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2017年上海市实验学校高三上学期第三次月考数学试卷(解析版).doc

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资源描述

1、2016-2017 学年上海市实验学校高三(上)第三次月考数学试卷一、填空题:本大题共 14 个小题,每小题 4 分,共 56 分.1设集合 M=x|x2=x, N=x|lgx0,则 MN= 2已知 P1(1,a 1) 、P 2(2,a 2)P n(n ,a n) 、 是直线上的一列点,且 a1=2,a 2=1.2,则这个数列a n的通项公式是 3设 0 , =(sin2,cos) , =(cos , 1) ,若 ,则 tan= 4已知单位向量 与 的夹角为 ,且 cos= ,向量 =3 2 与 =3 的夹角为 ,则 cos= 5函数 y=3 , (1x0)的反函数是 6函数 f(x)=cos

2、 (sin cos )的最小正周期为 7a ,b 是不等的两正数,若 =2,则 b 的取值范围是 8数列a n的首项为 a1=2,且 an+1= (a 1+a2+an) (n N) ,记 Sn 为数列a n前 n 项和,则Sn= 9若向量 与 夹角为 , , ,则 = 10已知菱形 ABCD 的边长为 2,BAD=120,点 E,F 分别在边 BC,DC 上,BC=3BE,DC=DF,若 =1,则 的值为 11 (理)若平面向量 满足| |=1(i=1,2,3,4)且 =0(i=1,2,3) ,则|可能的值有 个12设 f(x)是 R 上的奇函数,且当 x0 时,f( x)=x 2,若对任意的

3、 xa,a+2,不等式f(x+a)3f(x)恒成立,则实数 a 的取值范围是 13记 Sn=log21+log22+log23+log2n(其中 x表示不超过 x 的最大整数,如0.9=0,2.6=2 ) ,则 S2017= 14给定 0x 01 对一切整数 n0,令 ,则使 x0=x6 成立的 x0 的个数为 二、选择题(每题 5 分,满分 20 分)15在ABC 中, “cosA+sinA=cosB+sinB”是“C=90”的( )A充分非必要条件 B必要非充分条件C充要条件 D非充分非必要条件16函数 f( x)=cos(x+ )的部分图象如图所示,则 f(x)的单调递减区间为( )A

4、(k ,k + ) ,k ZB (2k ,2k+ ) ,kZC ( k ,k ) ,kZ D (2k ,2k + ) ,kZ17已知两个不相等的非零向量 , ,两组向量 , , , , 和 , , , 均由 2 个 和 3 个 排列而成,记S= + + + + ,S min 表示 S 所有可能取值中的最小值,则下列命题中(1)S 有 5 个不同的值;( 2)若 则 Smin 与| |无关;(3)若 则 Smin 与| |无关;(4)若| |4| |,则 Smin0;(5)若| |=2| |,S min=8| |2,则 与 的夹角为 正确的是( )A (1 ) (2 ) B (2) ( 4) C

5、 (3) (5) D (1) (4)18记x为不超过实数 x 的最大整数,例如:2 =2,1.5=1,0.3= 1,设 a 为正整数,数列x n满足:x 1=a, ,现有下列命题:当 a=5 时,数列x n的前 3 项依次为 5,3,2;对数列x n都存在正整数 k,当 nk 时,总有 xn=xk;当 n1 时, ;对某个正整数 k,若 xk+1x k,则 ;其中的真命题个数为( )A4 B3 C2 D1三、答题(本大题共 5 小题,共 74 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. )19已知函数(1)求函数 f(x)的值域,并写出函数 f(x)的单调递增区间;(2)若 ,且 ,计算 c

6、os2 的值20 “活水围网” 养鱼技术具有养殖密度高、经济效益好的特点研究表明:“活水围网”养鱼时,某种鱼在一定的条件下,每尾鱼的平均生长速度 v(单位:千克/ 年)是养殖密度 x(单位:尾/立方米)的函数当 x 不超过 4(尾/立方米)时,v 的值为 2(千克/年) ;当 4x20 时,v 是 x 的一次函数;当 x 达到 20(尾/ 立方米)时,因缺氧等原因,v 的值为 0(千克/年) (1)当 0x20 时,求函数 v(x )的表达式;(2)当养殖密度 x 为多大时,鱼的年生长量(单位:千克/立方米)f(x )=xv (x )可以达到最大,并求出最大值21已知函数 f(x )=2 si

