1、第 1 页 共 22 页2019 届山东省济南外国语学校高三上学期第一次月考数学（理）试题一、单选题1已知 为实数集，集合 ， ，则韦恩图中阴影部分表示的集合为（ ）A B C D 【答案】D【解析】【分析】首先确定集合 A,B，然后结合 Venn 图求解阴影部分表示的集合即可 .【详解】求解分式不等式 可得 ，求解二次不等式 可得 ，则 ，韦恩图中阴影部分表示的集合为 ，即 .故答案为 ：D.【点睛】本题主要考查集合的表示方法，集合的交并补运算，Venn 图及其应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.第 2 页 共 22 页2已知 .若“ ”是真命题，则实数 a 的取值范围是A (
2、1，+) B (， 3) C (1，3) D 【答案】C【解析】【分析】由题意可知命题 p,q 均为真命题，据此求解实数 a 的取值范围即可.【详解】由“ ”是真命题可知命题 p,q 均为真命题，若命题 p 为真命题，则： ，解得： ，若命题 q 为真命题，则： ，即 ，综上可得，实数 a 的取值范围是 ，表示为区间形式即 .本题选择 C 选项.【点睛】本题主要考查复合命题问题，与二次函数有关的命题，与指数函数有关命题的处理方法等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.3设集合 ， ，则下列结论正确的是 ( )A B C D 【答案】B【解析】【分析】集合 ， ,根据集合的交集的概念和运算
3、得到结果 .【详解】集合 ， ,根据集合交集的概念得到 .故答案为：B.【点睛】本题主要考查了集合的交集的概念和运算，高考对集合知识的考查要求较低，均是以小题的形式进行考查，一般难度不大，要求考生熟练掌握与集合有关的基础知识纵观近几年的高考试题，主要考查以下两个方面：一是考查具体集合的关系判断和集合第 3 页 共 22 页的运算解决这类问题的关键在于正确理解集合中元素所具有属性的含义，弄清集合中元素所具有的形式以及集合中含有哪些元素二是考查抽象集合的关系判断以及运算4设集合 ，集合 ，则 等于 ( )A B C D 【答案】B【解析】【分析】先根据对数不等式的解法以及指数函数的解法，求出集合
4、A 和集合 B，由此再由集合交集的概念和运算，能求出 AB【详解】集合 A=y|y=log2x，0x4=y|y2，集合 B=x|ex 1=x|x0，AB=x|0x2=（0，2故选：B【点睛】求集合的交、并、补时，一般先化简集合，再由交、并、补的定义求解;在进行集合的运算时要尽可能地借助 Venn 图和数轴使抽象问题直观化一般地，集合元素离散时用Venn 图表示；集合元素连续时用数轴表示，用数轴表示时要注意端点值的取舍5已知 ，命题 p： ， ，则 A p 是假命题， ： ，B p 是假命题， ： ，C p 是真命题， ： ，D p 是真命题， ： ，【答案】C【解析】第 4 页 共 22 页【
5、分析】利用特称值，判断特称命题的真假，利用命题的否定关系，特称命题的否定是全称命题写出结果。【详解】，当 时，命题 ： ， ，是真命题命题 ： ， ，则故选【点睛】本题主要考查了命题的否定，特称命题与全称命题的否定关系，属于基础题。6已知集合 ， ，则（ ）A B C D 【答案】A【解析】【分析】求出集合 ， ，判断 ， 的关系，即可得到答案 .【详解】因为 ， .所以 .故选 A.【点睛】本题考查集合与集合的关系，是基础题.7集合 ， ,若 ，则 的取值范围是（ ）A B C D 【答案】B第 5 页 共 22 页【解析】【分析】由题意求出 ， ，要使 ，则 .【详解】根据题意 ，可得 ，
