1、第 1 页 共 20 页2019 届山东省日照一中高三上学期第二次质量达标检测数学（理）试题一、单选题1已知集合 P=x|x0，Q=x| 0，则 P（RQ ）=（ ）A 0，2） B 0，2 C （1，0 ） D （，1【答案】B【解析】解分式不等式可得 或 ，进而由补集定义求得 ，再由交集可求得 P（RQ）=0，2。【详解】因为 或 ，所以 。 因为 P=x|x0，所以 P（RQ）=0，2。故选 B。【点睛】本题考查集合的运算，主要考查学生的运算能力及转化能力，试题容易。有关数集的运算，可将数集表示在数轴上进行求解。2若函数 不是单调函数，则实数 的取值范围是（ ）.A 0,+） B （，0
2、 C （，0 ） D (0,+）【答案】C【解析】函数 的定义域为 ，函数 的导数为 ，当 时，函数 是增函数， 当 时， 函数 在 上递减，在 递增， 不是单调函数，则实数 的取值范围是 ，故选 C.3已知函数 f（x）= sin2x+ cos2x，若其图象是由 y=sin2x 图象向左平移 （0）个单位得到，则 的最小值为（ ）第 2 页 共 20 页A B C D 【答案】C【解析】将函数 f（x）的解析式用辅助角公式化为 f（x）= ,函数 y=sin2x 图象向左平移 （0）个单位可得函数解析式为 ,两函数解析式比较可得 。【详解】因为 f（x）= sin2x+ cos2x= .函数
3、 y=sin2x 图象向左平移 （0）个单位得到的图象对应的函数解析式为.所以 。解得 . 故选 C.【点睛】本题考查三角函数图象的平移、辅助角公式等知识。函数图象左右平移时，遵循“左加右减”的原则，一定注意是相对于 x 本身加减。4设 f（x）是定义在（ ，+）上的单调递减函数，且 f（x）为奇函数若 f（1）=1，则不等式1f （x 2）1 的解集为（ ）A 1，1 B 0，4 C 2，2 D 1，3【答案】D【解析】要解不等式1f（x2）1，应根据函数的单调性来解。故由 f（x）为奇函数，f（1）= 1，求得 。进而不等式1f（x2）1 可化为 ，然后根据函数的单调性即可解此不等式。【详
4、解】因为函数 f（x）为奇函数， f（1）=1，所以 。所以不等式1f（x2）1 可化为 。 第 3 页 共 20 页因为函数 f（x ）是定义在（，+）上的单调递减函数，所以， ，解得 。故选 D。【点睛】本题考查函数的奇偶性、解抽象不等式等知识。考查学生的运算能力、转化能力。解抽象不等式，应先将不等式化为 的形式，然后根据函数的单调性可得的大小，进而可解不等式。5在函数 y=cosx，x - , 的图象上有一点 P（t，cost） ，若该函数的图象与 x 轴、直线 x=t，围成图形（如图阴影部分）的面积为 S，则函数 S=g（t）的图象大致是（ ）A B C D 【答案】B【解析】用定积分
5、来表示阴影部分的面积，并化简可得 ，其中 。然后由函数图象平移可得所求函数的图象。【详解】阴影部分的面积为 ，其中 。函数 的图象是将正弦函数的图象向上平移一个单位。故选 B。【点睛】本题考查定积分、正弦函数的图象及函数图象的平移等知识。考查学生的运算能力、转化能力。不规则图形面积的求解，应用定积分来求解。6由安梦怡是高三（21 ）班学生， 安梦怡是独生子女， 高三（21）班的学生第 4 页 共 20 页都是独生子女。写一个“三段论”形式的推理，则大前提，小前提和结论分别为（ ）A B C D 【答案】B【解析】由三段论的一般模式，可得结论。【详解】因为高三（21）班的学生都是独生子女，又因为
