2019年广东省汕头市金山中学高三上学期期中考试 数学（理）（PDF版）.rar

成绩查询:登录zhixue.com或扫描二维码下载App(用户名和初始密码均为准考证号)2018-2019年度上学期金山中学高三期中考理科数学答题卡姓名： 班级： 考场/座位号： 正确填涂缺考标记注意事项1．答题前请将姓名、班级、考场、准考证号填写清楚。2．客观题答题，必须使用2B铅笔填涂，修改时用橡皮擦干净。 3．必须在题号对应的答题区域内作答，超出答题区域书写无效。 考 号[0][1][2][3][4][5][6][7][8][9][0][1][2][3][4][5][6][7][8][9][0][1][2][3][4][5][6][7][8][9][0][1][2][3][4][5][6][7][8][9][0][1][2][3][4][5][6][7][8][9]单选题1 [A] [B] [C] [D]2 [A] [B] [C] [D]3 [A] [B] [C] [D]4 [A] [B] [C] [D]5 [A] [B] [C] [D]6 [A] [B] [C] [D]7 [A] [B] [C] [D]8 [A] [B] [C] [D]9 [A] [B] [C] [D]10 [A] [B] [C] [D]11 [A] [B] [C] [D]12 [A] [B] [C] [D]填空题13. ​ 14. 13. ​​​​​​​​ 14. 解答题17. ​（12分）第1页 共6页18. ​（12分）第2页 共6页19. ​（10分）第3页 共6页20. ​（12分）第4页 共6页21. ​（12分）第5页 共6页22. ​（12分）第6页 共6页1 高三 期中考试 理科数学 试题 命题人：李勇 温馨提示：先做你会做的题是得高分的必要条件。 先做难题，下次将有更大的增长空间。 一、选择题： 每小题 5 分，共 60 分 ，只有一项是符合题目要求的 ． 1．若集合  02  xxxM ，  1,0,  aaayyN x ， R 表示实数集，则下列选项错误的是（ ***） A． MNM  B． MNCR  C． RNM  D． RNMCR  2．设复数 21,zz 在复平面内对应的点关于实轴对称，若 iiz 1 311，则 21 zz 等于 （ ***） A． 4i B．﹣ 4i C． 2 D．﹣ 2 3． 设 P、 M、 N 是单位圆上不相同的三点，且满足 PNPM ，则 PNPM 的最小值是（ ***） A． 41 B． 21 C． 43 D．﹣ 1 4． 某地一天 614 时的温度变化曲线近似满足函数    s i ny A x b      ，则这段曲线的函数解析式可以为 （ ***） A.  31 0 s i n 2 0 , 6 , 1 484y x t   B.  51 0 s i n 2 0 , 6 , 1 484y x t   C.  31 0 s i n 2 0 , 6 , 1 484y x t   D.  51 0 s i n 2 0 , 6 , 1 488y x t   5．函数xexxf 2)(2  的图象大致是 （ ***） A． B． C． D． 2 6．命题： 01,: 240  xxRxp ；命题 )s i n (sinsin,,:   Rq ，则下列命题中的假命题为 （ ***） A． )( qp  B． )()( qp  C． )()( qp  D． qp 7.设 yx, 满足 3 6 0200, 0xyxyxy    ，若函数 ( 0)z ax y a   的最大值为 18 ，则 a 的值为 （ ***） A． 3 B． 5 C． 7 D． 9 8． 若 )4s in(2)(   xxf （ 0 ） 的图像 在 ]1,0[ 上恰有 3 个最高点，则  的范围为 （ ***） A． )427,419[  B． )213,29[  C． )425,417[  D． )6,4[  9.图 1 所示，一棱长为 2 的正方体被削去一个角后所得到的几何体的直观图，其中 1 1DD ，1 2AB BC AA  ，若此几何体的俯视图如图 2 所示，则可以作为其正视图的是 （ ***） A． B． C． D． 10．已知棱长为 3 的正方体 1 1 1 1ABCD A B C D 内部有一圆柱，此圆柱恰好以直线 1AC 为轴，则该圆柱侧面积的最大值为 （ ***） A． 