1、页 1 第江 苏 省 常 州 市 武 进 区 2019 届 高 三 上 学 期 期 中 考 试高三理科数学试题一、填空题（本大题共 14 小题，每小题 5 分，共 70 分， 请将答案填写在答题卡相应的位置上）1设集合 2Ax， 21yBx，则 AB 2已知向量 ,1a， ,b，若 ab，则实数 x的值为 3设 xR，则 38是 2x的 条件（填“充分不必要”，“必要不充分”，“充要”，“既不充分也不必要”）4已知等差数列 na的前 项和为 nS，若 23108a，则 9S 5已知 fx是函数 sicofxx的导函数，实数 满足 3ff ，则 tan2的值为 6已知 (1,)a， (2,1)b
2、，若向量 2ab与 (8,6)c共线，则实数 的值为 7已知函数 fxpxq为偶函数，且在 0,单调递减，则 (3)0fx的解集为 8在平面直角坐标系中， AB， CD， EF， GH是圆 21xy上的四段弧（如图），点 P在其中一段弧上，角 以 Ox为始边， P为终边若 tancosin，则 所在的圆弧是 9函数 log31ayx( 0且 1a)的图象恒过定点 A，若点 在直线 10mxny上，其中0mn，则 n的最小值为 201811页 2 第10已知 R，函数 245,1xfe，若函数 fx恰有 2个零点，则实数 的取值范围是 11在等腰梯形 ABCD中， ， 2AB， 1D， 60AB
3、，若 3CE，F，且 1EF，则实数 的值为 12已 知 不 等 边 （ 三 条 边 都 不 相 等 的 三 角 形 ） 的 内 角 、 、 的 对 边 分 别 为abc、 、，若 2oscabBCbc，则 A的弧度数为 13已知定义在 R 上的函数xef，若存在实数 a，使得对任意实数 x都有 fak成立，则实数 k的最小值为 14若正实数 x、 y满足 229xy，且 29xy，则 xy的取值范围为 二、解答题：（本大题共 6 道题，计 90 分解答 应写出必要的文字说明、 证明过程或演算步骤）15（本题满分 14 分）ABC的内角 、 、 C的对边分别为 a、 b、 c，已知 sin3c
4、os3ABC， 8sinsin7A， 7a. 求角 的值； 求 的面积16（本题满分 14 分）已知 O为坐标原点， cos,1Ax， 2cos,3in2OBx， Rx，若 fxB. 求函数 f的最小正周期和单调递增区间； 将函数 yx的图象上各点的横坐标伸长为原来的 2倍( 纵坐标不变)，再将得到的图象向左平移 4个单位，得到函数 ygx的图象，求函数 ygx在 5,12上的最小值页 3 第页 4 第17（本题满分 14 分）常州地铁项目正在紧张建设中，通车后将给市民出行带来便利.已知某条线路通车后，地铁的发车时间间隔 t（单位：分钟）满足 20t， Nt经测算，地铁载客量与发车时间间隔 t
5、相关，当 102时地铁为满载状态，载客量为 1200 人，当 210t时，载客量会减少，减少的人数与 ()t的平方成正比，且发车时间间隔为 2 分钟时的载客量为 560 人，记地铁载客量为 ()pt. 求 p的表达式，并求当发车时间间隔为 6 分钟时，地铁的载客量； 若该线路每分钟的净收益为 ()30ptQ（元），问当发车时间间隔为多少时，该线路每分钟的净收益最大？18（本题满分 16 分）已知函数22()lnfxax 讨论 的单调性； 若 ()0fx恒成立，求实数 a 的取值范围页 5 第19（本题满分 16 分）设函数 3fxtmxt，其中 t， R 若 1t， 0，求曲线 yf在点 0,
6、f处的切线方程； 若 9，求 fx的极值； 若曲线 y与直线 42yxt有三个互异的公共点，求实数 m的取值范围20（本题满分 16 分）设数列 na的前 项和为 nS已知 *623Nnna，设 412nnac. 求证：当 2时， 1c为常数； 求数列 n的通项公式； 设数列 b是正项等比数列，满足： 1ba， 32，求数列 nab的前 n 项的和 nT2019 届 第 一 学 期 期 中 考 试高三理科数学试题参考答案及评分标准一、填空题（本大题共 14 小题，每小题 5 分，共 70 分，请将答案填写在答题卡相应的位置上）1 -21x 2 3充分不必要 4 2 5 43 6 7 (,2)(
7、4,) 8 EF9 2 10 1,05U 11 1412 3 13 2 14 6,9二、解答题：（本大题共 6 道题，计 90 分解答 应写出必要的文字说明、 证明过程或演算步骤）15解：（1）由 ABC，故 ACBcos)cos(，得 sin3cos，-2 分即 2，得 3sin2-201811页 6 第-4 分又 233A， 3A，即 ；-7 分（2）由已知 8sinsin7BC，由正弦定理 iiiabcA得 87ba， 7， 8c，-9 分由余弦定理 Acos22，得 bb64)(49，解得 15bc，-12 分 ABC的面积为 4315sin2Ac-14 分16 解： (1)由题意 o
