1、第页 12019 届广东省广州市执信中学上学期高三测试数学（必修模块）试题（解析版）一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分,共 60 分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.满足条件 的所有集合 的个数是( )A. 1 B. 2 C. 3 D. 4【答案】D【解析】【分析】利用条件 ,则说明 中必含有元素 3，然后进行讨论即可.【详解】 ， 一定属于 ，则满足条件的 或 或 或 ，共有 4 个，故选 D.【点睛】研究集合问题，一定要抓住元素，看元素应满足的属性.研究两集合的关系时，关键是将两集合的关系转化为元素间的关系.2.若向量 ，则 的取值范围是( )A.
2、B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】利用向量模的性质：向量模的平方等于向量的平方，利用向量的数量积公式及三角函数的差角的余弦公式可求出向量的模的取值范围.【详解】向量 ，则，而 ，则 的取值范围是 ，故选 A.【点睛】求最值问题往往先将所求问题转化为函数问第页 2题，然后根据: 配方法、换元法、不等式法、三角函数法、图象法、函数单调性法求解，求与三角函数有关的最值常用方法有以下几种：化成 的形式利用配方法求最值； 形如的可化为 的形式利用三角函数有界性求最值； 型，可化为求最值 .3.已知 是两条不同直线， 是三个不同平面，则下列正确的是（ ）A. 若 ， ，则 B. 若 ， ，则C.
3、 若 ， ，则 D. 若 ， ，则【答案】D【解析】对于 A，若 ，可能相交、平行、 异面，A 错；对于 B，若 ， 、 可能相交、平行，B 错；对于C，若 ， 、 可能相交、平行，C 错；对于 D, 若 ，根据线面垂直的性质定理可得 ，D 正确；故选 D4.在 中，若 ，则 的形状是（ ）A. 等腰直角三角形 B. 直角三角形 C. 等腰三角形 D. 等边三角形【答案】C【解析】， ，则 ， 为等腰三角形，选 C.5.从某社区 65 户高收入家庭，280 户中等收入家庭，105 户低收入家庭中选出 100 户调查社会购买力的某一项指标，应采用的最佳抽样方法是( )A. 系统抽样 B. 分层抽
4、样 C. 简单随机抽样 D. 各种方法均可【答案】B【解析】【分析】根据社会购买力的某项指标受到家庭收入的影响，而社区中各个家庭收入差别明显，所以应用分层抽样 .【详解】从某社区 65 户高收入家庭，280 户中等收入家庭，105 户低收入家庭中选出 100 户调查社会购买力的某一项指标，因为社会购买力的某项指标，受到家庭收入的影响而社区中各个家庭收入差别明显， 所以应用分层抽样法，故选 B.【点睛】本题主要考查分层抽样的应用，属于基础题.分层抽样适合总体中个体差异明显，层次清晰的抽样，第页 3其主要性质是，每个层次，抽取的比例相同.6.一个三棱柱的底面是正三角形，侧棱垂直于底面，它的三视图及
5、其尺寸如下（单位 ） ，则该三棱柱的表面积为( )A. B. C. D. 【答案】B【解析】考点：由三视图求面积、体积。分析：由三视图知几何体是一个三棱柱，三棱柱的高是 2，底面是高为 2 的正三角形，做出底面的边长，利用三角形和矩形的面积公式得到结果。解答：由三视图知几何体是一个三棱柱，三棱柱的高是 2，底面是高为 2 的正三角形，所以底面的边长是 2 =4，两个底面的面积是 21/242 =8 ，侧面积是 243=24，几何体的表面积是 24+8 （ cm2） ，故选 B。点评：本题考查由三视图还原几何体，求几何体的体积，解题的关键是测试图中所给的数据容易当做底面的边长，是一个易错题。7.