7、n( + )sin( )sin (+x) ,且函数 y=g(x )的图象与函数 y=f(x)的图象关于直线 x= 对称(1)若存在 x0, ) ,使等式g(x) 2mg(x )+2=0 成立,求实数 m 的最大值和最小值(2)若当 x0, 时不等式 f(x)+ag(x) 0 恒成立,求 a 的取值范围22设 Sn 是各项均为非零实数的数列a n的前 n 项和,给出如下两个命题上:命题 p:a n是等差数列;命题 q:等式 对任意 n(n N*)恒成立,其中k,b 是常数(1)若 p 是 q 的充分条件,求 k,b 的值;(2)对于(1)中的 k 与 b,问 p 是否为 q 的必要条件,请说明理

8、由;(3)若 p 为真命题,对于给定的正整数 n(n1 )和正数 M,数列a n满足条件 ,试求 Sn 的最大值23已知 , 为常数,且为正整数, 为质数且大于 2,无穷数列a n的各项均为正整数,其前 n 项和为 Sn,对任意正整数 n,2S n=an,数列a n中任意两不同项的和构成集合 A(1)证明无穷数列a n为等比数列,并求 的值;(2)如果 2010A,求 的值;(3)当 n1,设集合 中元素的个数记为 bn,求 bn2016-2017 学年上海市实验学校高三(上)第三次月考数学试卷参考答案与试题解析一、填空题:本大题共 14 个小题,每小题 4 分,共 56 分.1设集合 M=x

9、|x2=x, N=x|lgx0,则 MN= 0,1 【考点】并集及其运算【分析】求解一元二次方程化简 M,求解对数不等式化简 N,然后取并集得答案【解答】解:M=x|x 2=x=0,1,N= x|lgx0= (0,1,则 M N=0,1故答案为:0,12已知 P1(1,a 1) 、P 2(2,a 2)P n(n ,a n) 、 是直线上的一列点,且 a1=2,a 2=1.2,则这个数列a n的通项公式是 a n=0.8n2.8 【考点】数列递推式【分析】通过设直线方程并代入 P1(1, 2) 、P 2(2,1.2)计算,进而可得结论【解答】解:设所在直线方程为:y=kx+b,a 1=2,a 2

10、=1.2, ,解得 ,直线方程为:y=0.8x 2.8,a n=0.8n2.8,故答案为:a n=0.8n2.83设 0 , =(sin2,cos) , =(cos , 1) ,若 ,则 tan= 【考点】二倍角的正弦;平面向量共线(平行)的坐标表示【分析】利用向量共线定理、倍角公式、同角三角函数基本关系式即可得出【解答】解: =(sin2,cos) , =(cos,1) , ,sin2cos 2=0,2sincos=cos 2,0 ,cos 02tan=1,tan= 故答案为: 4已知单位向量 与 的夹角为 ,且 cos= ,向量 =3 2 与 =3 的夹角为 ,则 cos= 【考点】数量积

11、表示两个向量的夹角【分析】转化向量为平面直角坐标系中的向量,通过向量的数量积求出所求向量的夹角【解答】解:单位向量 与 的夹角为 ,且 cos= ,不妨 =(1,0) ,= ,=3 2 =( ) , =3 =( ) ,cos= = = 故答案为: 5函数 y=3 , (1x0)的反函数是 y= ,x ,1 【考点】反函数【分析】根据已知中函数 y=3 ,用 y 表示 x,进而可得原函数的反函数【解答】解:1x0 时,y=3 ,1,则 x21=log3y,则 x2=log3y+1,则 x= ,y , 1,即函数 y=3 , (1x0)的反函数是 y= ,x ,1,故答案为:y= ,x ,16函数