6、要使 ，则，故选 B.【点睛】本题考查集合的综合运算，属中档题.8集合 ， ，则 是（ ）A B C D 【答案】C【解析】【分析】根据函数的定义域及值域分别求出集合 和集合 ，求出集合 的补集，即可求得.【详解】集合集合故选 C.【点睛】本题考查函数的定义域与函数的值域的求法，集合的交、并、补的运算，考查计算能力第 6 页 共 22 页9函数 关于直线 对称，则函数 关于（ ）A 原点对称 B 直线 对称 C 直线 对称 D 直线 对称【答案】D【解析】【分析】由题意结合函数图象的变换规律，得到函数 的对称轴，确定函数的对称性即可.【详解】将函数 的图象向左平移 个单位长度即可得到函数 的图
7、象，结合函数 关于直线 对称，可知函数 关于直线 对称.故答案为：D.【点睛】本题主要考查函数的对称性，函数的平移变换等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.对于函数平移，符合左加右减的原则，上加下减的原则.10设 ，若函数 恰有 3 个零点，则实数 的取值范围为（ ）A B C D 【答案】A【解析】【分析】由题意得令 ，即 与 恰有 3 个交点，由，利用导数得到函数的单调性即可得解.【详解】恰有 3 个零点，则 恰有 3 个根，令 ，即 与 恰有 3 个交点，第 7 页 共 22 页，当 时， ，所以 在 上是减函数；当 时， ，当 时， ，当 时， ，所以 在 时增函数，在 时减函
8、数，且 ，所以故选 A【点睛】对于方程解的个数(或函数零点个数 )问题，可利用函数的值域或最值，结合函数的单调性、草图确定其中参数范围从图象的最高点、最低点，分析函数的最值、极值；从图象的对称性，分析函数的奇偶性；从图象的走向趋势，分析函数的单调性、周期性等11已知函数 是定义在区间 上的可导函数，满足 且 ( 为函数的导函数)，若 且 ，则下列不等式一定成立的是( )A B C D 【答案】C【解析】构造函数 , ,所以 是 上的减函数.令,则 ,由已知 ,可得 ,下面证明 ,即证明第 8 页 共 22 页,令 ,则 ,即 在 上递减, ,即,所以 ,若 ,则 .故选 .【点睛】本小题主要考
9、查导数知识的综合运用,考查函数的单调性,考查大小比较,关键在于构造函数法.问题的关键点在于利用好 ,这是一个含有原函数和它的导函数的式子,故考虑用构造函数法构造函数,构造函数 后,就可以用上已知条件来判断单调性了.12已知定义在 R 上的函数 满足 且在 上是增函数，不等式对任意 恒成立，则实数 的取值范围是( )A B C D 【答案】B【解析】【分析】根据函数的对称性 ，则函数 关于 对称,进而得到函数的单调性，采取排除法，由四个选项的特征代入特值求解.【详解】，则函数 关于 对称函数 在 上是增函数函数 在 是减函数，即 在 上是减函数当 时，不等式 变为 ，根据函数 的图象特征可得出：
10、 ，解得 或 ，满足不等式 对任意 恒成立，由此排除两个选项当 时，不等式 变为 ，根据函数 的图象特征可得出： ，解得 ，不满足不等式 对任意 恒成立，由此排除第 9 页 共 22 页综上所述， 选项是正确的故选: .【点睛】本题主要考查了抽象函数的性质探究方法与应用，解答本题直接求解较为复杂，采取排除法来求解，由四个选项中的特征找出切入点，通过验证特殊值来排除错误答案。二、填空题13已知函数 ，则 _【答案】4【解析】【分析】根据分段函数对应性，根据自变量大小对应代入解析式，即得结果.【详解】30,故代入第二段，得到 ，-10,代入第一段得到 =1，故 .故答案为：4.【点睛】求分段函数的
11、函数值，要先确定要求值的自变量属于哪一段区间，然后代入该段的解析式求值，当出现 的形式时，应从内到外依次求值;求某条件下自变量的值，先假设所求的值在分段函数定义区间的各段上，然后求出相应自变量的值，切记代入检验，看所求的自变量的值是否满足相应段自变量的取值范围.14记 为不超过 的最大整数，如 ，则函数 的所有零点之和为_.【答案】【解析】【分析】由 ，令 ，求导利用函数单调性可证得在 上无零点，只需考虑： ， ， 求解即可 .【详解】第 10 页 共 22 页由题意可知： .令 .有： .所以 在 上单调递减，有 ，所以 在 上无零点，只需考虑： ， ， ，可得三个零点分别为 ，故答案为:
12、【点睛】本题主要考查了分段函数的零点问题，属于中档题.研究函数零点(方程根) 的三种常用的方法：(1)直接法， 直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围；(2)分离参数法， 先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；(3)数形结合法，先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解一是转化为两个函数 的图象的交点个数问题，画出两个函数的图象，其交点的个数就是函数零点的个数，二是转化为 的交点个数的图象的交点个数问题交点的横坐标即零点 .15已知函数 为奇函数，若 ，则 的值为_.【答案】3【解析】【分析】由函数 为奇函数，可得 ，进而可得解.【
13、详解】因为函数 为奇函数，且 ， ，所以 ，所以 所以 【点睛】第 11 页 共 22 页本题主要考查了奇偶性的应用，属于基础题. 已知函数的奇偶性求值，主要方法有两个，一是利用：（1）奇函数由 恒成立求解， （2）偶函数由 恒成立求解；二是利用特殊值：奇函数一般由 求解，偶函数一般由 求解，用特殊法求解参数后，一定要注意验证奇偶性16给出以下四个命题：（1 ）命题 ，使得 ，则 ，都有 ； （2 ）已知函数 f(x)|log2x|，若 ab，且 f(a)f(b)，则 ab1；（3 ）若平面 内存在不共线的三点到平面 的距离相等，则平面 平行于平面 ； （4 ）已知定义在 上的函数 满足条件
14、，且函数 为奇函数，则函数 的图象关于点 对称其中真命题的序号为_ （写出所有真命题的序号）【答案】 （1）（2）（4）【解析】【分析】（1） ，根据特称命题的否定是全称命题，判断即可；（2）根据函数与方程的关系，利用对数函数的性质进行运算判断（3）利用线面平行的定义进行判断；（4）利用奇函数图象的对称性，及函数图象的平移变换，可得函数的对称中心.【详解】（1）命题 ，使得 ，则 ，都有 ；正确；（2） ，不妨设 ，则 ，则，即 ，即 ，正确；（3）平面 内存在不共线的三点到 的距离相等，这 3 个点可能在 2 个相交平面的交线的两侧，故不正确（4）函数 是奇函数，其图象关于原点对称又函数 的
15、图象是由 向左平移 个单位长度得到第 12 页 共 22 页函数 的图象关于点 对称，正确即答案为（1） （2） （4）.【点睛】本题考查特称命题的否定，函数与方程的关系，线面平行，考查函数的奇偶性，对称性等，属基础题.三、解答题17已知三个集合： ， 2R|log581Axx，28R|1 xB.2|90 Ca（I）求 ；A（II）已知 ，求实数 的取值范围 .,BCa【答案】(1) (2) 234.3,2.【解析】试题分析：（1）根据题意求得集合 后再求 ；（2）由AB得 ，设 ，则有,ACB,C19fxa解不等式即可。221904,3.faf试题解析：(1) , 2R|58 23Ax, 2
16、|80 4Bx,34.(2) ,ACB2,.设 ，2219fxa则 220,4 319.fa第 13 页 共 22 页即35,2727 .a或解得 3a所以实数 的取值范围是 3,2.18已知函数 .（1 ）讨论函数 的单调性；（2 ）当 时，求证： .【答案】 （1）见解析；（2）见解析【解析】【分析】（1）对函数求导 ，分 ， ， ，三种情况讨论导函数的正负进而得到函数的单调区间；（2）通过分析得到要证原式只需要只需证 ，设， ，即证 ，分别对两侧函数求导，研究两个函数的单调性，求得最值即可得证.【详解】（1）定义域为 ，因为 ， 当 时， ； 或 ，此时函数的增区间为 ，减区间为 ，当