6、安梦怡是高三（21）班学生，所以安梦怡是独生子女。故选 B。【点睛】三段论是演绎推理的一般模式：包括：大前提已知的一般原理；小前提所研究的特殊情况；结论根据一般原理，对特殊情况作出的判断。7在 ABC 中，a，b，c 为角 A，B，C 的对边，且 cos2C+cosC+cos（A B）=1，则（ ）A a，b，c 成等差数列 B a，c，b 成等差数列C a， c，b 成等比数列 D a，b，c 成等比数列【答案】C【解析】要判断三边 a，b，c 之间的关系，所以将 cos2C+cosC+cos（AB）=1，用余弦二倍角公式 和 变形得，然后用两角和、差的余弦公式化简和正弦定理可得三边 a，b
7、，c 之间的关系。【详解】因为 cos2C+cosC+cos（AB）=1 ，所以 ，所以 ，所以 。故选 C。【点睛】三角形中，已知三角之间的关系，求三边之间的关系。根据已知式子得特点，可用余弦二倍角公式化简并消去常数 1。再用公式化简出三个角的正弦的关系 。第 5 页 共 20 页8若函数 f（x） （x R）是周期为 4 的奇函数，且在0，2上的解析式为 f（x）=,则 f（ ）+f（ ）= （ ）A B C D 【答案】A【解析】先根据函数的周期化简得 ，再根据奇函数可得，进而代入分段函数解析式中求值。【详解】由已知可得.故选 A。【点睛】求分段函数的函数值：、方法 1 步骤：、找到给定
8、自变量所在的区间；、求出该区间上函数的解析式；、将自变量带入解析式求解。方法 2 步骤：、利用性质，将给定的自变量转换到有解析式的区间内；、将准换后的自变量代入已知的解析式求解。9已知 a=log23，b=log34，c=log411，则 a，b，c 的大小关系为（ ）A bc a B bac C abc D acb【答案】B【解析】第 6 页 共 20 页找一中间量 ，比较 a=log23 和 b=log34 与 的大小，进而比较 a=log23 和 b=log34 的大小。利用换底公式变形得 ，利用对数函数单调性比较 与 的大小，进而可得三数的大小。【详解】因为 ，所以 。 故选 B。【点
9、睛】本题考查对数大小的比较，同底数的利用对数函数的单调性比较大小；底数不同的，一种方法，找中间量，比较它们和中间量的大小；另一种方法，利用换底公式化成底数相同的，然后利用对数函数的单调性比较大小。10 “ 1a”是“对任意的正数 x，不等式 21ax成立”的（ ）A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 【答案】A【解析】 ，则 对 恒成立，而21,0ax2ax0，所以2()481“对任意的正数 ，不等式 成立”的充要条件是“ ”，故“ ”是xx18a1a“对任意的正数 ，不等式 成立”充分不必要条件，故选 A21a11已知 M 是ABC 内的一点，且 =4 ，
10、BAC=30，若MBC， MCA 和MAB的面积分别为 1，x ，y，则 的最小值是（ ）A 20 B 18 C 16 D 9【答案】D【解析】由 =4 ，BAC=30，可求得三角形的面积，进而得到 。因为第 7 页 共 20 页，所以 ，然后去括号，利用基本不等式可求最小值。【详解】因为 =4 ，BAC=30，所以 。所以 。 因为MBC，MCA 和MAB 的面积分别为 1，x，y，所以 ，所以。所以 。当且仅当 即 时，上式取“=”号。所以， 时， 取最小值 9.故选 D。【点睛】本题考查数量积的定义、三角形的面积公式、基本不等式求最值。利用基本不等式求最值，注意“一正、二定、三相等” 。
