1、2018 年南平市普通高中毕业班第二次综合质量检查考试理科数学第卷（共 60 分）一、选择题：本大题共 12 个小题，每小题 5 分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1已知 i为虚数单位，复数 2iza， R，若复数 z是纯虚数，则 z（ ）A1 B 2 C2 D42若 4cos5， 是第三象限的角，则 sin（ ）A 710 B 7210 C 210 D 2103命题 :,sincopxxR，命题 :,exq，真命题的是（ ）A q B pq C p D pq4如图，半径为 的圆 O内有四个半径相等的小圆，其圆心分别为 ,ABC，这四个小圆都与圆 O内切，且相邻
2、两小圆外切，则在圆 内任取一点，该点恰好取自阴影部分的概率为（ ）A 128 B 642 C 962 D 325过双曲线 2:1xy上任意点 P作双曲线 的切线，交双曲线 两条渐近线分别交于 ,AB两点，若 O为坐标原点，则 AO的面积为（ ）A4 B3 C2 D16512xx的展开式中的常数项为（ ）A20 B-20 C40 D-407我国古代数学名著九章算术中，将底面是直角三角形的直三棱柱（侧棱垂直于底面的三棱柱）称之为“堑堵”现有一块底面两直角边长为 3 和 4，侧棱长为 12 的“堑堵”形石材，将之切削、打磨，加工成若干个相同的石球，并让石球的体积最大，则所剩余的石料体积为（ ）A 7
3、216 B 721 C 728 D 7268已知函数 cos30fx，将 fx的图象向右平移 个单位后所得图象关于点,04对称，将 f的图象向左平移 个单位后所得图象关于 y轴对称，则 的值不可能是（ ）A B 512 C 712 D 129在 C中，若 8， 边上中线长为 3，则 ABCur（ ）A-7 B7 C-28 D2810执行如图所示的程序框图，输出 s的值为（ ）A-1008 B-1010 C1009 D100711已知顶点在同一球面 O上的某三棱锥三视图中的正视图，俯视图如图所示若球 O的体积为 43，则图中的 a的值是（ ）A 352 B 2 C 354 D 2312若函数 s
4、inexgxm在区间 0,2有一个极大值和一个极小值，则实数 m的取值范围是（ ）A 2e, B 2, C52e,D 3e,第卷（共 90 分）二、填空题（每题 5 分，满分 20 分，将答案填在答题纸上）13若实数 ,xy满足,20,y，且 0,zmxny的最大值为 4，则 1mn的最小值为 14已知实数 ,xy满足 2sin1y，则 siyx的取值范围是 15直线 l与椭圆 :4相交于 ,PQ两点，若 OQ（ 为坐标原点），则以 O点为圆心且与直线 相切的圆方程为 16在 ABC中，若 222sin3isin3sinsiABABC，则角 三、解答题 （本大题共 6 小题，共 70 分解答应
5、写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17 设 nS为数列 na的前 项和，已知 0na， 1， 12,nnSa*N（）求证： 是等差数列；（）设 12nb，求数列 nb的前 项和 nT18 某地区某农产品近五年的产量统计如下表：（）根据表中数据，建立 y关于 t的线性回归方程 ybta，并由所建立的回归方程预测该地区 2018年该农产品的产量；（）若近五年该农产品每千克的价格 V（单位：元）与年产量 y（单位：万吨）满足的函数关系式为3.780Vy，且每年该农产品都能售完求年销售额 S最大时相应的年份代码 t的值，附：对于一组数据 ,1,2itnL，其回归直线 ybta的斜率和截距的计算公式：
6、12niiityb， aybt19 如图，在四棱锥 SABCD中，侧面 S为钝角三角形且垂直于底面 ABCD， S，点M是 SA的中点， ， 90， 12ABD.（）求证：平面 平面 ；（）若直线 与底面 所成的角为 60，求二面角 M余弦值20 过点 1,2D任作一直线交抛物线 24xy于 ,AB两点，过 ,两点分别作抛物线的切线 12,l（）记 l的交点 M的轨迹为 ，求 的方程；（）设 与直线 AB交于点 E（异于点 ,），且 1EDur， 2Bur问 12是否为定值？若为定值，请求出定值若不为定值，请说明理由.21 己知函数 1ln2fxmxR.（）求函数 f的单调区间；（）若函数 x
7、的最小值为-1， *N，数列 nb满足 1， 13nnbf*N，记12nnSbbL， t表示不超过 t的最大整数证明： 12iiS请考生在 22、23 两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分22选修 4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系 xOy中，以原点 为极点， x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 1C的方程为21xy，曲线 2C的参数方程为 cos1iny（ 为参数），曲线 3的方程为 tanyx，（0,02x），曲线 3C与曲线 12、 分别交于 ,PQ两点（）求曲线 12、 的极坐标方程；（）求 OPQ的取值范围23选修 4-5：不等式选讲已知函数 32fxax， 0