6、已知 ，则 的值是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】第页 4【分析】由 可得 ，化简则 ，从而可得结果.【详解】，故选 C.【点睛】三角函数求值有三类，(1)“ 给角求值”：一般所给出的角都是非特殊角，从表面上来看是很难的，但仔细观察非特殊角与特殊角总有一定关系，解题时，要利用观察得到的关系，结合公式转化为特殊角并且消除非特殊角的三角函数而得解(2)“ 给值求值” ：给出某些角的三角函数式的值，求另外一些角的三角函数值，解题关键在于“变角”，使其角相同或具有某种关系(3)“给值求角”：实质是转化为“给值求值”，先求角的某一函数值，再求角的范围，确定角8.济南市某公交线路某区间内共
7、设置四个站点（如图） ，分别记为 ，现有甲、乙两人同时从 站点上车，且他们中的每个人在站点 下车是等可能的.则甲、乙两人不在同一站点下车的概率为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】利用互斥事件、独立事件的概率公式求出甲、乙两人在同一站下车的概率 ,再利用对立事件的概率公式， 即可得结果.【详解】设事件“ 甲、乙两人不在同一站下车”，因为甲、乙两人在同在 站下车的概率为 ；甲、乙两人在同在 站下车的概率为 ；第页 5甲、乙两人在同在 站下车的概率为 ；所以甲、乙两人在同在一站下车的概率为 ，则 ，故选 A.【点睛】本题主要考查互斥事件、对立事件及独立事件的概率及分段函数的解析
8、式，属于基础题.解答这类综合性的概率问题一定要把事件的独立性、互斥性结合起来，要会对一个复杂的随机事件进行分析，也就是说能把一个复杂的事件分成若干个互斥事件的和，再把其中的每个事件拆成若干个相互独立的事件的积，这种把复杂事件转化为简单事件，综合事件转化为单一事件的思想方法在概率计算中特别重要.9.若 是定义在 上的奇函数， ，且在 上是增函数，则 的解集为( )A. 或 B. 或C. 或 D. 或【答案】D【解析】【分析】由奇偶性可得 等价于 ，即 与 的符号相反，由此特征结合函数的单调性， 分类讨论解不等式组即可得出正确结论.【详解】因为函数 为奇函数，所以 等价于 ，由题设 在 上是奇函数
9、，且在 上是增函数，又 ，且 在 上是增函数 ，即 在 上小于零，在 大于零，在 小于零，在 大于零，又 ，即 与 的符号相反，由 可得 ；由 可得的解集是 或 ，故选 D.【点睛】本题主要考查抽象函数的奇偶性与单调性的应用，属于难题.将奇偶性与单调性综合考查是，一直是命题的热点，解这种题型往往是根据函数在所给区间上的单调性，根据奇偶性判断出函数在对称区间上的单调性(偶函数在对称区间上单调性相反，奇函数在对称区间单调性相同) ，然后再根据单调性列不等式求解.第页 610.将棱长相等的正方体按图示的形状摆放，从上往下依次为第 1 层，第 2 层， ，则第 20 层正方体的个数是（ ）A. 420
10、 B. 440 C. 210 D. 220【答案】C【解析】【分析】观察相邻两层正方体个数之间的关系，找出规律，利用等差数列求和公式求解即可.【详解】观察可得，第 1 层正方体的个数为 1，第 2 层正方体的个数为 3，比第 1 层多 2 个，第 3 层正方体的个数为 6，比第 2 层多 3 个；，可得，每一层比上一层多的个数依次为 2, 3, 4, 5,故第 20 层的正方体个数为 ，故选 C.【点睛】归纳推理的一般步骤: 一、通过观察个别情况发现某些相同的性质. 二、从已知的相同性质中推出一个明确表述的一般性命题(猜想）. 常见的归纳推理分为数的归纳和形的归纳两类：(1) 数的归纳包括数的
