1、云南省曲靖市第一中学 2018 届高三 4 月高考复习质量监测卷（七）理科数学一、选择题：本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 设 ，则 “ ”是“ ”的（ ）A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要【答案】B【解析】由题意，解不等式 ，得 ，根据充分条件、必要条件、充要条件的定义，又，即满足由条件 不能推出结论 ，且结论 推出条件 ，故选 B.2. 设是虚数单位，是 的展开式的各项系数和，则的共轭复数的值是（ ）A. B. C. 8 D. -8【答案】B【解析】由题意，不妨令
2、，则 ，将转化为三角函数形式，得 ，由复数三角形式的乘方法则，得 ，则 ，故正确答案为 B.3. 已知 ，则 （ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】由题意，根据微积分定理，得 ，两边平方，得 ，所以，故正确答案为 B.4. 已知一个空间几何体的三视图如图所示，根据图中标出的尺寸，可得这个几何体的体积是（ ）A. B. C. 1 D. 【答案】B【解析】根据题中三视图，知该几何体为三棱锥，则该三棱锥的体积为 ，故正确答案为 B.5. 我校高三 8 个学生参加数学竞赛的得分用茎叶图表示，其中茎为十位数，叶为个位数，则这组数据的平均数和方差分别是（ ）A. 91 9.5 B. 91 9 C
3、. 92 8.5 D. 92 8【答案】A方差 ，所以选 A.6. 有一类双曲线 和椭圆 有相同的焦点，在其中有一双曲线 且过点 ，则在 中任取一条双曲线其离心率不大于 的概率为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】由椭圆方程，易知双曲线 中， ， ，又 ，解得 ，双曲线 的离心率为，由题意，双曲线 的离心率为 ，则 ，即 ，又 ，故所求概率为 ，所以正确答案为 A.点睛：此题主要考查椭圆、双曲线的方程、焦点、离心率的计算，以及几何概型的求解等有关方面的知识与技能，属于中档题型，也是常考考点.在此问题的解决过程中，先由椭圆方程求出半焦距，以及满足条件的范围，再根据几何概型的计算公式进
4、行运算，从而问题可得解.7. 阅读如图所示的程序，若输入的数据中， ， ，则输出的值为（ ）A. 4 B. 6 C. 7 D. 5【答案】B【解析】由题意，经阅读程序，易知该程序功能是利用更相减损术求两个数的最大公约数，而易发现 42与 18 的最大公约数为 6，故正解答案为 B.8. 已知 ，若 ，且 是锐角，则 的值等于（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】由题意，根据求导公式、法则，得 ，由 ，得 ，结合 ，解得 ，故正确答案为 D.9. 设 ，满足 ，若函数 存在零点 ，则一定错误的是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】由题意，函数 存在零点，即为函数 与 的交点
5、，根据指数函数、对数函数的图象，易知两函数的交点横坐标 ，且当 时， ，即 ，当 时，即 ，所以 ，故答案选 C.10. 双曲线 的一个焦点是抛物线 的焦点，是 的一条渐近线且与圆相交于 两点，若 ，则双曲线 的离心率是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】由抛物线的方程，得双曲线的右焦点坐标为 ， ，由圆的方程，得其圆心为 ，半径为，取双曲线的渐近线 ，则圆心到的距离 ，又 ，则 ，又 ，解得，点睛：此题主要考查双曲线、抛物线、圆的方程，双曲线的渐近线、离心率，直线与圆的位置关系、弦长的计算，点到直线的距离公式的应用等有关方面的知识与技能，属于中高档题型，也是常考考点.解决此类问题
6、中，常采用数形结合的方法进行运算求解，双曲线的渐近线方程在其起到关键的环节.11. 在直角 中， ， ， 为直线 上的点，且 ，若 ，则的最大值是（ ）A. B. C. 1 D. 【答案】A【解析】解析：因 ，故由 可得，即 ，也即 ，解之得 ，由于点 ，所以，应选答案 A。12. ，对于 ，均有 ，则实数的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】由题意，若 ， 不可能恒成立，若 ，当 时， ，不等式成立；当 时， 成立，即 ，则 ，此时 ，当 时， 成立，即 ，构造函数 ，则 ， 在 恒成立，即 在 为减函数，由，得 ，则 ，所以 ，综上所得，实数的取值范围为 ，故正确答案