12、 f(x)=cos (sin cos )的最小正周期为 2 【考点】三角函数的周期性及其求法【分析】利用三角函数的倍角公式将函数进行化简,即可得到结论【解答】解:f(x)=cos (sin cos )=cos sin cos2 )= sinx = sinxcosx =sin(x ) ,则函数的周期 T= =2,故答案为:27a ,b 是不等的两正数,若 =2,则 b 的取值范围是 (0,2) 【考点】极限及其运算【分析】当 ab 时, = =a,进而求出 b 的范围【解答】解:a,b 是不等的两正数,且 =2,须对 a,b 作如下讨论:当 ab 时, =0,则 = =a,所以,a=2,因此,b

13、(0 ,2) ,当 ab 时,则 =b=2,而 b0,故不合题意,舍去综合以上讨论得,b(0,2) ,故答案为:(0,2) 8数列a n的首项为 a1=2,且 an+1= (a 1+a2+an) (n N) ,记 Sn 为数列a n前 n 项和,则Sn= 【考点】数列的求和【分析】观察已知可得 , 两式相减可得a n是从第二项开始的等比数列,代入等比数列的前 n 和公式求解【解答】解:由题意可得当 n 两式相减得,从而有 ,数列 an 从第二项开始的等比数列,公比为S n=a1+a2+a3+an=故答案为:9若向量 与 夹角为 , , ,则 = 6 【考点】平面向量数量积的运算【分析】运用向量

14、数量积的定义和性质,向量的平方即为模的平方,化简整理解方程即可得到所求值【解答】解:向量 与 夹角为 , , ,可得 2 6 2=72,即有| |24| |cos 616=72,即为| |22| |24=0,解得| |=6(4 舍去) 故答案为:610已知菱形 ABCD 的边长为 2,BAD=120,点 E,F 分别在边 BC,DC 上,BC=3BE,DC=DF,若 =1,则 的值为 2 【考点】平面向量数量积的运算【分析】根据向量的基本定理,结合数量积的运算公式,建立方程即可得到结论【解答】解:BC=3BE,DC=DF, = , = ,= + = + = + , = + = + = + ,菱

15、形 ABCD 的边长为 2,BAD=120,| |=| |=2, =22cos120=2, =1,( + )( + )= + +(1 + ) =1,即 4+ 42(1+ )=1,整理得 ,解得 =2,故答案为:211 (理)若平面向量 满足| |=1(i=1,2,3,4)且 =0(i=1,2,3) ,则|可能的值有 3 个【考点】平面向量数量积的运算;向量的模【分析】由 =0 可得 ,分类作图可得结论【解答】解:由 =0 可得 ,若四向量首尾相连构成正方形时(图 1) ,| |=0,当四向量如图 2 所示时,| |=2,当四向量如图 3 所示时,| |=2 ,故答案为:312设 f(x)是 R

16、 上的奇函数,且当 x0 时,f( x)=x 2,若对任意的 xa,a+2,不等式f(x+a)3f(x)恒成立,则实数 a 的取值范围是 ,+) 【考点】函数恒成立问题【分析】由当 x0 时,f(x)=x 2,函数是奇函数,可得当 x0 时,f (x)=x 2,从而 f(x)在 R 上是单调递增函数,且满足 3f(x)=f ( x) ,再根据不等式 f(x +a)3f (x)=f( x)在a,a+2恒成立,可得 x+a x 在a,a +2恒成立,即可得出答案【解答】解:当 x0 时, f(x)=x 2,此时函数 f(x)单调递增,f( x)是定义在 R 上的奇函数,函数 f(x )在 R 上单

17、调递增若对任意 xa,a+2,不等式 f(x +a)3f(x)恒成立,3f(x )=3x 2=( x) 2=f( x) ,f( x+a) f( x)恒成立,则 x+a x 恒成立,即 ax+ x=( 1)x 恒成立xa,a +2,( 1)x max=( 1) (a+2) ,即 a( 1) (a+2 ) ,解得 a 即实数 a 的取值范围是 ,+) 故答案为: ,+) 13记 Sn=log21+log22+log23+log2n(其中 x表示不超过 x 的最大整数,如0.9=0,2.6=2 ) ,则 S2017= 18134 【考点】对数的运算性质【分析】利用x的性质和对数性质及运算法则得 S2