8、,Ox， 2cos,3in2Bx，所以 2cos3icsi1()16fx ，-3 分的最小正周期为 T， -4 分令 22,6kxkZ，得 ,3kxkZ，所以的单调递增区间为 ,36. -6 分(2)由(1)得 sin()1fx，所以将函数 y的图象上各点的横坐标伸长为原来的 2倍(纵坐标不变)，得到函数 si()6x；-8 分再将得到的图象向左平移 4个单位，得到 52sin()12sin()1gxx， -10 分5,1， ,36x， 当 26x即 2时， min52sin11g，-13 分即函数 yg在 5,1上的最小值为 2 -14 分页 7 第17解（1）由题意知 2120,10(),
9、kttpt， Nt， （ k为常数），-2 分2(2)056pk，k，-3 分220,2101,1() 10, tttttt， -5 分262604p，-6 分（2）由 ()3tQ，可得2105660,21384,1tttt，-8 分当 210t时， 3660140210Qt，当且仅当 时等号成立；-10 分当 t时， 72368t ，当 t时等号成立，-12 分当发车时间间隔为 6t分钟时，该线路每分钟的净收益最大，最大为 120 元.答：当发车时间间隔为 分钟时，该线路每分钟的净收益最大，最大为 120 元.- - 14 分18解：（1）函数 ()fx的定义域为 0,，22 xaafx ，
10、-2 分若 0，则 2()fx，在 0,单调递增；-3 分若 a，则由 得 a当 ,x时， ()fx；当 ,时， ()0fx，所以 ()f在 0单调递减，在 单调递增；-5 分若 a，则由 ()fx得 2a当 0,2x时， 0f；当 ,x时， ()0fx，故 ()f在 ,a单调递减，在 ,2a单调递增-7 分页 8 第（2） 若 0a，则 2()fx，所以 0fx-8 分若 ，则由（ 1）得， 2min()lnfa，从而当且仅当 2ln即 时， fx，0a.-11 分若 ，则由（ 1）得， 2min3()()ln4aafxf，-13 分从而当且仅当 23l04a即3e时， 0fx，340ea.
11、-15 分综上，实数 a 的取值范围为342,1e.-16 分19解：（1）函数 fxtmxt， t， 0m时， 3，231fx， 01f， 0f，-2 分 y在点 ,处的切线方程为 31yx；-3 分（2）当 9m时， 39fxtt， 23fxt x，-4 分令 0，解得 3xt或 t；当 x变化时， f， f的变化情况如下表；（， 3t）t（ t2，t2+ ）3t（ t，+）fx+ 0 0 +单调增 极大值 单调减 极小值 单调增-6 分 yfx的极大值为 3963ft，极小值为396t；- -8 分页 9 第（3）令 uxt，可得 31420um；设函数 3gx，则曲线 yfx与直线 y
12、t有三个互异的公共点等价于函数 ygx有三个不同的零点；-9 分又 231gm，当 时， 0x恒成立，此时 gx在 R上单调递增，不合题意； -10 分当 1时，令 g，解得 13， 213m； x在 1,上单调递增，在 12,x上单调递减，在 2,x上也单调递增； g的极大值为 31 14039mgx；极小值为 322；-12 分若 0gx，由 gx的单调性可知，函数 gx至多有两个零点，不合题意；若 2，即3216m，解得 7m，-13 分此时 2x， 40，且 12x；g，-15 分从而由 x的单调性可知，y在区间 12,mx， 2,， ,1xm内各有一个零点，符合题意； m的取值范围是
13、 7,-16 分20解：（1）由题意：n=1 时， 1165,Sa；-1 分当 2n时， (2)nn， 16(3)()na，12,ann， -3 分11 11 (2)4414 4322323nnn nn aaa ac 页 10 第114402323nnaa，-5 分当 时， 1nc为常数 0. -6 分（2）由（1）得， 是常数列.143ac， 1nc，-8 分2n，na.-10 分（3）由（2）知： 13,4b，数列 nb是正项等比数列，所以，公比为 2， 1nb，2211496nT，3n，-得： 231257()nnn ，-12 分设 2311()nnP，23，-得： 2312()nnn ，-14 分1()21,()nnP，nT.-16 分