11、当 都取正值时，和取定值，则积有最大值，积取定值，和有最小值。12已知函数 （其中 e 为自然对数底数）在 x=1 取得极大值，则 a 的取值范围是（ ）A a0 B a0 C ea0 D ae【答案】D【解析】先求导得 ，因为函数 在 处取得极大值，故应讨论导函数的正负。当 时，求导函数的正负，可得函数 在 处取极小值，不符合题意。当 时，求方程 的两根可得 或 。由函数 在 处第 8 页 共 20 页取得极大值，可得 与 的大小，进而可求 的取值范围。【详解】因为 。当 时， 。由 ，得 ；由 ，得 。所以， 在区间 上为减函数，在区间 上为增函数。则函数 在 处取极小值，不符合题意。当
12、时，令 ，得 或 。因为函数 在 处取得极大值，所以 。所以， 的取值范围是 。故选 D。【点睛】本题考查由函数的极值，求参数的取值范围。和导函数极值有关的问题，应先求导，对导函数正负，根据式子的特点对解析式中所含的参数分类讨论，寻求符合题意的参数的取值范围。本题难度较大。二、填空题13设 ， ，若 ，则 =_.【答案】【解析】根据 可求得 ，进而求得 ，然后由向量模的坐标运算可求得结果。【详解】因为 ， ， ，所以 ，解得 。所以 ，所以 。所以 。【点睛】本题考查向量数量积的坐标运算、向量模的坐标运算，主要考查学生的运算能力与转第 9 页 共 20 页化能力。若 ，则 。14已知实数 x，
13、y 满足 ，在这两个实数 x，y 之间插入三个实数，使这五个数构成等差数列，那么这个等差数列最后三项和的最大值为_.【答案】9【解析】设中间的三个数，根据等差数列的性质可得这个等差数列最后三项和为，画出不等式组表示的平面区域，作直线 ，平移直线 L，观察图形可求最后三项和的最大值。【详解】设在这两个实数 x，y 之间插入三个实数为 ，因为这五个数构成等差数列，所以 。所以， 这个等差数列最后三项和为 不等式组表示的平面区域为 边界及其内部，如图所示，作直线 ，平移直线 L，当直线 L 经过点 A 时，Z 取最大值。由 得 A（3,3）.所以， 。所以， 这个等差数列最后三项和的最大值为 9.【
14、点睛】本题考查线性规划问题、等差数列的性质等知识。考查学生的运算能力、转化能力等。（1）解决线性规划有关的问题，应准确画出不等式组表示的平面区域；（2）目标函数为 时，应平移直线，求其最值；第 10 页 共 20 页（3）目标函数为 形式时，转化为两点连线的斜率来求；（4）目标函数为 形式时，转化为两点间距离来求。15当 xR，|x|1 时，有如下表达式：1+x+x2+xn+=两边同时积分得：从而得到如下等式：请根据以上材料所蕴含的数学思想方法，由二项式定理 Cn0+Cn1x+Cn2x2+Cnnxn=（1+x）n 计算：_【答案】【解析】根据材料所蕴含的数学思想方法，要求的值，可在两边取 0
15、到 的定积分，进而可求值。【详解】由材料所蕴含的数学思想方法可得= 。因为 ，所以第 11 页 共 20 页=【点睛】本题考查类比推理，巧妙的逆向构造考查了学生应用信息的能力。此题难度较大。解决类比推理有关的题目，应注意观察原材料所含的思想方法。16定义在 R 上的奇函数 y=f（x）满足 f（3）=0，且当 x0 时，不等式 f（x）xf （ x）恒成立，则函数 g（x）=xf（x）+lg|x+1| 的零点的个数为_.【答案】3【解析】要求函数 g（x）=xf（x）+lg|x+1|的零点的个数，可构造函数 ，将问题转化为函数 与函数 的图象的个数。根据已知条件可判断函数 的单调性和奇偶性，进
16、而画函数的图象，观察两个函数图象交点的个数即可。【详解】令 ， 因为当 x0 时，不等式 f（x）xf（x）恒成立，所以当 x0 时， 。所以函数 在 上为增函数。因为 y=f（x）是定义在 R 上的奇函数，所以 。所以函数 为偶函数，且 函数 在 上为减函数。因为定义在 R 上的奇函数 y=f（x）满足 f（3）=0，所以 。所以 。做函数 与函数 的图象如图所示。 由函数的图象可知，函数 与函数 的图象有三个交点。所以函数 g（x）=xf（x）+lg|x+1|的零点的个数为 3 个。【点睛】本题考查函数零点的个数问题，判断函数的零点个数，方法一，零点存在性定理的运用；方法二，函数与方程的关
