1、第九讲 鸡兔同笼问题【基础概念】：鸡兔同笼问题也称置换问题：这类应用题常常把问题中的一个未知数假定为已知的，然后根据题目中的已知条件推算，其结果常与题目对应的已知数不符，再加以适当调整，就可以求出结果。此类应用题也称为假定法或比较法。基本数量关系式：（1）假设全是鸡，兔的只数=（总腿数总头数2）2，鸡的只数=总头数兔的只数；（2）假设全是兔，鸡的只数=（4总头数总腿数）2，兔的只数=总头数鸡的只数。【典型例题 1】：鸡兔同关在一只笼里，共 48 个头，100 只脚问：鸡有多少只？兔有多少只？ 【思路分析】：假设全是兔子，那么就有 484=192 只脚，这就比已知的 100只脚多出了 192-1
2、00=92 只脚，因为 1 只兔比 1 只鸡多 4-2=2 只脚，由此即可求得鸡的只数，进而求得兔的只数。解答：假设全是兔子，则鸡就有：（484-100 ）（4-2 ）=922=46（只）则兔子有 48-46=2（只）答：鸡有 46 只，兔子有 2 只 。【小结】：解决这类问题关键是假设之后，多出脚数与对应的鸡的只数的关系。此题也可以这样解答：设兔有 x 只，那么鸡有（48-x）只，由等量关系：鸡和兔共有 100 只脚，可得方程：4x+2（48-x）=100 ，解答即可。【巩固练习】1、张洪正好用 20 元钱买了 2 元的邮票和 5 角的邮票，一共 16 张，问这两种邮票各有多少张？2、鸡兔同
3、笼，鸡和兔的数量相同，两种动物的腿加起来共有 168 条，鸡和兔各有多少只？【典型例题 2】：鸡兔同笼，鸡比兔多 10 只，但鸡脚却比兔脚少 60 只，问鸡兔各多少只？【思路分析】：设兔有 x 只，则鸡有（10+x）只，根据等量关系：兔的脚数-鸡的脚数 60 只列方程解答即可。解答：解：设兔有 x 只，则鸡有（10+x）只，4x-2（ 10+x）=604x-20-2x=602x=80x=4040+10=50（只）答：鸡有 50 只，兔有 40 只。 【小结】：解决此类问题关键是找到等量关系：兔的脚数-鸡的脚数=60 只，再根据等量关系列方程就可以了。【巩固练习】3、现在有相同只数的鸡、兔同笼，
4、已知兔脚比鸡脚多 56 只，问鸡、兔各有多少只？4、鸡、兔共 60 只，鸡脚比兔脚多 60 只问：鸡、兔各多少只？【知识梳理】问题类型与解决方法：（1）已知总头数和总脚数，求鸡、兔各多少：（总脚数-每只鸡的脚数总头数）（每只兔的脚数-每只鸡的脚数）=兔数；总头数-兔数=鸡数；或者是（每只兔脚数总头数-总脚数）（每只兔脚数-每只鸡脚数）=鸡数；总头数-鸡数= 兔数。（2）已知总头数和鸡兔脚数的差数，当鸡的总脚数比兔的总脚数多时，可用公式（每只鸡脚数总头数-脚数之差）（每只鸡的脚数+每只兔的脚数）=兔数；总头数-兔数=鸡数或（每只兔脚数总头数+ 鸡兔脚数之差） （每只鸡的脚数+每只免的脚数）= 鸡
5、数；总头数 -鸡数=兔数。已知总数与鸡兔脚数的差数，当兔的总脚数比鸡的总脚数多时，可用公式。（每只鸡的脚数总头数+鸡兔脚数之差）（每只鸡的脚数+每只兔的脚数）=兔数；总头数-兔数=鸡数，或（每只兔的脚数 总头数-鸡兔脚数之差）（每只鸡的脚数+每只兔的脚数）= 鸡数；总头数-鸡数= 兔数。【典例精讲 3】典出孙子算经：“今有雉（鸡）兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问雉兔各几何？”思路分析：假设都是鸡，则脚数为 352=70 只，比实际少 94-70=24 只，因为每只鸡比每只兔少 4-2=2 只脚，所以兔的只数是 242=12 只，再进而用减法即可求出鸡的只数。解答：假设全是鸡，兔有：（94
6、-352）（4-2）=（94-70）2=242=12（只） ；鸡有：35-12=23（只） 答：鸡有 23 只，兔有 12 只小结：解决这类题的关键是用假设法进行分析，进而得出结论。【举一反三】5. 李明小红有 1 分、5 分的硬币共 35 枚，一共是 9 角 5 分，问两种硬币各多少枚？6. 在我区举行的“希望杯”数学竞赛中，供 15 道题，每做对一道题得 8 分，不没、做错一道题倒扣 4 分，玛丽把 15 道题全做了，共得了 72 分，她做错了多少道题？【典例精讲 4】鸡、兔共 30 只，鸡脚比兔脚多 30 只问：鸡、兔各多少只？思路分析：假设 30 只都是鸡，没有兔，那么就有鸡脚 60