11、归纳和式子的归纳，解决此类问题时，需要细心观察，寻求相邻项及项与序号之间的关系，同时还要联系相关的知识，如等差数列、等比数列等；(2) 形的归纳主要包括图形数目的归纳和图形变化规律的归纳.11.已知函数 在区间 上的最大值比最小值大 2，则的值为( )A. 2 B. C. D. 或【答案】D【解析】【分析】根据对数函数的单调性与二次函数的单调性可得函数 在区间 上的最大值与最小值是，从而可得结果.【详解】因为 在 上单调递增，所以函数 在区间 上的最大值与最小值是 ，第页 7因为函数 在区间 上的最大值比最小值大 2，所以 ，即 ，得 或 ，故选 D.【点睛】本题主要考查对数函数的单调性与二次
12、函数的单调性，以及利用单调性求最值， 意在考查灵活应用所学知识解决问题的能力，属于中档题.12.已知圆 ，点 及点 ，若直线 与圆 没有公共点， 则的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】先求出 的方程 ，因为直线 与圆 没有公共点，所以 ，从而可求得求的取值范围.【详解】因为 及点 ，所以 ， 的方程为 ，即 ，因为直线 与圆 没有公共点，所以 ，可得 或 ，的取值范围是 ，故选 C.【点睛】本题主要考查直线与圆的位置关系，属于简单题. 解答直线与圆的位置关系的题型，常见思路有两个：一是考虑圆心到直线的距离与半径之间的大小关系（求弦长问题需要考虑点到直线距离、半径
13、，弦长的一半之间的等量关系） ；二是直线方程与圆的方程联立，考虑运用韦达定理以及判别式来解答.二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.把答案填在题中横线上13.大正方形的面积为 13，四个全等的直角三角形围成中间的小正方形，较短的直角边长为 2，向大正方形内投掷飞镖，则飞镖落在中间小正方形内的概率是 _.第页 8【答案】【解析】【分析】根据几何概型概率的求法, 飞镖扎在小正方形内的概率为小正方形与大正方形的面积比， 根据题意，可得小正方形的面积与大正方形的面积，进而可得结论.【详解】大正方形的面积是 13 ，则大正方形的边长是 ，又直角三角形的较短边长为 2，所以另一边为
14、 ，得出四个全等的直角三角直角边分别是 3 和 2，则小正方形的边长为 ,面积为 1 ；又 大正方形面积为 13 ，故飞镖扎在小正方形内的概率为 ，故答案为 .【点睛】本题主要考查“面积型”的几何概型，属于中档题. 解决几何概型问题常见类型有：长度型、角度型、面积型、体积型，求与面积有关的几何概型问题关鍵是计算问题的总面积以及事件的面积；几何概型问题还有以下几点容易造成失分，在备考时要高度关注：（1）不能正确判断事件是古典概型还是几何概型导致错误；（2）基本事件对应的区域测度把握不准导致错误 ；（3）利用几何概型的概率公式时 , 忽视验证事件是否等可能性导致错误.14.已知 ，且 与垂直，则与
15、 的夹角为_.【答案】【解析】【分析】由 与垂直，可得 ，结合 即可得结果 .【详解】 ，第页 9，故答案为 .【点睛】本题主要考查向量的模与夹角以及平面向量数量积公式，属于中档题.平面向量数量积公式有两种形式，一是 ，二是 ，主要应用以下几个方面:(1)求向量的夹角， （此时 往往用坐标形式求解） ；（2）求投影， 在 上的投影是 ；（3） 向量垂直则 ;(4)求向量的模（平方后需求 ）.15.阅读右图所示的流程图，输出的结果为_.【答案】【解析】【分析】【详解】输入 ；第一次循环 ；第二次循环 ；第三次循环 ；，退出循环，输出 ，故答案为 6.【点睛】本题主要考查程序框图的循环结构流程图，