17、系，零点个数可转化为方程根的个数的判断；方法三，可转化为两个函数的图象交点问题。本题由条件“不等式 f（x）xf（x）恒成立，第 12 页 共 20 页”应想到构造函数 。三、解答题17已知 f（x）为二次函数，且 f（x+1）+f （x1 ）=2x24x， （1 ）求 f（x）的解析式；（2 ）设 g（x）=f （2x ） m2x+1，其中 x0，1 ，m 为常数且 mR，求函数 g（x ）的最小值【答案】 （1）f（x）=x22x1（2）【解析】（1）因为函数 f（x）为二次函数，所以可设函数的解析式为 f（x）=ax 2+bx+c，且 ，利用条件求系数即可；（2）根据（1）所求的二次函数
18、的解析式可写出函数 g（x）=f（2x）m2x+1 的解析式，整理可得， ，令 t=2x，可构造关于 t 的二次函数，进而可求其最小值。【详解】解：（1）设 f（x）=ax 2+bx+c，且 。因为 f（x+1）+f（x1）=2x24x，所以 a（x+1）2+b（x+1）+c+a（x1）2+b（x1）+c=2x24x，所以 2ax2+2bx+2a+2c=2x24x故有 ，即 a=1，b=2，c=1，所以 f（x）=x22x1；（2）g（x）=f（2 x）m2 x+1= ，设 t=2x，t1 ，2，g（t）=t 2（2m+2）t1=t（m+1）2（m2+2m+2），当 m+12，即 m1 时，g
19、（t）=t 2(2m+2) t1 在1，2减函数，当 t=2 时，g（t）min=4m1，当 m+11，即 m0 时，g（t）=t 2(2m+2)t1 在1 ，2增函数，当 t=1 时，g（t）min=2m2，当 0m1时，当 t=m+1 时，g（t ）min=（m2+2m+2），第 13 页 共 20 页综上所述：g（x） min= 【点睛】已知函数的类型，求函数的解析式，应用待定系数法；求二次函数的最值，应先求对称轴方程，根据图象的开口方向，求函数在所给区间上单调性，进而可求二次函数的最值。18如图所示，在ABC 中，D 是 BC 边上的一点，且 AB=14，BD=6，ADC= ，（）求
20、sinDAC；（）求 AD 的长和ABC 的面积【答案】 （1） （2）【解析】（）在 中，已知ADC= ， ，要求 sin DAC，所以将DAC 用ADC 和C 来表示可得DAC=（ADC+C） ，进而用诱导公式可得， 再用两角和的正弦公式展开，利用条件可求得结果；（）在ABD 中，知道一个角、两条边，故可用余弦定理求边 AD 的长。 ACD 中，根据条件由正弦定理可求 CD 边长，进而可求 BC 边长，根据条件分别求 的面积即可得所求。【详解】解：（）ACD 中，因为DAC=（ADC+C ），ADC= ，所以 = ； 因为 ，0C，所以 ； 所以 ； 第 14 页 共 20 页（）在ABD
21、 中，由余弦定理可得 AB2=BD2+AD22BDADcosADB， 所以 ，所以 AD2+6AD160=0，即 （AD+16）（AD10）=0，解得 AD=10 或 AD=16（不合题意，舍去） ；所以 AD=10； 在 中，由正弦定理得 ，即 ，解得 CD=15；所以 ，即 【点睛】三角形中已知边和角，求其它的边、角，应用正弦定理或余弦定理。已知三边，可用余弦定理求角；已知两边一角，可用余弦定理求第三边；已知两边一对角，可用正弦定理或余弦定理求第三边；已知两角一边，应用正弦定理求边。19日照一中为了落实“ 阳光运动一小时” 活动，计划在一块直角三角形 ABC 的空地上修建一个占地面积为 S
