1、第 1 页 共 22 页2019 届四川省攀枝花市高三第一次统一考试数学（理）试题一、单选题1已知集合 , ,则集合 ( )A B C D 【答案】B【解析】利用一元二次方程的解法化简集合化简集合 ，利用并集的定义求解即可.【详解】由一元二次方程的解法化简集合，或 ，或 ，故选 B.【点睛】研究集合问题，一定要抓住元素，看元素应满足的属性.研究两集合的关系时，关键是将两集合的关系转化为元素间的关系，本题实质求满足属于集合 或属于集合 的元素的集合.2已知 是虚数单位, ,且 ,则 ( )A B C D 【答案】A【解析】利用复数代数形式的乘除运算，再由复数相等的条件列等式求得 值.【详解】由
2、，得 ，即 ，故选 A.【点睛】复数是高考中的必考知识，主要考查复数的概念及复数的运算要注意对实部、虚部第 2 页 共 22 页的理解，掌握纯虚数、共轭复数这些重要概念，复数的运算主要考查除法运算，通过分母实数化转化为复数的乘法，运算时特别要注意多项式相乘后的化简，防止简单问题出错，造成不必要的失分.3如图是底面为正方形、一条侧棱垂直于底面的四棱锥的三视图,那么该四棱锥的直观图是下列各图中的( )A B C D 【答案】C【解析】利用排除法，根据正视图侧视图三角形竖线的位置可排除选项 ，从而可得结果.【详解】由正视图三角形的竖线在左侧可排除选项 ，由侧视图三角形的竖线在右侧可排除选项 ，故选
3、C.【点睛】本题利用空间几何体的三视图重点考查学生的空间想象能力和抽象思维能力，属于难题.三视图问题是考查学生空间想象能力最常见题型，也是高考热点.观察三视图并将其“翻译”成直观图是解题的关键，不但要注意三视图的三要素“高平齐，长对正，宽相等” ，还要特别注意实线与虚线以及相同图形的不同位置对几何体直观图的影响，对简单组合体三视图问题，先看俯视图确定底面的形状，根据正视图和侧视图，确定组合体的形状.第 3 页 共 22 页4设 为实数,且 ,则下列不等式正确的是( )A B C D 【答案】D【解析】对于 、 ，令 可判断；对于 ，取 ，则 可判断；对于 ，由，可以得到 ， 利用不等式的传递性
4、可判断 的正误.【详解】对于 ，令 ，故 错误；对于 ，当 时，则 ，故 错误；对于 ，则 ， ，则 ，故 错误；对于 ， 且 ，故 正确，故选 D.【点睛】判断不等式是否成立主要从以下几个方面着手：（1）利用不等式的性质直接判断；（2）利用函数式的单调性判断；（3）利用特殊值判断.5函数 的大致图象为 ( )A B C D 【答案】A【解析】利用排除法，由 及 分别排除 与 ，从而可得结果.【详解】第 4 页 共 22 页当 时， ,可排除选项 ；当 时， ，可排除选项 ，故选 A.【点睛】本题通过对多个图象的选择考查函数的图象与性质，属于中档题.这类题型也是近年高考常见的命题方向，该题型的
5、特点是综合性较强、考查知识点较多，但是并不是无路可循.解答这类题型可以从多方面入手，根据函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、特殊点以及 时函数图象的变化趋势，利用排除法，将不合题意的选项一一排除.6运行如图所示的程序框图,则输出的结果 为( )A B C D 【答案】D【解析】模拟执行程序框图，只要按照程序框图规定的运算方法逐次计算，直到达到输出条件即可得到输出的 的值.【详解】由程序图可知，该程序表示的是数列 的求和过程，通过观察可知，数列 是一个周期为 6 的周期数列，且在一个周期内，该数列和为 0,当 时，跳出循环输出 ，第 5 页 共 22 页故 ，故选 D.【点睛】算法是新课标高考的