7、为 A.点睛：此题主要考查导数在研究分段函数中的应用，以及函数单调性、最值等性质在解不等式中的应用等有关方面的知识与技能，属于中高档题型，也是必考考点.导数法研究函数单调性在高中数学中有着重要的地位，其中常伴着数形结合、分类讨论、转化思想以及分离变量的方法.二、填空题（每题 5 分，满分 20 分，将答案填在答题纸上）13. 满足约束条件 ，若 取得最大值的最优解不唯一，则实数的值为_【答案】【解析】试题分析：约束条件所表示的可行域为如图所示的三角形区域，又因为目标函数 中的含义为直线 在 轴上的截距，当目标函数取得最大值时，直线 在 轴上的截距取得最大值，又 取得最大值的最优解不唯一，所以直
8、线 与直线 或 平行，所以或 考点：线性规划【名师点睛】本题主要考查线性规划的知识，本题中与一般线性规划不同的是：没有求目标函数的最值，而是已知目标函数取得最大值的最优解不唯一这一特点，根据线性规划的知识可知线性目标函数所表示的直线一定与可行域的一边所在直线平行，再分别讨论与三边中的哪一边平行符合题意，体现了数形结合的思想、分类讨论思想与方法14. 已知 ，用秦九昭法计算 ，其中乘法的次数是_【答案】5【解析】由已知，得 ，易知计算 共乘了 5 次.15. 在几何体 中， 是正三角形，平面 平面 ，且 ， ，则 的外接球的表面积等于_【答案】【解析】由题意，取 的中点 ，连接 ，且 ，则点 为
9、正三角形 的中点，易证 平面 ，取 中点 ，连接 ，作 ， ，连接 ，则 为外接球的半径，又 ， ，则，所以外接球的表面积为 ，从而问题可得解.点睛：此题主要考查简单组合体的表面积的计算，以及三棱锥外接球半径的求问题，属于中高档题型，也是常考题型.在解决此类问题的过程中，常以三棱锥为基础，构造出长方体（或是正方体） ，则该长方体的体对角线即为此三棱锥的外接球的直径，再根据球的表面积公式进行运算即可.16. 若 ， ， ，则的取值范围是 _【答案】【解析】由题意， ，则 ，由 ，则 ，即函数 在 上单调递增，则恒有 ，所以 ，又 ，所以 ，即 ，从而问题可得解.三、解答题 （本大题共 6 小题，
10、共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17. 已知数列 是首项为正数的等差数列，数列 的前 项和为 .（1）求数列 的通项公式；（2）设 ，求数列 的前 20 项和 .【答案】 （1） ；（2）420【解析】试题分析：（1）由题意，根据数列前 项和定义，以及等差数列通项公式，建立关于首项 与公差 的方程组，进行运算求解，从而问题可得解；（2）由（1）可得数列 的通项公式，根据其通项公式的特点，可由等数列前 项和公式，进行运算求解，从而问题可得解.试题解析：（1）设数列 的公差为 ，令 ，得 ，所以 ；令 ，得 ，所以 ，解得 ， ，所以 （2）由题意知所以18. 曲一中某研
11、究性学习小组对学习数学的练习时间与进步率的关系进行研究，他们分别记录了同班 5 个同学一周内的学习时间与周测成绩进步率，得到如下资料.（1）从 5 个同学中任选 2 个，记其进步率分别为 ，求事件“ 均不小于 25”的概率；（2）若进步率 与学习时间 服从线性关系，求出 关于 的线性回归方程 ；（3）在这 5 个同学中任取 3 个，其中进步率超过 25 的有 个同学，求 的数学期望.参考公式：回归直线方程是 ，其中 【答案】 （1） ；（2） ；（3）【解析】试题分析：（1）由题意，根据古典概型概率的计算公式，采用列举法，将事件一一列举出来，计算基本事件的总数，再算出所求事件的个数，从而问题可
12、得解；（2）根据题意，由参考公式，将表中数据代入公式，进行运算求解即可；（3）由题意，可根据随机变量 的数学期望步骤进行求解即可.试题解析：（1） m，n 的所有取值情况有：(23，25)，(23，30)，(23，26)，(23 ，16)，(25，30)，(25，26)，(25，16)，(30，26)，(30，16)，(26，16)，即基本事件总数为 10，设“m，n 均不小于 25”为事件 A，则事件 A 包含的基本事件为 (25，30)，(25，26)，(30，26)，所以 ，故事件 A 的概率为 （2）由数据，求得 ， ， ，由公式求得 ， ，所以 y 关于 x 的线性回归方程为 （3）
