等式转化为两个函数的最值进行比较证明：在证明不等式中，若待证不等式的变形无法转化为一个函数的最值问题，可借助两个函数的最值证明，如要证 f(x)g(x)在 D 上成立，只需证明 f(x)ming(x)max即可.22. 选修 44：极坐标与参数方程已知圆的极坐标方程为： （）将极坐标方程化为普通方程；并选择恰当的参数写出它的参数方程；（）若点 在该圆上，求 的最大值和
25、最小值【答案】 （） ；圆的参数方程为 ；（）xy 最大值为 6，最小值为2【解析】试题分析：（）依据 ，代入到极坐标方程中得普通方程为，对此方程配方得 ，根据圆的参数方程知识得 （）由（） ，当 时，xy 最大值为 6，当 时，xy 最小值为2试题解析：（） ；圆的参数方程为 5 分（） ，那么 xy 最大值为 6，最小值为 2 10 分考点：1极坐标方程，普通方程与参数方程之间的转化；2三角函数的最值23.设函数 .（1）当 时，求不等式 的解集；（2） ，都有 恒成立，求 的取值范围.【答案】(1) ；(2) .【解析】试题分析：（1）对 x 分类讨论，得到三个不等式组，分别解之，最后求并集即可；（2）对于 ，第页 18都有 恒成立，转化为求函数的最值问题即可.试题解析：解： 当 m=-2 时， ,当 解得 当 恒成立当 解得此不等式的解集为 .当 时 ，当 时，不等式化为 .由当且仅当 即 时等号成立.， .当 时，不等式化为 .，令 ， .，在 上是增函数.当 时， 取到最大值为 .综上 .第页 19第页 20