17、时， ，函数无单调区间当 时， ； 或 ，此时函数的减区间为 ，增区间为 ，（2）欲证 ，即证 ，只需证 ，设 ， ，即证第 14 页 共 22 页因为 ，令 ，得当 时， ；当 或 时， ，又因为 ，当 时， ，当 时，所以 ，而所以 ，即 成立.【点睛】利用导数证明不等式常见类型及解题策略(1) 构造差函数 .根据差函数导函数符号，确定差函数单调性，利用单调性得不等量关系，进而证明不等式.（2）根据条件，寻找目标函数.一般思路为利用条件将求和问题转化为对应项之间大小关系，或利用放缩、等量代换将多元函数转化为一元函数.19已知函数 （1 ）求函数 的单调区间与极值；（2 ）若不等式 对任意
18、恒成立，求实数 的取值范围；（3 ）求证： .【答案】 （1）见解析；（2） ；（3）见解析.【解析】【分析】(1)对函数求导得到 ，列表得到导函数的正负，进而得到函数的单调区间和极值；（2）原式等价于 恒成立，令 求导 ，研究导函数的正负得到函数的单调性，进而得到函数最值;(3)由（2）知 , ，第 15 页 共 22 页将每一项放缩得到 ，再放缩得到，裂项求和即可.【详解】（1）定义域为 .，令 ，得 .0增 极大值 减由上图表知：的单调递增区间为 ，单调递减区间为 .的极大值为 ，无极小值.（2） ，令 又 ，令 解得 ，当 x 在 内变化时， ， 变化如下表：x) + 0 由表知，当
19、时函数 有最大值，且最大值为 ，所以 .第 16 页 共 22 页（3）由（2）知 ，又，即 .【点睛】导数综合题中对于含有字母参数的问题，一般要用到分类讨论的方法，解题时要注意分类要不重不漏；对于导数中的数列不等式的证明，解题时常常要用到前面的结论，需要根据题目的特点构造合适的不等式，然后通过取特值的方法转化成数列的问题解决，解题时往往用到数列的求和。20已知函数 ，(1)分别求 的值:(2)讨论 的解的个数 :(3)若对任意给定的 ,都存在唯一的 ,满足 ，求实数的取值范围.【答案】 （1） ；（2）见解析；（3）【解析】【分析】(1)根据分段函数的解析式得到对应的函数值；（2）画出 的图
20、象，直接找y=m 和 y= 图像的交点个数即可；（3）要使对任意给定的 ，都存在唯一的 ，满足 ，则当 时， 的值域包含于第 17 页 共 22 页即可.【详解】（1） ， ， （2） ，画图 的图象如图，由图可知，当 时，方程 有 0 解；当 时，方程 有 2 解；当 时，方程 有 4 解；当 时，方程 有 3 解（3）要使对任意给定的 ，都存在唯一的 ，满足 ，则的取值必须大于 1；即当 时， 的值域包含于 ；当 时， ，舍去；当 时， ， ；当 时， ，舍去；综上所述【点睛】研究函数零点(方程根)的三种常用的方法：(1)直接法，直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数
21、范围；(2)分离参数法 ，先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；(3)数形结合法，先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解一是转化为两个函数 的图象的交点个数问题，画出两个函数的图象，其交点的个数就是函数零点的个数，二是转化为的交点个数的图象的交点个数问题交点的横坐标即零点.第 18 页 共 22 页21已知函数 , （1 ）当 x0 时， f（x）h（x ）恒成立，求 a 的取值范围；（2 ）当 x0 时，研究函数 F（x ）=h（x）g （x）的零点个数；（3 ）求证： （参考数据：ln1.10.0953） 【答案】 （1） ；（2）见解析；（3）见解