18、017=log21+log22+log23+log22017=01+12+24+38+416+532+664+7128+8256+9512+10994,由此能求出结果【解答】解:S n=log21+log22+log23+log2n(其中x表示不超过 x 的最大整数,S 2017=log21+log22+log23+log22017=01+12+24+38+416+532+664+7128+8256+9512+10994=18134故答案为:1813414给定 0x 01 对一切整数 n0,令 ,则使 x0=x6 成立的 x0 的个数为 64 【考点】数列递推式【分析】由题意根据分段函数的取值

19、范围,则 x1=2x00, ) ,x 2=2x10, ) ,x3=2x20, ) ,x 4=2x30, ) ,x 5=2x40, ) ,x 6=2x5,则 x6=2x5=22x4=26x0=x0,得x0=0,此时 x0 的值有一个;同理,当 x0 , )时,x 0 的值有 22 个,当x0 , )时,x 0 的值有 23 个,当 x0 , )时,x 0 的值有 24 个,当 x0 ,1)时,x0 的值有 25 个,综上,则使 x0=x6 成立的 x0 的个数为 1+1+2+22+23+24+25=64 个,【解答】解:依题意, ,当 x00, ) 时,x1=2x00, ) ,x 2=2x10,

20、 ) ,x 3=2x20, ) ,x 4=2x30, ) ,x 5=2x40, ) ,x6=2x5,则 x6=2x5=22x4=26x0=x0,得 x0=0,此时 x0 的值有一个;当 x0 , ) 时,x1=2x0 , ) ,x 2=2x1 , ) ,x 3=2x2 , ) ,x 4=2x3 , ) ,x5=2x4 ,1) ,x 6=2x51,故有 x6=2x51=22x41=26x01=x0,得 x0= ,此时 x0 的值有一个;当 x0 , ) 时,x 1=2x0 , ) ,x 2=2x1 , ) ,x 3=2x2 , ) ,x 4=2x3,1) ,x 5=2x40,1) , x6=2x

21、51,当 x50, ) ,x 6=2x5=2(2x 41)=2 6x02=x0,得:x 0= ,当 x5 ,1) ,x 6=2x5=2(2x 41)1=2 6x03=x0,得:x 0= = ,此时 x0 的值有 2 个;同理,当 x0 , )时,x 0 的值有 22 个,当 x0 , )时,x 0 的值有 23 个,当 x0 , )时,x 0 的值有 24 个,当 x0 ,1)时,x 0 的值有 25 个,综上,则使 x0=x6 成立的 x0 的个数为 1+1+2+22+23+24+25=64 个,故答案为:64二、选择题(每题 5 分,满分 20 分)15在ABC 中, “cosA+sinA

22、=cosB+sinB”是“C=90”的( )A充分非必要条件 B必要非充分条件C充要条件 D非充分非必要条件【考点】充要条件【分析】对两个条件, “cosA+sinA=cosB+sinB”与“C=90”的关系,结合三角函数的定义,对选项进行判断【解答】解:“C=90” 成立时,有 A+B=90,故一定有“cosA +sinA=cosB+sinB”成立又当 A=B 时 cosA+sinA=cosB+sinB”成立,即“cosA+sinA=cosB+sinB” 得不出“C=90” 成立所以“cosA+sinA=cosB+sinB”是“C=90”的必要非充分条件故选 B16函数 f( x)=cos(

23、x+ )的部分图象如图所示,则 f(x)的单调递减区间为( )A (k ,k + ) ,k ZB (2k ,2k+ ) ,kZC ( k ,k ) ,kZ D (2k ,2k + ) ,kZ【考点】余弦函数的图象【分析】根据图象求出函数的解析式,结合三角函数的性质即可得到结论【解答】解:从图象可以看出:图象过相邻的两个零点为( ,0) , ( ,0) ,可得:T=2 =2,= =,f( x)=cos(x+) ,将点( ,0)带入可得:cos( +)=0,令 += ,可得 = ,f( x)=cos(x+ ) ,由 ,单点递减(kZ ) ,解得:2k x2k + ,k Z故选 D17已知两个不相等

