1、第 1 页 共 19 页2019 届江西省临川第一中学高三 10 月月考数学 (文)试题一、单选题1已知函数 的定义域为 , 的定义域为 ,则21fxMln1gxN=( )RMCNA B |1x|1xC D |【答案】A【解析】试题分析:集合 =|1,1|1RMxNxMCNx【考点】1函数定义域;2集合运算2曲线 在点 处的切线倾斜角为( )y43,3)A B C D246【答案】A【解析】解: ,斜率为-1,倾斜角 为213|34xyy343下列说法不正确的是( )A 若“ 且 ”为假,则 , 至少有一个是假命题.B 命题“ ”的否定是“ ”.C 设 是两个集合,则“ ”是“ ”的充分不必要
2、条件 .D 当 时,幂函数 在 上单调递减.【答案】C【解析】试题分析:A.正确,当两个命题都是真命题, 且 才是真命题,B.正确,C. “ ”是“ 为偶函数”的充分不必要条件,不是充要条件,故不正确;D.正确,当 时,幂函数在区间 是增函数,当 的,幂函数在区间第 2 页 共 19 页是减函数,故选 C.【考点】命题4已知函数 ,则 ( )A B C D 【答案】D【解析】试题分析: .故选 D.【考点】分段函数求值.5设 在 内存在 使 ,则 的取值范围是A B C 或 D 【答案】C【解析】略6设函数 ,若当 时,不等式 恒成立,则实数 的取值范围是( )A B C D 【答案】A【解析
3、】 , ,函数 为奇函数;又 ,函数 为 上的单调递增函数 恒成立 恒成立,第 3 页 共 19 页 恒成立 恒成立,由 知, , ,由 恒成立知: ,实数 m 的取值范围是 ,故选 A.点睛:本题考查函数的奇偶性与单调性,突出考查转化思想与恒成立问题,属于中档题;利用奇函数 单调递增的性质,可将不等式 恒成立,转化为 恒成立,由 ,可求得实数 的取值范围.7已知 是奇函数,且满足 ,当 时, ,则在 内是( )A 单调增函数,且 B 单调减函数,且C 单调增函数,且 D 单调减函数,且【答案】A【解析】先根据 f(x+1)=f(x1)求出函数的周期,然后根据函数在 x(0,1)时上的单调性和
4、函数值的符号推出在 x(1,0)时的单调性和函数值符号,最后根据周期性可求出所求【详解】f(x+1)=f(x 1),f(x+2)=f(x)即 f(x)是周期为 2 的周期函数当 x(0,1)时, 0,且函数在(0, 1)上单调递增,y=f(x)是奇函数,当 x(1,0)时, f(x)0,且函数在(1,0)上单调递增根据函数的周期性可知 y=f(x)在(1,2)内是单调增函数,且 f(x)0故选:A【点睛】第 4 页 共 19 页本题主要考查了函数的周期性和函数的单调性,同时考查了分析问题,解决问题的能力,属于基础题8已知函数 ( )的图象关于 轴对称,则 在区间上的最大值为( )A B C D
5、 【答案】A【解析】因为函数 的图象关于 轴对称,所以,又 ,则 ,即 ,因为 ,所以 ,则当 ,即 时, 取得最大值 ;故选 A.点睛:判定三角函数的奇偶性时,往往与诱导公式进行结合,如:若 为奇函数,则 ;若 为偶函数,则 ;若 为偶函数,则 ;若 为奇函数,则 .9设曲线 上任一点 处的切线斜率为 ,则函数的部分图象可以为( )A B C D 【答案】D【解析】第 5 页 共 19 页因为 ,所以 ,则 ,易知 为奇函数,其图象关于原点对称,故排除选项 B、C,又因为,故排除选项 A;故选 D.点睛:已知函数的表达式判定图象的形状时,往往从以下几方面考虑:定义域、值域或最值、对称性或奇偶
6、性、单调性、特殊自变量所对应的函数值.10已知函数 在区间 上至少有一个零点,则实数 的取值范围是( )A B C D 【答案】D【解析】函数 在区间 上至少有一个零点,即直线 与函数图象在 上至少有一个公共点,研究函数 的单调性与极值即可.【详解】函数 在区间 上至少有一个零点,即直线 与函数 图象在 上至少有一个公共点,易知: 在 上单调递增,在 上单调递减,且 时, ,如图所示:第 6 页 共 19 页由图易得:实数 的取值范围是故选:D【点睛】已知函数有零点求参数取值范围常用的方法和思路(1)直接法:直接根据题设条件构建关于参数的不等式,再通过解不等式确定参数范围;(2)分离参数法:先