16、属于中档题. 解决程序框图问题时一定注意以下几点：(1) 不要混淆处理框和输入框；(2) 注意区分程序框图是条件分支结构还是循环结构；(3) 注意区分当型循环结构和直到型循环结构；(4) 处理循环结构的问题时一定要正确控制循环次数； (5) 要注意各个框的顺序,（6）在给出程序框图求解输出结果的试题中只要按照第页 10程序框图规定的运算方法逐次计算，直到达到输出条件即可.16.已知 ，且 ，则 的取值范围是_.【答案】【解析】【分析】先根据基本不等式可知 ， ，进而求得 的范围， 由此能求出 的取值范围.【详解】 正数 ，或 （空集） ，故答案为 .【点睛】若一个等式中，有两个数的乘积同时有这
17、两个数的和， 求其中一个的最值时,通常用的方法是:用基本不等式将等式转化成要求部分的不等式，解不等式求出范围.三、解答题：本大题共 6 小题，每小题有两小题，满分 70 分. 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17.已知函数 （ ）的最小正周期为 （1）求 的值；（2）求函数 在区间 上的取值范围【答案】 （1） （2）【解析】试题分析：（）运用倍角公式及辅助角公式把已知函数化为 ,再由周期公式得 ，所以 。 （）由 x 的取值范围得到 ，从而求出 ，则 ，故 试题解析：（）已知函数可化为（x） 因为函数 的最小正周期为 ，且 ，所以 ，解得 （）由（）得 因为 ，所以 ，所以 ，因此，
18、即 的取值范围为 第页 11考点： 倍角公式及辅助角公式的应用 三角函数求值域。18. （本小题满分 13 分）设 的内角 的对边分别为 ，且 ， ,求：（）的值；（） 的值【答案】 （1）（2）【解析】解：（）由余弦定理得故 6 分（）解法一： 9 分由正弦定理和（）的结论得故 13 分解法二：由余弦定理及（）的结论有故同理可得第页 12从而19. （本小题满分 12 分）设数列 的前 项和为 已知 ， ， （）设 ，求数列 的通项公式；（）若 ， ，求的取值范围 。【答案】【解析】试题分析：（）依题意， ，即 ，由此得 ，因此， 当 时， 为等比数列，首项是 ，公比 ，所求通项公式为 ，；
19、当 时， ， ，也适合上式，故数列 的通项公式为 ；（）由 通项可知 ， ，当 时， ，第页 13，所以（ ） ，当 n=1 时再验证一下试题解析：（）依题意， ，即 ，由此得 ，因此， 当 时， 为等比数列，首项是 ，公比 ，所求通项公式为 ， 当 时， ， ，也适合故数列 的通项公式为 ， （）由 知 ， ，于是，当 时，当 时， 又 综上，所求的的取值范围是 考点：数列性质及其恒成立问题20.私人办学是教育发展的方向，某人准备投资 1200 万元举办一所中学，为了考虑社会效益和经济效益，对该地区教育市场进行调查，得出一组数据，列表如下（以班级为单位）：市场调查表班级学生数 配备教师数 硬
20、件建设费（万元） 教师年薪（万元）初中高中根据物价部门的有关文件，初中是义务教育阶段，收费标准适当控制，预计除书本费、办公费，初中每生每年可收取 元，高中每生每年可收取 元.因生源和环境等条件限制，办学规模以 至 个班为宜（含 个与 个）.教师实行聘任制.初、高中的教育周期均为三年.请你合理地安排招生计划，使年利润最大，大约经过多少年可以收回全部投资？第页 14【答案】【解析】【分析】根据设初中编 个班，高中编制为 个班，得出二元一次方程组 ，又设年利润为万元，那么=（5060010000） （40150010000 ） 2.4 4 ，即 ，根据线性规划可得年利润最大值，利用可得大约经过 36