6、一大热点，其中算法的交汇性问题已成为高考的一大亮，这类问题常常与函数、数列、不等式等交汇自然，很好地考查考生的信息处理能力及综合运用知识解决问題的能力，解决算法的交汇性问题的方：（1）读懂程序框图、明确交汇知识，(2）根据给出问题与程序框图处理问题即可 .7若当 时,函数 取得最大值,则 ( )A B C D 【答案】B【解析】函数 解析式提取 5 变形后,利用两角和与差的正弦函数公式化为一个角的正弦函数，利用正弦函数的性质可得结果.【详解】，其中 , 当 ，即 时， 取得最大值 5 ,，则 ，故选 B.【点睛】此题考查了两角和与差的正弦函数公式、辅助角公式的应用 ，以及正弦函数最值，熟练掌握
7、公式是解本题的关键.8 周碑算经中有这样一个问题：从冬至日起 ,依次小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气其日影长依次成等差数列,冬至、立春、春分日影长之和为 尺,前九个节气日影长之和为 尺,则小满日影长为( )A 尺 B 尺 C 尺 D 尺【答案】B第 6 页 共 22 页【解析】设各节气日影长依次成等差数列 ， 是其前 项和，则 = = =85.5，所以=9.5，由题知 = =31.5，所以 =10.5，所以公差 =1，所以 =2.5，故选 B9已知函数 的最小正周期为 ,若 在 上单调递增,在上单调递减,则实数 的取值范围是( )A B C D 【答
8、案】B【解析】由函数 的最小正周期为 可得 ，求出 的增区间与减区间，分别令与 是其子集即可.【详解】由题意可得 ，求得 ，令 ，求得 ，由 ，求得 ，因为 在 上单调递增,在 上单调递减,第 7 页 共 22 页所以 ，所以实数 的取值范围是 ，故选 B.【点睛】函数 的单调区间的求法：(1) 代换法：若 ,把 看作是一个整体，由 求得函数的减区间，求得增区间； 若 ,则利用诱导公式先将 的符号化为正，再利用的方法，或根据复合函数的单调性规律进行求解；(2) 图象法：画出三角函数图象，利用图象求函数的单调区间.10已知数列 的前 项和为 , ,且 ,则 的最小值和最大值分别为( )A B C
9、 D 【答案】D【解析】由 ，得 ，化为 ，由等差数列的通项公式可得， ，从而可得结果.【详解】由 ，得 ，化为 ，第 8 页 共 22 页，当 时， 最小值为 ；当 时， 最大值为 ，故选 D.【点睛】对于递推公式确定的数列的求解，通常可以通过递推公式的变换，转化为等差或等比数列问题，有时也用到一些特殊的转化方法与特殊数列，此法称为辅助数列法常用转化方法：变换法、待定系数法、加减法、累加法、迭代法等.11在四边形 中, 已知 是 边上的点,且 , ,若点 在线段 (端点 除外)上运动,则 的取值范围是( )A B C D 【答案】C【解析】根据平面向量几何运算的三角形法则可得 ，在 中，由余
10、弦定理可得， ，结合 ，利用配方法可得结果.【详解】由 ，在 中， ，在 上， , ，可得 ，第 9 页 共 22 页即 的取值范围是 ，故选 C.【点睛】求最值问题往往先将所求问题转化为函数问题，然后根据:配方法、换元法、不等式法、三角函数法、图象法、函数单调性法求解，若函数为一元二次函数，常采用配方法求函数求最值，其关键在于正确化成完顶点式，并且一定要先确定其定义域.12在直角坐标系中,如果相异两点 都在函数 y=f(x)的图象上,那么称 为函数 的一对关于原点成中心对称的点( 与 为同一对 ).函数的图象上关于原点成中心对称的点有( )A 对 B 对 C 对 D 对【答案】C【解析】函数