7、将参数分离,转化成求函数值域问题加以解决;(3)数形结合法:先对解析式变形,在同一平面直角坐标系中,画出函数的图象,然后数形结合求解11关于 的方程 ,给出下列四个命题:x22(1)0xk存在实数 ,使得方程恰有 2 个不同实根; 存在实数 ,使得方程恰有 4 个不k k同实根;存在实数 ,使得方程恰有 5 个不同实根; 存在实数 ,使得方程恰有 8 个不同实根;其中假命题的个数是( )A0 B1 C2 D3【答案】A【解析】试题分析:关于 x 的方程 可化为22(1)0xk(1)22x1k0( ) ( ) ( 或 )或 (1x1) (2)x( ) ( )当 k=2 时,方程(1)的解为 ,方
8、程(2)无解,原方程恰有 2 个不同的实3根;当 k= 时,方程(1)有两个不同的实根 ,方程(2)有两个不同的实根4第 7 页 共 19 页,即原方程恰有 4 个不同的实根;2当 k=0 时,方程(1)的解为1,+1, ,方程(2)的解为 x=0,原方程恰有5 个不同的实根;当 k= 时,方程(1)的解为 , ,方程(2)的解为29153 , ,36即原方程恰有 8 个不同的实根四个命题都是真命题故选 A。【考点】本题主要考查函数方程思想,分类讨论思想。点评:中档题,通过讨论 x 的范围,将方程中的绝对值符号去掉,这是一般思路。而k 实施分类讨论又是基于函数值域。12已知定义在1,)上的函数
9、 f(x) ,则( )4|812|()xfA、在1,6)上,方程 f(x ) x0 有 5 个零点16B、关于 x 的方程 f(x ) 0 (n N)有 2n4 个不同的零点2C、当 x2n1,2n(nN)时,函数 f(x)的图象与 x 轴围成的图形的面积为 4D、对于实数 x1,) ,不等式 xf(x)6 恒成立【答案】D【解析】当 x(2,4时,f(x) (4|4x12|)12当 x(4,8时,f(x) (4|2x12|)2当 x(2 n1 ,2 n时,f(x) (4| 8x12|)12n1n则在1,6)上,方程 f(x) x0 有 4 个零点,A 错误;6第 8 页 共 19 页当 n1
10、 时,f(x) 0 有 7 个不同的零点,故 B 错误;12当 x(2 n1 ,2 n时,函数 f(x)的图象与 x 轴围成的面积 S2,故 C 错误114()n当 x(2 n1 ,2 n时,xf(x)的最大值为 6,故 D 正确1124nn【考点】分段函数,图象,性质,零点,最值,不等式二、填空题13已知命题 “若 ,则 , ” 命题 的原命题,逆命题,否命题,逆否命题中真命题的个数为_.【答案】2【解析】根据对数函数的单调性判断命题 p 的真假,写出其逆命题,判断逆命题的真假,再根据根据命题与其逆否命题的真假相同,逆命题与否命题是互为逆否命题,可得答案【详解】 , ,命题 为真命题,其逆命
11、题为:若 ,则 , 时, ,而 .逆命题为假命题,根据命题与其逆否命题的真假相同,逆命题与否命题是互为逆否命题,命题 的原命题,逆命题,否命题,逆否命题中只有命题及其逆否命题是真命题,故答案为: .【点睛】本题考查了四种命题的关系及命题的真假判定,熟练掌握四种命题的真假关系是解题的关键14已知命题 函数 在 上是单调函数,若命题 为真命题,第 9 页 共 19 页则实数 的取值范围是_.【答案】【解析】函数在 上是单调函数,命题 为真命题,所以 .【详解】由题意,得 ,因为函数在 上是单调函数,所以 在 恒成立,则 ,所以实数 的取值范围是: .【点睛】本题以命题的真假判断与应用为载体,考查了
12、导数法研究函数的单调性,属于中档题.15若不等式 对 恒成立,则实数 的取值范围为_.【答案】【解析】不等式 对 恒成立等价于直线 在图象的上方,数形结合处理即可.【详解】若不等式 对 恒成立,则直线 在 图象的上方,如图:联立: ,可得令(舍去)第 10 页 共 19 页故答案为:【点睛】本题考查不等式恒成立问题,考查数形结合思想,考查逻辑推理能力,属于中档题.16设过曲线 ( 为自然对数的底数)上任意一点处的切线为 ,总xfe 1l有过曲线 上一点处的切线 ,使得 ,则实数 的取值范围为 2cosgxa2l12la【答案】 .1,【解析】试题分析:设曲线 上的切点为 ,曲线xfe上一点为
13、.因 ,故直2cosgxax线 的斜率分别为 ,由于 ,因此12l,即 ,也即 .又因为 ,所以 ,由于存在 使得 ,因此且 ,所以 ,所以.【考点】导数的几何意义及不等式恒成立和存在成立问题的求解思路【易错点晴】本题考查的是存在性命题与全称命题成立的前提下参数的取值范围问题.解答时先求导将切线的斜率表示出来,再借助题设中提供的两切线的位置关系,将其数量化,最后再依据恒成立和存在等信息的理解和处理, 从而使问题获解.本题在解答时最为容易出错的地方有两处:其一是将切点设为一个;其二是将存在问题当做任意问题来处理.三、解答题17设函数 的图象上相邻最高点与最低点的距离为 .(1 )求 的值;第 1