24、的非零向量 , ,两组向量 , , , , 和 , , , 均由 2 个 和 3 个 排列而成,记S= + + + + ,S min 表示 S 所有可能取值中的最小值,则下列命题中(1)S 有 5 个不同的值;( 2)若 则 Smin 与| |无关;(3)若 则 Smin 与| |无关;(4)若| |4| |,则 Smin0;(5)若| |=2| |,S min=8| |2,则 与 的夹角为 正确的是( )A (1 ) (2 ) B (2) ( 4) C (3) (5) D (1) (4)【考点】平面向量数量积的运算【分析】依题意,可求得 S 有 3 种结果:S=2 +3 ;S= ;S=4 可

25、判断(1)错误;进一步分析有S1S2=S2S3= ,即 S 中最小为 S3;再对(2) (3) (4) (5)逐一分析即可得答案【解答】解:x i,y i(i=1,2,3 ,4,5)均由 2 个 和 3 个 排列而成,S=x iyi 可能情况有三种: S=2 +3 ;S= ;S=4 故(1)错误;S 1S2=S2S3= ,S 中最小为 S3若 ,则 Smin=S3= ,与| |无关,故(2)正确;若 ,则 Smin=S3=4 ,与| |有关,故(3)错误;若| |4| |,则 Smin=S3=4| | |cos+ 4| | |+ + =0,故(4)正确;若| |=2| |,S min=S3=8

26、 cos+4 =8 ,2cos=1, = ,即 与 的夹角为 , (5)错误综上所述,命题正确的是(2) (4) ,故选:B18记x为不超过实数 x 的最大整数,例如:2 =2,1.5=1,0.3= 1,设 a 为正整数,数列x n满足:x 1=a, ,现有下列命题:当 a=5 时,数列x n的前 3 项依次为 5,3,2;对数列x n都存在正整数 k,当 nk 时,总有 xn=xk;当 n1 时, ;对某个正整数 k,若 xk+1x k,则 ;其中的真命题个数为( )A4 B3 C2 D1【考点】命题的真假判断与应用【分析】按照给出的定义对四个命题结合数列的知识逐一进行判断真假对于:列举即可

27、;对于:需举反例;对于,可用数学归纳法加以证明;对于:可由归纳推理判断其正误【解答】解:对于:当 a=5 时,x 1=5,x 2= =3,x 3= =2,故正确;对于:当 a=1 时,x 2= =1,x 3=1,x k 恒等于 =1;当 a=2 时,x 1=2,x 2= =1,x 3= =1,当 k2 时,恒有 xk= =1;当 a=3 时,x 1=3,x 2=2,x 3=1,x 4=2,x 5=1,x 6=2,x 7=1,此时数列x n除第一项外,从第二项起以后的项以 2 为周期重复出现,因此不存在正整数 k,使得 nk 时,总有 xn=xk,故不正确;对于:在 xn+ 中,当 为正整数时,

28、x n+ =xn+ 2 ,x n+1= = ;当 不是正整数时,令 = t,t 为 的小数部分,0t 1,x n+1= = = = ,x n+1 ,x n ,x n 1,故正确;由以上论证知,存在某个正整数 k,若 xk+1x k,则当 nk 时,总有 xn= ,故正确故选:B三、答题(本大题共 5 小题,共 74 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. )19已知函数(1)求函数 f(x)的值域,并写出函数 f(x)的单调递增区间;(2)若 ,且 ,计算 cos2 的值【考点】三角函数中的恒等变换应用;二倍角的余弦【分析】 (1)利用二倍角公式、辅助角公式化简函数,根据角的范围,即可求

29、函数 f(x )的值域,利用正弦函数的单调性,即可求得函数 f(x )的单调递增区间;(2)由 , ,可得 = ,再利用角的变换计算 cos2 的值【解答】解:(1) 由于 ,函数 f(x )的值域为2,2由 得函数 f(x )的单调的增区间为 ,kZ(2) , , , = = 20 “活水围网” 养鱼技术具有养殖密度高、经济效益好的特点研究表明:“活水围网”养鱼时,某种鱼在一定的条件下,每尾鱼的平均生长速度 v(单位:千克/ 年)是养殖密度 x(单位:尾/立方米)的函数当 x 不超过 4(尾/立方米)时,v 的值为 2(千克/年) ;当 4x20 时,v 是 x 的一次函数;当 x 达到 2