11、 的图象上关于原点成中心对称的点的组数，就是 与图象交点个数，利用数形结合可得结果.【详解】因为 关于原点对称的函数解析式为 ,所以函数 的图象上关于原点成中心对称的点的组数，第 10 页 共 22 页就是 与为 图象交点个数，同一坐标系内，画出 与 图象，如图，由图象可知，两个图象的交点个数有 5 个，的图象上关于原点成中心对称的点有 5 组，故选 C.【点睛】本题主要考查三角函数与对数函数的图象与性质，以及数形结合思想、转化与划归思想的应用，属于难题. 数形结合是根据数量与图形之间的对应关系，通过数与形的相互转化来解决数学问题的一种重要思想方法，.函数图象是函数的一种表达形式，它形象地揭示
12、了函数的性质，为研究函数的数量关系提供了“形”的直观性归纳起来，图象的应用常见的命题探究角度有：1、确定方程根的个数；2、求参数的取值范围；3、求不等式的解集；4、研究函数性质二、填空题13平面向量 的夹角为 ,若 ，则 _ .【答案】【解析】分析：把 平方即可.解析：根据题意，平面向量 ， 的夹角为 ，且 ， ，则 .，则有 .故答案为： .点睛：求向量的模的方法（1）公式法：利用 及 ，把向量的模的运算转化第 11 页 共 22 页为数量积运算（2）几何法：利用向量的几何意义，即利用向量加减法的平行四边形法则或三角形法则作出向量，再利用余弦定理等方法求解14曲线 在点 处的切线与直线 垂直
13、,则实数 _.【答案】【解析】【详解】曲线 在点 处的切线与直线 垂直，所以切线斜率为 1，解得 ，故答案为 1.【点睛】本题主要考查利用导数求切线斜率，属于难题. 应用导数的几何意义求切点处切线的斜率，主要体现在以下几个方面：(1) 已知切点 求斜率 ,即求该点处的导数；(2) 己知斜率 求切点 即解方程 ；(3) 巳知切线过某点(不是切点) 求切点, 设出切点 利用 求解.15若幂函数 在 上为增函数, 则_ .【答案】【解析】利用幂函数的定义与性质求得 ，将 代入 ，利用对数的运算法则化简即可.【详解】第 12 页 共 22 页在 上为增函数，解得 ，故答案为 4.【点睛】本题主要考查幂
14、函数的定义与性质以及对数的运算法则的应用，意在考查对基础知识的掌握以及综合应用所学知识解答问题的能力，属于中档题.16已知函数 ,若 ,则 的取值范围是_ .【答案】【解析】先证明函数 是偶函数，再利用导数证明 在 上递增，由 是偶函数可得在 上递减，利用对数的运算法则将原不等式化简为 ，等价于 ，从而可得结果.【详解】，是偶函数，时， ，在 上递增，由 是偶函数可得 在 上递减，第 13 页 共 22 页，化为 ， ，等价于 ， 或 ，或 ，即 的取值范围是 ，故答案为 .【点睛】本题主要考查函数的奇偶性与单调性的应用以及利用导数研究函数的单调性，属于难题.将奇偶性与单调性综合考查是，一直是
15、命题的热点，解这种题型往往是根据函数在所给区间上的单调性，根据奇偶性判断出函数在对称区间上的单调性(偶函数在对称区间上单调性相反，奇函数在对称区间单调性相同)，然后再根据单调性列不等式求解.三、解答题17公差不为零的等差数列 的前 项和为 ,若 ,且 成等比数列.()求数列 的通项公式；()设 是首项为 ,公比为 的等比数列,求数列 的通项公式及其前 项和 .【答案】 （1） （2） ，【解析】（）由已知利用等差数列的前 项和公式和等比数列的性质列出方程组，求出首项和公差，由此能求出数列 的通项公式 ；()结合（）可得， ,根据分组求和法，利用等比数列与等差数列求和公式可得结果.【详解】（）由