14、1 页 共 19 页(2 )若函数 是奇函数,求函数 在 上的单调递减区间.【答案】 (1) ;(2 ) , .【解析】试题分析:(1)根据二倍角的正弦余弦公式及两角差的正弦公式可将化为 ,根据 可得,从而得 ;(2) 是奇函数,则 可得 ,根据余弦函数的单调性可得函数 在 上的单调递减区间.试题解析:(1),设 为 的最小正周期,由 的图象上相邻最高点与最低点的距离为 ,得 ,因为 ,所以 ,整理得又因为 , ,所以 .(2 )由(1 )可知 , , 是奇函数,则 ,又 , ,第 12 页 共 19 页 ,令 , ,则 ,单调递减区间是 ,又 ,当 时,递减区间为 ;当 时,递减区间为 .函
15、数 在 上的单调递减区间是 , .【考点】1、二倍角的正弦余弦公式及两角差的正弦公式;2 、三角函数的图象与性质.18已知四棱锥 的底面为菱形,且 , , .(1 )求证:平面 平面 ;(2 )求点 到平面 的距离 .【答案】 (1)见解析;(2) .【解析】(1)要证平面 平面 ,即证 平面 ,转证 , 即可;(2)利用等积法 构建方程,即可得到点 到平面 的距离.【详解】(1)取 得中点 ,连接 、 ,第 13 页 共 19 页由 , 知 为等腰直角三角形,所以 , ,又 , 知 为等边三角形,所以 .又由 得 ,所以 ,所以 平面 ,又因为 平面 ,所以平面 平面 .(2)设点 到平面
16、的距离为 ,由(1)知 的边长为 的等边三角形,为等腰三角形,由 得 ,因为 , .所以 ,即点 到平面 的距离为 .【点睛】等积法:等积法包括等面积法和等体积法等积法的前提是几何图形(或几何体) 的面积(或体积) 通过已知条件可以得到,利用等积法可以用来求解几何图形的高或几何体的高,特别是在求三角形的高和三棱锥的高时,这一方法回避了通过具体作图得到三角形(或三棱锥)的高,而通过直接计算得到高的数值19一汽车厂生产 A,B,C 三类轿车, 每类轿车均有舒适型和标准型两种型号,某月的产量如表所示(单位: 辆),若按 A,B,C 三类用分层抽样的方法在这个月生产的轿车中抽取 50辆,则 A 类轿车
17、有 10 辆.轿车 A 轿车 B 轿车 C舒适型 100 150 z标准型 300 450 600(1 )求 z 的值;(2 )用随机抽样的方法从 B 类舒适型轿车中抽取 8 辆, 经检测它们的得分如下:9.4,8.6,9.2,9.6,8.7,9.3,9.0,8.2.把这 8 辆轿车的得分看作一个总体 ,从中任取一个分数 .记a第 14 页 共 19 页这 8 辆轿车的得分的平均数为 ,定义事件 ,且函数xE0.5ax没有零点,求事件 发生的概率.2.31fxa【答案】(1)400;(2) .482pE【解析】试题分析:(1)设该厂本月生产轿车为 辆,由题意得 5013n,从而n得到 . 计算
18、得到 =400;20nz(2) 8 辆轿车的得分的平均数为1(9.486.98.739.02)x把 8 辆轿车的得分看作一个总体,从中任取一个分数 对应的基本事件的总数为 个,a8由 ,且函数 没有零点建立不等式组求得0.5a2.1fxa,进一步得到 发生当且仅当 的值为:8.6,9.2,8.7,9.0 共 4 个,.924E由古典概型概率的计算公式即得解.试题解析: (1)设该厂本月生产轿车为 辆,由题意得: 5013n,所以n. 4 分20n0135046z(2) 8 辆轿车的得分的平均数为1(9.486.298.79.2)x6 分把 8 辆轿车的得分看作一个总体,从中任取一个分数 对应的
19、基本事件的总数为 个,a8由 ,且函数 没有零点0.5a2.31fxa10 分298.59.4.4发生当且仅当 的值为: 共 4 个,Ea.6, 2.7, 012 分182p【考点】分层抽样,函数零点,绝对值不等式解法,古典概型.20已知函数 .(1 )求 在区间 上的值域;(2 )若过点 存在 条直线与曲线 相切,求 的取值范围.【答案】(1) ; (2) .【解析】第 15 页 共 19 页(1)利用导数求得极值点比较 f(-2) , ,f(1)的大小即得结论;(2)利用导数的几何意义得出切线方程 4 ,设 g(x)=4x 3-6x2+t+3,则“ 过点 P(1,t)存在 3 条直线与曲线