7、只，这样鸡脚比兔脚多 60 只，而实际上只多 30 只，这说明假设的鸡脚比兔脚多的数比实际上多 60-30=30 只，现在以兔换鸡，每换一只，鸡脚减少 2 只，兔脚增加 4 只，即鸡脚比兔脚多的脚数中就会减少 4+2=6 只，而 306=5 只，因此有兔子 5 只，鸡30-5=25 只解答：兔子：（302-30）（4+2）=306=5（只）鸡：30-5=25（只）答：兔子有 5 只，鸡有 25 只 。小结：解决这类问题关键是假设之后，要弄清楚脚的变化情况。【举一反三】7. 鸡、兔共有 150 只，兔脚的总只数比鸡脚的总只数多 60 只，鸡、兔各有多少只？8. 汇丰机床产要运一批钢材，用小卡车装
8、载要 90 辆，用大卡车装载只要 72 辆。已知每辆大卡车比每辆小卡车多装 8 吨，那么这批钢材有多少吨？答案及解析：1.【解析】假设全是 2 元的邮票，则一共用 216=32 元，比实际多用 32-20=12元，因为 5 角=0.5 元，一张 2 元的比一张 0.5 元的多用 2-0.5=1.5 元，所以 5 角的共有：121.5=8 张，进而用减法即可求出 2 元的邮票张数。【答案】5 角=0.5 元5 角的有：（162-20 ）（2-0.5 ）=121.5=8（张）2 元的有：16-8=8（张）答：2 元的有 8 张，5 角的有 8 张。2. 【解析】根据鸡和兔的数量相同，两种动物的腿加
9、起来共有 168 条，可知本题的数量关系：鸡的腿数+兔的腿数=168 ，据此等量关系可列方程解答。【答案】解：设鸡有 x 只，根据题意得：2x+4x=1686x=168x=1686x=28答：鸡和兔各有 28 只。3.【解析】可以设鸡兔各有 x 只，根据兔的只数4-鸡的只数2=56 条腿，列出方程就可以解决问题。【答案】：解：设鸡兔各有 x 只，根据题意可得方程：4x-2x=562x=56x=28答：鸡兔各有 28 只。 4. 【解析】假设 60 只都是鸡，没有兔，那么就有鸡脚 120 只，这样鸡脚比兔脚多 120 只，而实际上只多 60 只，这说明假设的鸡脚比兔脚多的数比实际上多120-60
10、=60 只，现在以兔换鸡，每换一只，鸡脚减少 2 只，兔脚增加 4 只，即鸡脚比兔脚多的脚数中就会减少 4+2=6 只，而 606=10，因此有兔子 10 只，鸡 60-10=50 只。【答案】：兔子：（602-60）（4+2）=606=10（只）鸡：60-10=50（只）答：兔子有 10 只，鸡有 50 只。 5 【解析】假设这 35 枚都是 1 分的，那么总钱数就应该是 35 分，比实际 95 分少了 60 分，这是因为把其中 5 分的硬币都当成 1 分了，一枚 5 分硬币，少算 4分，少算的 60 分中有几个这样的 4 分，就有几个 5 分硬币，从而得出 1 分硬币的枚数。【答案】：9
11、角 5 分 =95 分，95-351=60（分） ，5 分：60（5-1）=15（枚） ，1 分：35-15=20（枚） ，答：5 分硬币有 15 枚，1 分硬币有 20 枚6.【解析】：根据“每做对一道得 8 分，不做错一道题扣 4 分， ”可知：不做与做错一题比做对一题少得 8+4=12 分；全部做对 15 道题共得 815=120（分） ；假设全部做对得分是 120 分，比 72 分多得 120-72=48（分） ，那么她做错了：4812=4（道） 。【答案】：假设她全做对了 ，做错：（158-72）（8+4）=4812=4（道） ；答：他做错了 4 道题。7.【解析】如果补上鸡脚少的
12、60 只的话，就要增加 602=30 只鸡，这样鸡兔共有 150+30=180 只，这样鸡兔的脚数一样多，那么 1 只鸡脚是 1 只兔脚的一半，而现在它们脚的总数相同，可知鸡的只数是兔的 2 倍，根据和倍问题即可解决。【答案】：兔：（150+602）（2+1 ）=1803=60（只）鸡：15060=90（只）答：鸡共有 90 只，兔共有 60 只。8.【解析】利用假设法，假设只用 72 辆小卡车来装载这批钢材，因为每辆大卡车比每辆小卡车多装 8 吨，所以要剩下 872=576（吨） 。根据条件，要装完这576 吨钢材还需要 90-72=18（辆）小卡车。这样每辆小卡车能装5761832（吨） 。由此可求出这批钢材有多少吨。【答案】：872（90-72）902880（吨） 。答：这批钢材有 2880 吨。