22、析【解析】【分析】（1）令 H（x）=h（x）f（x）=ex1aln（x+1）（x0） ，求得导数，讨论 a1 和 a1，判断导数的符号，由恒成立思想可得 a 的范围；（2）求得 F（x）=h（x）g（x）的导数和二阶导数，判断 F（x）的单调性，讨论 a1，a 1，F（x）的单调性和零点个数；（ 3）由（1）知，当 a=1 时，e x 1+ln（x+1）对 x0 恒成立，令 ；由（2）知，当 a=1 时，对 x0 恒成立，令 ，结合条件，即可得证【详解】（）解：令 H（x）=h（x）f（x）=e x1aln（x+1） （x0） ，则 ，若 a1，则 ，H（x）0，H（x）在0，+）递增，H（
23、x）H（0）=0，即 f（x）h（x）在0，+）恒成立，满足，所以 a1； 若 a1，H（x）=e x 在0，+）递增，H（x）H（0）=1a，且1a0，且 x+时，H（x）+，则x 0（0，+） ，使 H（x 0）=0 进而 H（x）在0，x 0）递减，在（x 0，+）递增，所以当 x（0，x 0）时 H（x）H（0）=0，即当 x（0，x 0）时，f（x）h（x） ，不满足题意，舍去；综合，知 a 的取值范围为（，1（）解：依题意得 ，则 F（x）第 19 页 共 22 页=exx 2+a，则 F（x）=e x2x0 在（，0）上恒成立，故 F（x）=e xx 2+a 在（，0）递增，所以
24、 F（x）F（0）=1+a，且 x时，F（x）；若 1+a0，即 a1，则 F（x）F（0）=1+a0，故 F（x）在（，0）递减，所以 F（x）F（0）=0，F（x）在（，0）无零点；若 1+a0，即 a1，则 使 ，进而 F（x）在 递减，在 递增， ，且 x时， ，F（x）在 上有一个零点，在 无零点，故 F（x）在（，0）有一个零点综合，当 a1 时无零点；当 a1 时有一个零点（）证明：由（）知，当 a=1 时，e x1+ln（x+1）对 x0 恒成立，令 ，则 即 ； 由（）知，当 a=1 时， 对 x0 恒成立，令 ，则 ，所以 ；故有 【点睛】本题考查导数的运用：求单调区间，考
25、查函数零点存在定理的运用，考查分类讨论思想方法，以及运算能力和推理能力，属于难题对于函数的零点问题，它和方程的根的问题，和两个函数的交点问题是同一个问题，可以互相转化；在转化为两个函数交点时，如果是一个常函数一个含自变量的函数，注意让含有自变量的函数式子尽量简单一些。22已知函数 ，其导函数为 当 时，若函数 在 R 上有且只有一个零点，求实数 a 的取值范围； 设 ，点 是曲线 上的一个定点，是否存在实数 使得第 20 页 共 22 页成立？并证明你的结论【答案】 （1） 或 ；（2）见解析.【解析】【分析】当 ， ，由题意 ，令 ，则 ，解得 ，由此能求出 或 时，在 R 上有且只有一个零
26、点由 ，得 ，假设存在 ，则，利用导数性质推导出不存在实数 使得成立。【详解】当 时， ， ， ，由题意得 ，即 ，令 ，则 ，解得 ，当 时， ， 单调弟增，当 时， ， 单调递减，当 时， ，当 时， ，则 或 时， 在 R 上有且只有一个零点第 21 页 共 22 页由 ，得 ，假设存在 ，则有 ，即 ，即 ， ， ，令 ，则 ，两边同时除以 ，得 ，即 ，令 ， ，令 在 上单调递增，且 ，对于 恒成立，即 对于 恒成立，在 上单调递增， ，对于 恒成立，不成立，同理， 时，也不成立第 22 页 共 22 页不存在实数 使得 成立【点睛】本题考查利用导数研究函数的性质及实数的最值范围的求法、满足条件的实数是否存在的判断与证明，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查运算求解能力、推理论证能力，考查创新意识，属于难题。