8、a（）当 1时，解不等式 1f；（）若关于 x的不等式 4x有解，求 的取值范围.2018 年南平市普通高中毕业班第二次综合质量检查考试理科数学试题参考答案及评分标准一、选择题1-5:CDCAD 6-10:CCBAC 11、12：BA二、填空题132 14 5,124 15 243xy 16 23三、解答题17（）证：当 n时， 1nnaS，代入已知得， 1S，所以 1 1nnn ，因为 0a，所以 10，所以 12,nSn*N，故 nS是等差数列；（）解：由（）知 S是以 1 为首项，1 为公差的等差数列，所以 n从而 2S，当 ,n*N时，121nna，又 1适合上式，所以 na所以 11
9、2nb0235nTL213nn1312 得， 1231nn L1n23 nL42n1142nn132nn18解：（）由题意可知： 235t， .657.65y，5120.410.3iity1.20.53252211it 12.3 021niiityb， 60.235.1aybt， y关于 t的线性回归方程为 .5.31yt；当 6时， 0.236519，即 2018 年该农产品的产量为 6.69 万吨（）当年产量为 y时，年销售额 33.7801Sy20.6y（万元），因为二次函数图像的对称轴为 6.3y，又因为 5.6,7.2,5y，所以当 6.2y时，即 2016 年销售额最大，于是 4t
10、.19（）证明：取 BC中点 E，连接 D，设 ABa， C，依题意得，四边形 A为正方形，且有 E， 2Da，所以 22D，所以 ，又平面 SC底面 B，平面 SCI底面 ABC， 底面 ABC，所以 平面 .又 B平面 M，所以平面 D平面（）过点 S作 的垂线，交 延长线于点 H，连接 ，因为平面 CD底面 AB，平面 SCI底面 ABCD， SH平面 ，所以 H底面 ，故 为斜线 在底面 AB内的射影，S为斜线 与底面 所成的角，即 60由（）得， 2a，所以在 RtS中， 2a， 2Ha， 62Sa，在 ADH中， 45， ADa， ，由余弦定理得 A，所以 22，从而 90H，过点
11、 作 FS ，所以 F底面 BC，所以 ,DBC两两垂直，如图，以点 D为坐标原点， Bur为 x轴正方向， DCur为 y轴正方向，ur为 z轴正方向建立空间直角坐标系，则 2,0Ba， ,20Ca， 26,Sa，2,0Aa， 26,44Maa，设平面 BD的法向量 ,nxyzr0nru得26044xyz取 1z得 3,12r，设平面 MCD的法向量 ,mxyzur0mur得026044xyz，取 1z得， 3,1r，所以 7cos, 24nmrur故所求的二面角 BMDC的余弦值为 7.20解（）设切点 1,Axy， 2,xy， 12,l交点 ,Mxy由题意得切线 的方程为 1，切线 B的
12、方程为 22xy，又因为点 ,M分别在直线 ,AB上，所以 11xy, 22xy则直线 AB的方程为 ，又因为点 1,2D在直线 AB上，所以 2xy，即切线交点 M的轨迹 的方程是 40xy.（）设点 0,E， 10,Axyur1ADxyur，因为 Dr，所以 1011,2xyxy，因此 1， 0，即 011x， 01y，又因为点 ,A在抛物线 24xy上，所以201014xy2 2100107xx（1）由于点 ,Ey在直线上，所以 04y，把此式代入（1）式并化简得： 2217x（2），同理由条件 2BDur可得： 20y（3），由（2），（3）得 1,是关于 的方程 2204x的两根，由
13、韦达定理得 20.即 12为定值.21解：（）函数 fx的定义域为 ,. 21mxfx1、当 m时， ，即 f在 0上为增函数；2、当 0时，令 fx得 m，即 fx在 ,上为增函数；同理可得 f在 ,上为减函数.（） x有最小值为-1， 由（）知函数 fx的最小值点为 xm，即 1fm，则 ln21m，令 l,g2当 1m时， 10，故 gm在 1,上是减函数所以当 时 g *N， .（未证明，直接得出不扣分）则 1ln1b.由 b得 2，从而 3l2. ln， 3b.猜想当 ,n*N时， .下面用数学归纳法证明猜想正确.1、当 3时，猜想正确.2、假设 ,nk*时，猜想正确.即 ,*N时，
14、 23kb.当 1nk时，有 1ln1kk，由（）知 lhx是 2,3上的增函数，则 23kb，即 14lnln3kb，由 15ln,l得 1k.综合 1、2 得：对一切 ,*N，猜想正确.即 3,*时， 23nb.于是， 1nb，则 1221nnSbbL.故 112niiiSi35 12n22解：（）因为 cosx， siny，所以曲线 1C的极坐标方程为22cosin1，即 22si由 1sixy（ 为参数），消去 ，即得曲线 2C直角坐标方程为 221xy将 cosx， siny，代入化简，可得曲线 2的极坐标方程为 2si（）曲线 3C的极坐标方程为 ， 0,2由（1）得 221sinOP， 224sinOQ即 228iQ281si因为 0，所以 0n，所以 2,4OP23解：（）当 1a时，即解不等式 1321xx当 1x时，不等式可化为 23，即 ，与 矛盾无解当 23时，不等式可化为 4x，即 0x，所以解得 03当 时，不等式可化为 21x，即 4x，所以解得 4综上所述，不等式的解集为 ,0（） 22,34,xaf xax因为函数 f在 2,3上单调递增，在 2,3上单调递减，所以当 x时， maxf不等式 4f有解等价于 ax243f，故 a的取值范围为 10,3