13、 19. 如图，在三棱柱 中，已知 侧面 ， ， ， ，点 在棱 上.（1）求 的长，并证明 平面 ；（2）若 ，试确定的值，使得 到平面 的距离为 .【答案】 （1）见解析；（2）试题解析：（1）证明：因为 ， ， ，在 中，由余弦定理，得 ，所以 ，即 C1BBC又 AB侧面 BCC1B1，BC1 侧面 BCC1B1，故 ABBC1，又 ，所以 C1B平面 ABC （2）解：由（）知，BC，BA， BC1 两两垂直，以 B 为空间坐标系的原点，建立如图所示的坐标系，则 B(0，0，0)，A(0，2，0)，C( ，0，0)，C1(0，0， )，B1( ，0， )， ，设平面 的一个法向量为
14、，则令 ，得 ，又解得 或 ，当 或 时，C 到平面 的距离为 点睛：此题主要考查立体几何中线段长度、点到平面距离的计算， 线面垂直的证明，以及向量法、余弦定理的应用等有关方面的知识与技能，属于中档 题型，也是常考考点.这里提一下向量法在求点到平面距离的应用，先建立空间直角坐标系，求平面的法向量，这一点到平面斜线的方向向量，再根据公式进行求解即可.20. 在 中， ， ，其周长是 ， 是 的中点， 在线段 上，满足 .（1）求点 的轨迹 的方程；（2）若 ， 在 的延长线上，过点 的直线交轨迹 于 两点，直线 与轨迹 交于另一点 ，若 ，求 的值.【答案】 （1） ；（2）1【解析】试题分析：
15、（1）由题意，不难发现点 的轨迹符合椭圆定义，易知 ， ，结合向量共线的坐标表示，从而问题可得解；（2）由题意，对直线 方程作出假设，联立直线 与椭圆方程，由根与系数的关系，可得点 纵坐标的关系式，将向量数量积条件转化为几何结果，再进行运算，从而问题可得解，详见解析.试题解析：（1）设 则又所以 A 的轨迹是以 B，C 为焦点的椭圆，从而有（2）设 ，而显然直线 不与 x 轴重合，故设其方程为代入椭圆方程得21. 已知 .（1）求 的单调区间；（2）若方程 有 4 个不同实数根，求 的取值范围；（3）若存在正实数 且 ，使得不等式 成立，求 的解集.（其中是自然对数的底数）【答案】 （1）见解
16、析；（2） ；（3）【解析】试题分析：（1）由题意，采用导数法进行求解即可，在求过程中，可先将函数根据其定义域进行分段求，在求解过程中注意函数的定义域；（2）由题意，可将方程左边进行因式分解，化为两个方程，结合函数 的单调性、最值，从而问题可得解；（3）由题意，将不等式中的参数与未知数分离，再由两未知数汇总为一个未知数，构造新函数，求新函数的最值，再对三角函数进行求解即可，充分体现了数学转化思想.试题解析：（1）（2）（3）22. 在极坐标系中，已知直线过点 且倾斜角为 .（1）求直线的极坐标方程；（2）若以直线 为 轴， 为原点建立直角坐标系，曲线 的参数方程为 （为参数） ，直线交曲线于
17、两点，求弦长 .【答案】 （1） ；（2）【解析】试题分析：（1）由题意，建议采用数形结合法进行求解，根据正弦定理建立等式关系，再进行化简，从而问题可得解；（2）由（1）可将直线的极坐标方程，转化为直角坐标方程，曲线 的方程转化为普通方程，联立两方程，再由弦长公式进行求解运算即可.试题解析：（1）设上动点 与 轴交于 ，则 ，又在 中，（2）C 的普通方程是 与的直角坐标方程 联立，得 ，点睛：此题主要考查直线的参数方程与直角坐标方程的互化，圆的极坐标方程与直角坐标方程的互化，以及弦长公式的应用等有关方面的知识与技能，属于中档 题型，也是必考点.参数方程与直角坐标方程的互化，只消参即可，而及极坐标方程与直角坐标方程的互化，需要转化换公式来进行换算，从而问题可得解.23. 设函数 .（1）求不等式 的解集；（2）若 ， ，求 的值域.【答案】 （1） ；（2）见解析【解析】试题分析：（1）由题意，可根据绝对值的几何意义，对不等式进行化简求解，从而问题可得解；（2）由题意，对函数 进行分段讨论，再对各段求函数的值域，汇总各段函数的值域，从而问题可得解，在求解过程中，注意参数的范围对未知数分段的影响.试题解析：（1） ，其解集为（2）