30、0(尾/ 立方米)时,因缺氧等原因,v 的值为 0(千克/年) (1)当 0x20 时,求函数 v(x )的表达式;(2)当养殖密度 x 为多大时,鱼的年生长量(单位:千克/立方米)f(x )=xv (x )可以达到最大,并求出最大值【考点】函数模型的选择与应用【分析】 (1)由题意:当 0x 4 时,v (x )=2当 4x 20 时,设 v(x)=ax +b,v (x )=ax+b 在4 ,20是减函数,由已知得 ,能求出函数 v(x) (2)依题意并由(1) ,得 f(x )= ,当 0x4 时,f (x)为增函数,由此能求出 fmax(x )=f(4) ,由此能求出结果【解答】解:(1

31、)由题意:当 0x 4 时,v (x)=2当 4x20 时,设 v(x)=ax+b ,显然 v(x)=ax +b 在4,20是减函数,由已知得 ,解得 故函数 v(x ) = (2)依题意并由(1) ,得 f(x)= ,当 0x4 时,f(x)为增函数,故 fmax(x )=f (4)=4 2=8当 4x20 时,f(x)= = = + ,fmax(x)=f( 10)=12.5 所以,当 0x20 时,f(x)的最大值为 12.5当养殖密度为 10 尾/立方米时,鱼的年生长量可以达到最大,最大值约为 12.5 千克/立方米21已知函数 f(x )=2 sin( + )sin( )sin (+x

32、) ,且函数 y=g(x )的图象与函数 y=f(x)的图象关于直线 x= 对称(1)若存在 x0, ) ,使等式g(x) 2mg(x )+2=0 成立,求实数 m 的最大值和最小值(2)若当 x0, 时不等式 f(x)+ag(x) 0 恒成立,求 a 的取值范围【考点】三角函数中的恒等变换应用;正弦函数的图象【分析】 (1)先求出 f(x ) ,g (x )的解析式,确定 g(x )1,2,等式g(x) 2mg(x)+2=0,可化为 m=y+ ,即可求实数 m 的最大值和最小值(2)当 x0, 时,f(x) ,1,g(x)1,1,利用当 x0, 时不等式 f(x)+ag (x)0 恒成立,求

33、 a 的取值范围【解答】解:(1)f(x) = sin(x+ )+sinx= cosx+sinx=2sin(x+ ) 函数 y=g(x )的图象上取点(x,y ) ,关于直线 x= 对称点的坐标为( x,y) ,代入 f( x)=2sin(x+ ) ,可得 y=2sin( x) ,x0, ) ,则 x , ,y 1,2,等式g(x ) 2mg(x)+2=0 ,可化为 m=y+ ,y= 时,m 的最小值为 2 ;m=1 或 2 时,m 的最大值为 3;(2)当 x0, 时,f(x) ,1,g(x)1,1,当 x0, 时不等式 f(x)+ag(x)0 恒成立,a 或 a 22设 Sn 是各项均为非

34、零实数的数列a n的前 n 项和,给出如下两个命题上:命题 p:a n是等差数列;命题 q:等式 对任意 n(n N*)恒成立,其中k,b 是常数(1)若 p 是 q 的充分条件,求 k,b 的值;(2)对于(1)中的 k 与 b,问 p 是否为 q 的必要条件,请说明理由;(3)若 p 为真命题,对于给定的正整数 n(n1 )和正数 M,数列a n满足条件 ,试求 Sn 的最大值【考点】等差数列与等比数列的综合;数列的求和【分析】 (1)设a n的公差为 d,利用裂项法原等式可化为 ( + + )=,整理可得(k1)n +b=0 对于 nN*恒成立,从而可求得 k,b 的值;(2)当 k=1

