1、第页 12019 届河北省唐山市高三 9 月摸底考试数学（理）试题（解析版）一、选择题：本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合 ， ，则 （ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】利用一元二次不等式的解法化简集合 ,由集合交集的定义可得结果.【详解】由一元二次不等式的解法可得集合 ，因为 ，所以 ,故选 A.【点睛】研究集合问题，一定要抓住元素，看元素应满足的属性.研究两集合的关系时，关键是将两集合的关系转化为元素间的关系，本题实质求满足属于集合 且属于集合 的元素的集合.2.设 ，则 （ ）A. B
2、. 2 C. D. 1【答案】D【解析】【分析】利用复数的除法运算法则：分子、分母同乘以分母的共轭复数，化简复数，从而可得结果.【详解】化简复数 ，则 ，故选 D.【点睛】复数是高考中的必考知识，主要考查复数的概念及复数的运算要注意对实部、虚部的理解，掌握纯虚数、共轭复数这些重要概念，复数的运算主要考查除法运算，通过分母实数化转化为复数的乘法，运算时特别要注意多项式相乘后的化简，防止简单问题出错，造成不必要的失分.3.等差数列 的前 项和为 ，若 ，则 （ ）第页 2A. 13 B. 26 C. 39 D. 52【答案】B【解析】【分析】利用等差数列的下标性质可得 ，结合等差数列的求和公式可得
3、结果.【详解】 ，故选 B.【点睛】本题主要考查等差数列性质的应用，等差数列求和公式的应用，意在考查综合应用所学知识解决问题的能力，属于简单题.4.随机变量服从正态分布 ，若 ， ，则 （ ）A. 3 B. 4 C. 5 D. 6【答案】B【解析】【分析】直接根据正态曲线的对称性求解即可.【详解】 ， ，即 ，故选 B.【点睛】本题主要考查正态分布与正态曲线的性质，属于中档题. 正态曲线的常见性质有：（1）正态曲线关于 对称，且 越大图象越靠近右边， 越小图象越靠近左边；（2）边 越小图象越“痩长” ，边 越大图象越“矮胖”;(3)正态分布区间上的概率，关于 对称，5. =A. B. C. D
4、. 【答案】D【解析】【分析】根据三角恒等变换的公式化简 ，即可求解.第页 3【详解】由题意，可知，故选 D.【点睛】本题主要考查了三角函数的化简求值问题，其中解答中熟记三角函数恒等变换的公式，合理作出运算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力.6.已知某几何体的三视图如图所示（俯视图中曲线为四二分之一圆弧） ，则该几何体的表面积为A. B. C. D. 4【答案】D【解析】【分析】由已知中的三视图可得该几何体是一个以俯视图为底面的柱体，代入柱体的表面公式，即可得到答案.【详解】由已知中的三视图可得该几何体是一个以俯视图为底面的柱体，底面面积为 ，底面周长为 ，柱体的高为 1，所以该柱体的表面
5、积为 .【点睛】本题考查了几何体的三视图及组合体的表面积的计算，在由三视图还原为空间几何体的实际形状时，要根据三视图的规则，空间几何体的可见轮廓线在三视图中为实线，不可见轮廓线在三视图中为虚线.求解以三视图为载体的空间几何体的表面积与体积的关键是由三视图确定直观图的形状以及直观图中线面的位置关系和数量关系，利用相应表面积与体积公式求解.7.设函数 ，则 （ ）A. 是奇函数，且在 上是增函数B. 是偶函数，且在 上是增函数C. 是奇函数，且在 上是减函数第页 4D. 是偶函数，且在 上是减函数【答案】A【解析】【分析】利用奇偶性的定义判断函数的奇偶性，利用单调性的定义判断单调性，结合选项可得结
6、果.【详解】，是奇函数；任取 ，则 ， ， 在 上递增，故选 A.【点睛】本题主要考查函数奇偶性的判断以及函数单调性的判断，属于中档题. 判断函数的奇偶性首先要看函数的定义域是否关于原点对称，如果不对称，既不是奇函数又不是偶函数，如果对称常见方法有：（1）直接法， (正为偶函数，负为减函数) ；（2）和差法， （和为零奇函数，差为零偶函数） ；（3）作商法， （ 为偶函数， 为奇函数）.8.已知 是两个单位向量， 时， 的最小值为 ，则 （ ）A. 1 B. C. 1 或 D. 2【答案】C【解析】【分析】由已知 ,当 有最小值，可得 ，从而可得 ，进而可得结果.【详解】,，即当 有最小值 ，