20、 y=f(x)相切” ,等价于“g(x)有 3 个不同的零点” 利用导数判断函数的单调性进而得出函数的零点情况,得出结论;【详解】(1)由 得 .令 ,得 或 .因为 , , , ,所以 在区间 上的最大值为 .(2)设过点 的直线与曲线 相切于点 ,则 ,且切线斜率为 ,所以切线方程为 ,因此 .整理得 .设 ,则“过点 存在 3 条直线与曲线 相切”等价于“ 有 3 个不同零点”. .与 的变化情况如下:0 10 0第 16 页 共 19 页所以, 是 的极大值, 是 的极小值.当 ,即 时,此时 在区间 和 上分别至多有 1 个零点,所以 至多有 2 个零点.当 ,即 时,此时 在区间
21、和 上分别至多有 1 个零点,所以 至多有 个零点.当 且 ,即 时,因为 , ,所以 分别在区间 , 和 上恰有 1 个零点.由于 在区间 和 上单调,所以 分别在区间 和 上恰有 1 个零点.综上可知,当过点 存在 条直线与曲线 相切时, 的取值范围是 .【点睛】本题主要考查利用导数求切线方程及判断函数的单调性求最值等知识,考查转化划归思想及分类讨论思想的运用能力和运算能力,属难题21已知函数 .(1 )当 时,求函数 的单调增区间;(2 )若不等式 对于任意 成立,求正实数 的取值范围.【答案】 (1)见解析;(2) .【解析】(1) ,对 a 分类讨论以确定函数 的单调增区间; (2)
22、不等式对任意 成立等价于对任意 ,有成立.设 , ,则只要 即可.【详解】(1)由题意得,函数 的定义域为 .第 17 页 共 19 页.若 ,则当 或 时, ,此时 单调递增,当 时,此时 单调递减.若 ,则当 时, ,此时 单调递减;当时,即 ,此时 单调递增.综上所述,当 时,函数 在 上单调递增,在 上单调递减;当时,函数 在 上单调递减,在 和 上单调递增.(2)不等式 对任意 成立等价于对任意 ,有成立.设 , ,则只要 即可.令 ,得 ;令 ,得 .所以函数 在 是哪个单调递减,在 上单调递增.所以 的最大值为 与 中的较大者.设 ,则 ,所以 在 上单调递增,所以 ,所以 .从
23、而 .所以 ,即 .设 ,则 ,所以 在 上单调递增.又 ,所以 的解为 .因为 ,所以正实数 的取值范围为 .第 18 页 共 19 页【点睛】利用导数研究不等式恒成立或存在型问题,首先要构造函数,利用导数研究函数的单调性,求出最值,进而得出相应的含参不等式,从而求出参数的取值范围;也可分离变量,构造函数,直接把问题转化为函数的最值问题.22已知在平面直角坐标系 中,椭圆 的方程为 ,以 为极点, xOyC2164yxO轴非负半轴为极轴,取相同的长度单位建立极坐标系,直线 的极坐标方程为x l.sin3(1)求直线 的直角坐标方程和椭圆 的参数方程;l C(2)设 为椭圆 上任意一点,求 的
24、最大值.,Mxy231xy【答案】(1)直线 的直角坐标方程为 ,椭圆 的参数方程为l 60C为参数) ;(2)9.2, (4xcosyin【解析】试题分析:(1)根据题意,由参数方程的定义可得椭圆的参数方程,对直线的极坐标方程利用两角和的正弦展开,将 , 代入可得直线 的l xcosysinl普通方程;(2)根据题意,设 ,进而分析可得2cs4inM( , ),由三角函数的性质分析可3143cosi1813xy ( )得答案.试题解析:(1)由 ,得 ,sin3sincos2将 代入,得直线 的直角坐标方程为 .co,ixyl360xy椭圆 的参数方程为 为参数).C2, (4xcosin(
25、2)因为点 在椭圆 上,所以设 ,Mcs,4inM则 ,23143cosin18i193xy 当且仅当 时,取等号,所以 .sin max2y第 19 页 共 19 页23设函数 (1 )解不等式 ;(2 )当 , 时,证明: 【答案】 (1)解集为 ;(2)见解析.【解析】试题分析:(1)运用绝对值的定义,去掉绝对值,得到分段函数,再由各段求范围,最后求并集即可;(2 )由分段函数可得 f(x)的最大值,再由基本不等式求得 的最小值,即可得证试题解析:(1)由已知可得: ,所以, 的解集为 (2 )由(1 )知, ;,当且仅当 ,即 时取等号, 【考点】绝对值不等式的解法,不等式恒成立,基本不等式