16、 ,得 又 成等比数列, ,即 ,第 14 页 共 22 页解得 或 （舍去）, ,故 （）由题意 ,所以 , 所以【点睛】本题主要考查等差数列的通项公式与求和公式及等比数列的求和公式，利用“分组求和法”求数列前 项和，属于中档题. 利用“分组求和法”求数列前 项和常见类型有两种：一是通项为两个公比不相等的等比数列的和或差，可以分别用等比数列求和后再相加减；二是通项为一个等差数列和一个等比数列的和或差，可以分别用等差数列求和、等比数列求和后再相加减.18 的内角 所对的边分别为 ,且满足 .()求 的值；()若 外接圆半径为 ,求 的面积.【答案】 （1） （2）【解析】（1）由 及正弦定理得
17、从而 ,利用诱导公式结合 ,可求出 的值；（）由正弦定理得 ，再由余弦定理及 ，配方化简可得 ，由三角形面积公式可得结果.【详解】（）由 及正弦定理得从而 即第 15 页 共 22 页又 中 , . （） 外接圆半径为 3, ,由正弦定理得 再由余弦定理 ,及得 的面积 .【点睛】以三角形为载体，三角恒等变换为手段，正弦定理、余弦定理为工具，对三角函数及解三角形进行考查是近几年高考考查的一类热点问题，一般难度不大，但综合性较强.解答这类问题，两角和与差的正余弦公式、诱导公式以及二倍角公式，一定要熟练掌握并灵活应用，特别是二倍角公式的各种变化形式要熟记于心.19如图,矩形 和菱形 所在的平面相互
18、垂直, , 为 的中点.()求证： 平面 ；()若 ,求二面角 的余弦值.【答案】()见解析；() 【解析】(1)由矩形的性质推导出 ,由面面垂直的性质可得 平面 ,再求出 ,根据菱形的性质可得 ,即 ，由此能证明平面 平面 ；(2)以 为原点，为 轴， 为 轴， 为 轴, 建立空间直角坐标系， 利用向量垂直数量积为零 ，列方程组求出平面 的法向量与平面 的法向量，利用空间向量夹角余弦公式能求出二面角的余弦值.【详解】第 16 页 共 22 页()矩形 和菱形 所在的平面相互垂直, ,矩形 菱形 , 平面 , 平面 , ,菱形 中, , 为 的中点 ,即 , 平面 ()由()可知 两两垂直,以
19、 A 为原点,AG 为 x 轴,AF 为 y 轴,AD 为 z 轴,建立空间直角坐标系,设 ,则 ,故 , , , ,则 , , ,设平面 的法向量 ,则 ,取 ,得 ,设平面 的法向量 ,则 ,取 ,得 , 设二面角 的平面角为 ,则 , 易知 为钝角,二面角 的余弦值为【点睛】本题主要考查线面垂直的证明以及利用空间向量求二面角，属于难题.空间向量解答立体几何问题的一般步骤是：（1）观察图形，建立恰当的空间直角坐标系；（2）写出相应点的坐标，求出相应直线的方向向量；（3）设出相应平面的法向量，利用两直线垂直数量积为零列出方程组求出法向量；（4）将空间位置关系转化为向量关系；第 17 页 共
20、22 页（5）根据定理结论求出相应的角和距离.20椭圆 的右顶点和上顶点分别为 ,斜率为 的直线 与椭圆 交于两点(点 在第一象限).()求证：直线 的斜率之和为定值；()求四边形 面积的取值范围.【答案】()见解析；() .【解析】()设直线 方程为： 代入 并整理得： ,利用韦达定理与斜率公式可得而 ，化简即可得结果；()设 的左顶点和下顶点分别为 、 ,则直线 、 、 为互相平行的直线,所以、 两点到直线 的距离等于两平行线 、 间的距离 .，利用弦长公式以及三角形面积公式可得 ，从而可得结果.【详解】()设直线 方程为： 代入椭圆 并整理得：设 ,则 . 从而所以直线 、 的斜率之和为