928  B． 924  C． 23 D． 32 11.已知函数 ( ) lnf x ax e x 与 2() lnxgx x e x  的图象有三个不同的公共点 ,其中 e 为自然对数的底数 ,则实数 a 的取值范围为 （ ***） A． ae B． 1a C． ae D． 3a 或 1a 12.记  min , ,abc 为 ,,abc中的最小值， 设 ,xy为任意正实数，则 11m in 2 , ,M x yyx的最大值为 （ ***） 3 A. 12 B. 2 C. 22 D. 3 二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分． 13． 如图所示，在边长为 1 的正方形 OABC 中任取一点 P ， 则点 P 恰好取自阴影部分的概率为 . 14． 向 量 cb,a, 满足 ： | | 4a ， | | 4 2b ， b 在 a 上的投影 为 4， ( ) ( ) 0   a c b c ，则 bc的最大值 为 . 15． 数列 {}na 且 21 ,2si n ,4nnnna nn  为 奇 数为 偶 数,若 nS 为数列 na 的前 n 项和 ,则 2018S  ． 16．已知函数 ))(( Rxxfy  满足 6)()(  xfxf ，函数 1132)(  x xxxxg ，若曲线 )(xfy 与 )(xgy 图象的 交点 分别 为 ),( 11 yx 、 ),( 22 yx 、 … 、 ),( mm yx ，则 )(1 iimi yx （结果用含有 m 的式子表示）． 三、解答题：本大题共 6 小题，共 70 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17. （ 12 分） 已知等差数列 na 的公差为 d ， 且关于 x 的不等式 21 30a x dx   的解集为 ( 1,3) ， （ Ⅰ ） 求数列 na 的通项公式 ； （ Ⅱ ） 若 1()22 nannba， 求数列 nb 前 n 项和 nS . 18. （ 12 分） 如图，在 ABC 中，内角 CBA ,, 的对边分别为 cba,, ， 且 bcCa 2cos2  ． （Ⅰ） 求角 A 的大小； （ Ⅱ ） 若 6ABC ， AC 边上的中线 BD 的 长为 35 ，求 ABC 的面积． 4 19. （ 10 分） 已知函数 ( ) 1 3f x x x   ． （ Ⅰ ） 解不等式 ： ( ) 1f x x； （ Ⅱ ） 设函数 ()fx的最小值为 c，实数 a， b 满足 0, 0,a b a b c   ， 求证： 111 22  bbaa． 20. （ 12 分） 四棱锥 S ABCD 的底面 ABCD 为直角梯形， //AB CD ， AB BC ，3AB ， 1BC ， 2CD ， SAD 为正三角形 . （Ⅰ）点 M 为棱 AB 上一点，若 //BC 平面 SDM ， AM ABuuuur uuur ，求实数  的值； （Ⅱ）若 BC SD ，求二面角 A SB C的余弦值 . 21. （ 12 分） 已知圆 4)1()3(: 221  yxC 和圆 4)5()4(: 222  yxC . （ Ⅰ ） 若直线 l 过点 )0,4(A 且被圆 1C 截得的弦长为 32 ，求直线 l 的方程； （ Ⅱ ） 设平面上的点 P 满足：存在过点 P 的无穷多对互相垂直的直线 1l 和 2l ，它们分别与圆 1C 和圆 2C 相交，且直线 1l 被圆 1C 截得的弦长与直线 2l 被圆 2C 截得 的弦长相等，试求所有满足条件的点 P 的坐标。 22. （ 12 分）已知函数 ( ) ( )( )xf x x b e a  ( 0)b 在 点 P ( 1, ( 1))f处的切线方程为 ：( 1) 1 0e x ey e    . （Ⅰ） 若 0n ，证明： xnxxf  2)( ； （Ⅱ）若 方程 ()f x m 有两个实数根 1x ， 2x ，且 12xx ，证明：21 (1 2 )1 1mexx e   . 5 高三理科数学答案 一、选择题： 1-12 CDBAD DACAC BD 二、填空题： 13. 61 14. 