22、 的矩形 AMPN 健身场地如图，点 M 在 AC 上，点 N 在 AB 上，且 P 点在斜边 BC 上，已知ACB=60且|AC|=30 米，|AM|=x 米，x10，20 （1 ）试用 x 表示 S，并求 S 的取值范围；（2 ）若在矩形 AMPN 以外（阴影部分）铺上草坪已知：矩形 AMPN 健身场地每平方米的造价为 ，草坪的每平方米的造价为 （k 为正常数） 设总造价 T 关于 S 的函数为 T=f（S） ，试问：如何选取|AM|的长，才能使总造价 T 最低【答案】 （1） （2）12 米或 18 米【解析】试题分析：（1）根据题意，分析可得，欲求健身场地占地面积，只须求出图中矩形的面
23、积即可，再结合矩形的面积计算公式求出它们的面积即得，最后再根据二次函数的性质得出其范围；（2 ）对于（1 ）所列不等式，考虑到其中两项之积为定值，可利用基本不等式求它的最大值，从而解决问题第 15 页 共 20 页解：（1）在 RtPMC 中，显然|MC|=30x，PCM=60|PM|=|MC|tanPCM= （30x） ，2 分矩形 AMPN 的面积 S=|PM|MC|= x（30x） ，x 10，204 分于是 200 S225 为所求 6 分（2 ）矩形 AMPN 健身场地造价 T1=37k 7 分又ABC 的面积为 450 ，即草坪造价 T2= S）8 分由总造价 T=T1+T2， T
24、=25k（ + ） ，200 S225 10 分T=25k（ + ） ，200 S225 + 12 ，11 分当且仅当 = 即 S=216 时等号成立，12 分此时 x（30 x）=216 ，解得 x=12 或 x=18，所以选取|AM|的长为 12 米或 18 米时总造价 T 最低14 分【考点】根据实际问题选择函数类型20已知数列an中，a1=1， a1+2a2+3a3+nan= （n N）（）证明当 n2 时，数列nan 是等比数列，并求数列an的通项 an；（）求数列n2an的前 n 项和 Tn；（）对任意 nN，使得 恒成立，求实数 的最小值【答案】 （） （） () 【解析】（）要
25、证明数列na n是等比数列，应先求其通项公式，然后用等比数列定义证明即可。由等比数列通向公式可求得数列na n的通项公式， 进而可求数列a n的通项an；（）要求数列n 2an的前 n 项和 Tn，应根据（）的结果求其通项公式第 16 页 共 20 页，由通项公式的特点可用错位相减法求数列从第二项到第 n 项的和，再加第一项可得结果；（） 根据（）的结果，不等式 可变为 ，利用基本不等式，可求得不等式右边的最大值为 。可求实数 的最小值为 。【详解】（）证明 ：由 a1+2a2+3a3+nan= ，得 a1+2a2+3a3+（n1）an1= （n2）， ： ，即 （n2），当 n2时，数列na
26、 n是等比数列，又 a1=1，a1+2a2+3a3+nan= ，得 a2=1，则 2a2=2， ， （n2）， ；（）解：由（）可知 ，T n=1+2230+2331+2432+2n3n2，则，两式作差得： ，得： ；（）解：由 （n+6），得 （n+6），即 对任意 nN 恒成立当 n=2 或 n=3 时 n+ 有最小值为 5， 有最大值为 ，故有 ，实数 的最小值为 【点睛】第 17 页 共 20 页已知数列的前 n 项和 ，求通项公式 ，应用 与 的关系 ；数列 为等差数列，数列 为等比数列，求数列 的前 n 项和应用错位相减法。证明数列为等比数列有两种方法：等比数列的定义；等比中项。2