21、定值 0. ()设 的左顶点和下顶点分别为 、 ,则直线 、 、 为互相平行的直线,所以 、 两点到直线 的距离等于两平行线 、 间的距离 .第 18 页 共 22 页,又 点在第一象限,.【点睛】本题主要考查直线与椭圆的位置关系、圆锥曲线的定值与范围问题，属于难题. 探索圆锥曲线的定值问题常见方法有两种： 从特殊入手，先根据特殊位置和数值求出定值，再证明这个值与变量无关； 直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值.21已知函数 , (其中 为自然对数的底数).()若 对所有的 恒成立,求实数 的取值范围；()求最大的整数 ,使 在 上为单调递增函数.【答案】() .() 1
22、4 【解析】()不等式化为 ,令 ，再次求导，可得 在上单调递增,则 ，从而可得结果；()对一切 恒成立,令 , 可证明 在 上存在唯一的零点,令为 ,则 ，由() ，在() 中令 可得 ，从而可得结果 .【详解】()不等式为 ,令 令 , ,所以 在 上单调递减, , 即,所以 在 上单调递增,则第 19 页 共 22 页所以 . () 对一切 恒成立 ,令 , ,所以 为 上的增函数,又 , ,所以 在 上存在唯一的零点,令为 ,则 由()知当 时 ,所以, 在()中令 得当 时, ,所以所以所以最大的整数 为 14【点睛】本题是以导数的运用为背景的函数综合题，主要考查了函数思想，化归思想
23、，抽象概括能力，综合分析问题和解决问题的能力，属于较难题，近来高考在逐年加大对导数问题的考查力度，不仅题型在变化，而且问题的难度、深度与广度也在不断加大，本部分的要求一定有三个层次：第一层次主要考查求导公式，求导法则与导数的几何意义；第二层次是导数的简单应用，包括求函数的单调区间、极值、最值等；第三层次是综合考查，包括解决应用问题，将导数内容和传统内容中有关不等式甚至数列及函数单调性有机结合，设计综合题.22在极坐标系中,曲线 的极坐标方程为 ,点 ,以极点为原点,以极轴为 轴的正半轴建立平面直角坐标系, 已知直线 ( 为参数)与曲第 20 页 共 22 页线 交于 两点.()若 为曲线 上任
24、意一点, 求 的最大值, 并求出此时点 的极坐标；()求 的值.【答案】 （1） 取得最大值 , （2）【解析】(1)曲线 的扱坐标方程化为 ，由三角函数的有界性可得当 时, 取得最大值 ,从而得 的极坐标；(2)由 ,得 ，利用互化公式可得直角坐标方程. 将 为参数）代入 ，并整理得：,利用韦达定理，根据直线参数方程的几何意义可得结果.【详解】（）当 时, 取得最大值 ,此时 的极坐标为 （）由 ,得 将 代入 并整理得： , 由 的几何意义得 【点睛】本题考查圆的参数方程和普通方程的转化、直线极坐标方程和直角坐标方程的转化以及点到直线距离公式，消去参数方程中的参数，就可把参数方程化为普通方
25、程，消去参数的常用方法有：代入消元法； 加减消元法；乘除消元法；三角恒等式第 21 页 共 22 页消元法，极坐标方程化为直角坐标方程，只要将 和 换成 和 即可.23设函数 .()若 ,求 的解集；()若 的最小值为 ,求 的最大值.【答案】 （1） （2）4【解析】()对 分三种情况讨论，分别去掉绝对值符号，然后求解不等式组，再求并集即可得结果；（）由 , 又，从而可得结果.【详解】（）因为 ,所以 ,当 时, , ;当 时, ；当 时, , ；综上所述： （） , 又 （当且仅当 时取等号）, ,故 的最大值为 ,（当且仅当 时取等号） 【点睛】含绝对值不等式的解法有两个基本方法，一是运用零点分区间讨论，二是利用绝对值的几何意义求解法一是运用分类讨论思想，法二是运用数形结合思想，将绝对值不等式与函数以及不等式恒成立交汇、渗透，解题时强化函数、数形结合与转化化归思第 22 页 共 22 页想方法的灵活应用，这是命题的新动向