2824 15.2019302816.m3三、解答题： 17. 解： （ 1） 由题意 ， 得 112,3 3,daa  解得121.da , ┄┄┄┄┄┄ 4 分 故数列 na 的通项公式为 1 2( 1)nan   ， 即 21nan.┄┄┄┄┄┄ 6 分 （ 2） 据 （ 1） 求解知 21nan， 所以 1()22 2 ( 2 1 )    na nnnb a n， ┄┄┄┄┄┄ 8 分 所以 ( 2 4 8 2 ) ( 1 3 5 2 1 )          nnSnLL 1222  n n ┄┄┄┄┄┄ 12 分 18 解析 ： 由 bcCa 2cos2  ． 正弦定理，可得 BCCA s in2s inco ss in2  即 )s i n (2sinc o ssin2 CACCA  可得： ACC cossin2sin  0sin C 21cos  A ),0( A 则 32A ………………… （ 6 分） （ 2）由（ 1）可知 32A ． 6ABC 6C 则 ABAC ． 设 xAD ，则 xAB 2 ， 在 ABD 中利用余弦定理：可得． AADABADABBD c o s2222  6 即 357 2x ，可得 5x ， 故得 ABC 的面积 3532s i n421 2  xS ． ………………… （ 12 分） 19.解： ① 当 1x 时，不等式可化为 124  xx ， 1x ． 又 ∵ 1x ， ∴ x ∅； ② 当 31 x 时，不等式可化为 12 x ， 1x ． 又 ∵ 31 x ， ∴ 31 x ． ③ 当 3x 时，不等式可化为 142  xx ， 5x ． 又 ∵ 3x ， ∴ 53 x ． 综上所得， 51 x ． ∴ 原不等式的解集为 ]5,1[ ． ………………… （ 5 分） （ Ⅱ ）证明：由绝对值不等式性质得， | 1 | | 3 | | (1 ) ( 3 ) | 2x x x x       ， ∴ 2c ，即 2ba ． 令 ma 1 ， nb 1 ，则 1m ， 1n ， 1,1  nbma ， 4nm ， nnmmbbaa 2222 )1()1(11  nmnm 114  mn4 1)2(42  nm， 原不等式得证． ………………… （ 10 分） 20. 解析：（ 1）因为 //BC 平面 SDM， BC  平面 ABCD，平面 SDM  平面 ABCD=DM， 所以 DMBC// ，因为 DCAB// ,所以四边形 BCDM 为平行四边形， 又 CDAB 23 ,所以 M 为 AB 的三等分点 .因为 ABAM  ， 31 . 4 分 （ 2）因为 BC SD ， BC CD ，所以 BC 平面 SCD ， 又因为 BC 平面 ABCD ，所以平面 SCD 平面 ABCD ， 平面 SCDI 平面 ABCD CD ， 在平面 SCD 内过点 S 作 SE 直线 CD 于点 E ， 则 SE 平面 ABCD ， 在 Rt SEAV 和 Rt SEDV 中， 因为 SA SD ，所以 2 2 2 2A E S A S E S D S E D E    ， 又由题知 45EDAo ，所以 AE ED 所以 1AE ED SE  ， 6 分 以下建系求解 . 以点 E 为坐标原点， EA 方向为 X 轴， EC 方向为 Y 轴， ES 方向为 Z 轴建 立如图所示空间坐标系，则 (0,0,0)E ， (0,0,1)S ， (1,0,0)A ， )0,3,1(B ， )0,3,0(C ， 7 (1,0, 1)SAuur ， )0,3,0(AB ， )1,3,0( SC ， (1,0,0)CBuuur ， 设平面 SAB 的法向量 1 ( , , )n x y zur ，则 1100n SAn AB ur uurur uuur ，所以   03 0yzx ，令 1x 得1 (1,0,1)n ur 为平面 SAB 的一个法向量， 同理得 )3,1,0(2 n 为平面 SBC 的一个法向量， 9 分 10 53,c o s 21 2121  nn nnnn， 10 分 因为二面角 A SB C为钝角， 11 分 所以二面角 A SB C余弦值为 1053 . 12 分 21. 