27、1已知函数 f（x ）= ，g（x）=xlnx （）若函数 g（x）的图象在（ 1，0）处的切线 l 与函数 f（x）的图象相切，求实数k 的值；（）当 k=0 时，证明： f（x）+g（x）0 ；【答案】 （1） （2）见解析【解析】（）根据导函数的几何意义求得函数 g（x）的图象在（1，0）处的切线 l 的方程，将其方程与函数 f（x）的解析式联立，得到关于 x 的一元二次方程，由条件可知此方程有一个解，判别式等于 0，可求得实数 k 的值；（）证法一：当 k=0 时，构造函数 F（x）=f（ x）+g（x）= ，求导判断函数 F（x）在（0，+ ）上的单调性，进而得其最小值，判断最小值大
28、于 0 即可。证法二：对于函数 g（x）=xlnx，求导判断其单调性，可求其最小值 ，当 k=0 时， ，配方可求其最小值。进而可得 f（x）+g（x） ，可证明要证不等式。【详解】（）g（x）的导数 g（x）=1+lnx，斜率为 g（1）=1，切点为（1，0） ，则直线 l：y=x1，联立 y= x2+（k1）xk+ ，可得 x2+2（k2）x2k+5=0，由 l 与 f（x）的图象相切，可得 =4（k2）24（52k）=0，解得 k=1 ；（）证法一：当 k=0 时，F （x）=f（x）+g（x）=xlnx+ x2x+ ，F（x）=lnx+x，x0，显然 F（x）在（0， +）递增，设 F
29、（x0）=0，即 lnx0+x0=0，易得 x0（0，1），第 18 页 共 20 页当 x（0，x 0），F（x）0，F （x）递减，当 x（x 0，+），F（x）0，F（x）递增F（x）的最小值为 F（x0） ，且为 x0lnx0+ x02x0+ =x0（x0+ x01）+= x02x0+ = （x0+3）（x01） ，由 x0（0，1）， F（x0）0，故 F（x）0 恒成立，即 f（x）+g（x）0 恒成立；证法二：g（x）=1+lnx，x（0， ），g（x）0，g（x）递减，x（ ，+），g（x）0，g（x）递增，则 g（x）在 x= 处取得最小值 ，即 g（x） ，又 k=0 时，
30、f （x）= x2x+ = （x1）2+11，则 f（x）+g（x）1 0 恒成立；【点睛】求函数 的图象在某一点 处的切线方程，应先求导函数 ，其切线方程为；直线与抛物线相切，可将它们的方程联立，得到关于 x 的一元二次方程，方程应该一个交点，判别式等于 0 可解决问题。22已知函数 .（1 ）讨论 的单调性；（2 ）若 在区间 上有两个零点，求 的取值范围.【答案】 （1）详解见解析；（2）【解析】试题分析：(1)首先求得函数的导函数，然后分类讨论求得函数的单调区间即可；(2)结合(1)的结论，利用导函数与原函数的关系整理可得 的取值范围是.试题解析：（1） 的定义域为 ， ，令 可得 或
31、 .下面分三种情况.当 时，可得 ，由 得 ，由 得 ，第 19 页 共 20 页此时 的单调递增区间为 ，单调递减区间为 .当 时，由 得 或 ，由 得 ，此时 的单调递增区间为 ，单调递减区间为 .当 时， ， 在区间 上单调递增.由（1）得，当 时， 在 处取得最小值 ，且 在区间 内先减后增，又 ，要使得 在区间 上有两个零点，必须有 且 ，由此可得 .当 时， ，显然 在区间 上不存在两个零点.当 时，由（1）得 在区间 内先减后增，又 ， ，故此时 在区间 上不存在两个零点. 当 时，由（1）得 在区间 内先增，先减，后增.又 , ，故此时 在区间 上不存在两个零点.当 时，由（1）得 在区间 上单调递增，在区间 上不存在两个零点.综上， 的取值范围是 .第 20 页 共 20 页