35、,b=0 时,假设 p 是 q 的必要条件,分当 n=1 时,当 n2 时,当 n3 时讨论即可判断结论是否正确;(3)由 + M,可设 a1=rcos,a n+1=rsin,代入求和公式 Sn= ,利用三角函数的有界性即可求得其最大值【解答】解:(1)设a n的公差为 d,则原等式可化为 ( + + )=,所以 = ,即(k1)n+b=0 对于 nN*恒成立,所以 k=1,b=0(2)当 k=1,b=0 时,假设 p 是 q 的必要条件,即“若 + + = 对于任意的 n(nN *)恒成立,则a n为等差数列”当 n=1 时, = 显然成立当 n2 时,若 + + = ,由得, = ( )

36、,即 nan(n1)a n+1=a1当 n=2 时,a 1+a3=2a2,即 a1、a 2、a 3 成等差数列,当 n3 时, (n1)a n1(n 2)a n=a1,即 2an=an1+an+1所以a n为等差数列,即 p 是 q 的必要条件(3)由 + M,可设 a1=rcos,a n+1=rsin,所以 r 设a n的公差为 d,则 an+1a1=nd=rsinrcos,所以 d= ,所以 an=rsin ,Sn= = r = ,所以 Sn 的最大值为 23已知 , 为常数,且为正整数, 为质数且大于 2,无穷数列a n的各项均为正整数,其前 n 项和为 Sn,对任意正整数 n,2S n

37、=an,数列a n中任意两不同项的和构成集合 A(1)证明无穷数列a n为等比数列,并求 的值;(2)如果 2010A,求 的值;(3)当 n1,设集合 中元素的个数记为 bn,求 bn【考点】集合的表示法【分析】 (1)S n=an当 n2 时,S n1=an1,可得 为正整数,即可得出正整数 (2)由(1)可得:S n=2an,可得 an=2n1,因此 A=(2 i1+2j1)|1ij,i,j N*,由于2015A,可得 2015=(2 i1+2j1)=2 i1(1+2 ji)=51331,利用 2i1 为偶数时,上式不成立,因此必有 2i1=1,可得 i=1,即可得出 j, (3)当 n

38、1 时,集合集合 ,即即53n1(3 i1+3j1)53 n,1ij,i,j N*Bn 中元素的个数,等价于满足53n3 i+3j 53n+1 的不同解(i,j) ,只有 j=n+2 才成立,利用53n3 1+3n+23 2+3n+23 n+3n+23 n+1+3n+2=43n+153 n+1,即可得出 (n N*) 【解答】解:(1)当 n2 时,2S n=an,2S n1=an1,两式相减得:2a n=anan1( 为质数且大于 2) , ,所以a n为等比数列,又 an各项均为正整数,则 为正整数, 为质数,则 =3(2)由(1)得:2S n=3an,当 n=1 时,a 1=,则所以 A

39、=( 3i1+3j1)|1ij,i,j N*如果 2010A,则 2010=(3 i1+3j1)=3 i1(1+3 ji)=23567因为 ji0,则 1+3ji 必为不小于 4 的偶数,则因 1+3ji=23 时,无解;因 1+3ji=267 时,无解;因 1+3ji=235,无解;因 1+3ji=2367,无解;因 1+3ji=2567,无解;因 1+3ji=23567=2010,无解;当 1+3ji=25ji=2,3 i1=201=367,当 i1=1 时,=67 ,所以 2010=67(3 21+341)A当 i1=0 时,=201,所以 2010=201(3 11+331)A综上,=

40、67 或 =201(3)当 n1 时,即 53n1(3 i1+3j1) 53n,1ij,i,j N*Bn 中元素的个数,等价于满足53n3 i+3j 53n+1 的不同解(i,j)如果 j n+2,则 3j+3i3 i+3n+3=3i+93n+153 n+1,矛盾如果 j n+2,则 3j+3i3 i+3n+13 n+3n+143 n53 n,矛盾从而,j=n+2又因为(3 1+3n+2)53 n=3+43n0所以 53n3 1+3n+23 2+3n+2 3 n+3n+23 n+1+3n+2=43n+153 n+1即 i=1,2,n,n+1,共 n+1 个不同的解(i,j) ,即共 n+1 个不同 xBn,所以2017 年 5 月 8 日

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