解 ： (1)设直线 l 的方程为： ( 4)y k x，即 40kx y k   由垂径定理，得：圆心 1C 到直线 l 的距离 22234 ( ) 12d   ， 点到直线距离公式，得：2| 3 1 4 | 1,1kkk    2 72 4 7 0 , 0 , , 24k k k o r k     求直线 l 的方程为： 0y 或 7 ( 4)24yx  ， 即 0y 或 7 24 28 0xy   4 分 (2) 设点 P 坐标为 ( , )mn ，直线 1l 、 2l 的方程分别为： 1( ) , ( )y n k x m y n x mk      ，即： 110 , 0k x y n k m x y n mkk         因为直线 1l 被 圆 1C 截得的弦长与直线 2l 被圆 2C 截得的弦长相等，两圆半径相等。由 垂径定理，得：：圆心 1C 到直线 1l 与 2C 直线 2l 的距离相等。 故有：2241| 5 || 3 1 |11 1nmk n k m kkkk      ， 化简得： ( 2 ) 3 , ( 8 ) 5m n k m n m n k m n         或 关于 k 的方程有无穷多解，有：   03 02 nm,或   05 08nn解之得：点 P 坐标为 313( , )22 或 51( , )22 。 12 分 8 22. 解 ： （ Ⅰ ）由 题意  10f ，所 以   1( 1 ) 1 0f b ae     ， 又  ( ) 1 xf x x b e a    ， 所以 1( 1) 1bfaee      ， 源 若 1a e ， 则 20be   ， 与 0b 矛盾 ， 故 1a ， 1b . 3 分 可 知   ( ) 1 1xf x x e  ， (0) 0, ( 1) 0ff  ， 由 0n ，可 得 xnxx  2 ， 令   ( ) 1 1xg x x e x   ，  ( ) 2 2xg x x e   ， 当 2x 时，  ( ) 2 2 2 0xg x x e      ， 当 2x 时，设  ( ) ( ) 2 2xh x g x x e   ，  ( ) 3 0xh x e   ， 故 函数 ()gx 在  2,  上 单 调 递增 ， 又 (0) 0g  ， 所 以 当  ,0x  时 ， ( ) 0gx  ，当  0,x  时 ， ( ) 0gx  ， 所 以 函数 ()gx在区 间  ,0 上 单 调 递 减，在区 间  0, 上 单 调 递增 ， 故 0)0()(  gxg ，即 xnxxex x  2)1)(1( 故 xnxxf  2)( . 6 分 （Ⅱ） 设 )(xf 在 (-1， 0)处的切线方程为 )(xh ， 易得，  1( ) 1 1h x xe  ，令 ( ) ( ) ( )F x f x h x 即      1( ) 1 1 1 1xF x x e xe     ，   1( ) 2 xF x x e e   ， 当 2x 时，   11( ) 2 0xF x x e ee       当 2x 时，设   1( ) ( ) 2 xG x F x x e e   ，  ( ) 3 0xG x x e   ， 故 函数 ()Fx 在  2,  上 单 调 递增 ， 又 ( 1) 0F ， 所 以 当  ,1x  时 ， ( ) 0Fx  ，当  1,x   时 ， ( ) 0Fx  ， 所 以 函数 ()Fx在区 间  ,1 上 单 调 递 减，在区 间  1,  上 单 调 递增 ， 故 0)1()(  FxF ， 11( ) ( )f x h x ， 设 ()hx m 的 根为 1x ， 则1 1 1mex e   ， 又函数 ()hx 单 调 递 减，故 1 1 1( ) ( ) ( )h x f x h x ，故 11xx ， 设 ()y f x 在 (0,0)处 的切线 方 程为 ()y t x ， 易得 ()tx x ， 由（Ⅱ）得 22( ) ( )f x t x ， 设 ()t x m 的 根为 2x ， 则 2xm ， 又函数 ()tx单 调 递 增，故 2 2 2( ) ( ) ( )t x f x t x ，故 22xx ， 又 11xx ，2 1 2 1 ( 1 2 )1111m e m ex x x x m ee          . 12 分