21、 年可以收回全部投资.【详解】设初中编制为 个班，高中编制为 个班.则依题意有（*）又设年利润为万元，那么=（5060010000） （40150010000 ） 2.4 4 ，即 .在直角坐标系中作出（*）所表示的可行域，如图所示.问题转化为在如图所示的阴影部分中，求直线 在 轴上的截距的最大值，如图，虚线所示的为一组斜率为0.3 的直线，显然当直线过图中的 点时，纵截距 取最大值.解联立方程组 得将 代入中得， .设经过 年可收回投资，则第 年利润为 （万元） ；第 年利润为 （万元） ，以后每年的利润均为 万元，故依题意应有 .解得 .第页 15答：学校规模以初中 个班、高中 个班为宜，
22、第一年初中招生 个班约 人，高中招生 个班约 ，从第三年开始年利润为 万元，约经过 年可以收回全部投资.【点睛】本题主要考查线性规划的应用，利用可行域求目标函数的最值，属于简单题.求目标函数最值的一般步骤是“一画、二移、三求”：（1）作出可行域（一定要注意是实线还是虚线） ；（2）找到目标函数对应的最优解对应点（在可行域内平移变形后的目标函数，最先通过或最后通过的顶点就是最优解） ；（3）将最优解坐标代入目标函数求出最值.21.如图，在四棱锥 中，平面 平面 ， ， 是等边三角形，已知， （1）设 是 上的一点，证明：平面 平面 ；（2）求四棱锥 的体积【答案】 （1）证明见解析；（2） .【
23、解析】【分析】（1）欲证平面 平面 ，根据面面垂直的判定定理可知在平面 内一直线与平面 垂直,而根据平面 与平面 垂直的性质定理， 可知 平面 ；（2）过 作 交 于 ，根据平面 与平面 垂直的性质定理，可知 平面 ，从而 为四棱锥 的高，四边形 是梯形,根据梯形的面积公式求出底面积,最后用锥体的体积公式进行求解即可.【详解】(1)证明：在 中，由于 ， ， ，所以 故 第页 16又平面 平面 ，平面 平面 ，平面 ，所以 平面 ，又 平面 ，故平面 平面 (2)过 作 交 于 ，由于平面 平面 ，所以 平面 因此 为四棱锥 的高，又 是边长为 4 的等边三角形因此 在底面四边形 中， ， ，
24、所以四边形 是梯形，在 中，斜边 边上的高为 ，此即为梯形 的高，所以四边形 的面积为 故 【点睛】解答空间几何体中垂直关系时，一般要根据已知条件把空间中的线线、线面、面面之间垂直关系进行转化，转化时要正确运用有关的定理，找出足够的条件进行推理；证明直线和平面垂直的常用方法有：（1）利用判定定理；（2）利用判定定理的推论 ；（3）利用面面平行的性质；（4）利用面面垂直的性质，当两个平面垂直时，在一个平面内垂直于交线的直线垂直于另一个平面.22.设 为坐标原点，曲线 上有两点 ，满足关于直线 称，又满足.（1）求 的值； （2）求直线 的方程.【答案】 （1）-1；（2） .【解析】【分析】第页
25、 17（1）曲线 上有两点 ，满足关于直线 对称,因为曲线是圆,可得直线过圆心，可求 的值；(2) 设 ， 方程为 ,直线方程与圆的方程联立， 结合韦达定理,以及 ,可得 ，解方程,可求直线 的方程.【详解】 （1） ，所以曲线为以 为圆心， 为半径的圆，由已知，直线过圆心，所以 ，解之得 .（2）设 ,联立方程组 ,得 ,设 ，则有 ,又 ，所以 ，即 ，将 代入上式得 ，所以 ,所以直线 的方程为： .【点睛】本题主要考查直线与圆锥曲线的位置关系的相关问题，意在考查学生理解力、分析判断能力以及综合利用所学知识解决问题能力和较强的运算求解能力，其常规思路是先把直线方程与圆锥曲线方程联立，消元、化简，然后应用根与系数的关系建立方程，解决相关问题涉及弦中点的问题常常用“点差法”解决，往往会更简单.