7、第页 5此时 ，而 ，即为 ，即为 1，故选 C.【点睛】本题主要考查向量的模及平面向量数量积公式，属于中档题.平面向量数量积公式有两种形式，一是 ，二是 ，主要应用以下几个方面:(1)求向量的夹角， （此时往往用坐标形式求解） ；（2）求投影， 在 上的投影是 ；（3） 向量垂直则 ;(4)求向量 的模（平方后需求 ）.9.已知程序框图如图所示，则该程序框图的功能是（ ）A. 求 的值B. 求 的值C. 求 的值D. 求 的值【答案】A【解析】【分析】第页 6模拟执行程序框图，只要按照程序框图规定的运算方法逐次计算，直到达到输出条件即可得到输出结果.【详解】输入 ，；，,退出循环，输出 ，故
8、选 A.【点睛】本题考查的是程序框图.对于算法与流程图的考查，一般会侧重于对流程图循环结构的考查.先明晰算法及流程图的相关概念，包括选择结构、循环结构、伪代码，其次要重视循环起点条件、循环次数、循环终止条件，更要通过循环规律，明确流程图研究的数学问题，是求和还是求项.10.已知椭圆 和双曲线 有相同的焦点 ，且离心率之积为 1， 为两曲线的一个交点，则 的形状为（ ）A. 锐角三角形 B. 直角三角形 C. 钝角三角形 D. 不能确定【答案】B【解析】【分析】由双曲线的焦点坐标以及双曲线的离心率求出椭圆的方程，利用双曲线与椭圆的定义求出 ，利用勾股定理可得结论【详解】 的焦点坐标为 ，离心率为
9、 ，椭圆 ， ，第页 7，得 ， ，为直角三角形，故选 B.【点睛】本题综合考查双曲线与椭圆的方程、双曲线与椭圆的离心率、双曲线与椭圆定义的应用，意在考查综合利用所学知识解决问题的能力，属于难题.11.已知函数 ， ，则 的所有零点之和等于（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】两角和的正弦公式以及二倍角公式化简 ,函数的两点就是方程或 的根，求出方程的根，即可得结果.【详解】,或 ，在 上的所有零点为 ，故选 C.【点睛】函数的性质问题以及函数零点问题是高考的高频考点，考生需要对初高中阶段学习的十几种初等函数的单调性、奇偶性、周期性以及对称性非常熟悉；另外，函数零点的几种等价
10、形式：函数的零点 函数 在 轴的交点 方程 的根 函数 与 的交点.12.已知三棱锥 的四个顶点都在半径为 3 的球面上， ，则该三棱锥体积的最大值是（ ）A. B. C. D. 32【答案】B【解析】第页 8【分析】设 ，则 ， 外接圆直径为 ， 体积最大值为，利用基本不等式，结合换元法，根据导数可得结果 .【详解】设 ，则 ，外接圆直径为 ，如图，体积最大值为，设 ，则 ，令 ，得 ，在 上递增，在 上递减，即该三棱锥体积的最大值是 ，故选 B.【点睛】本题主要考球的截面的性质棱锥的体积公式以及导数的应用，属于难题.球内接多面体问题是将多面体和旋转体相结合的题型，既能考查旋转体的对称形又能
11、考查多面体的各种位置关系，做题过程中主要注意以下两点：多面体每个面都分别在一个圆面上，圆心是多边形外接圆圆心；注意运用性质.二、填空题（每题 5 分，满分 20 分，将答案填在答题纸上）第页 913.已知 满足 ，则 的最大值为_.【答案】2【解析】【分析】由题意，画出约束条件所表示的平面区域，目标函数 ，化为 ，结合图象可知，直线过点 A 时，目标函数取得最大值，即可求解 .【详解】由题意，画出约束条件所表示的平面区域，如图所示，目标函数 ，化为 ，结合图象可知，直线 过点 A 时，目标函数取得最大值，由 ，解得 ，所以目标函数的最大值为 .【点睛】本题主要考查了利用简单的线性规划求最小值问
12、题，其中对于线性规划问题可分为三类:（1）简单线性规划，包括画出可行域和考查截距型目标函数的最值，有时考查斜率型或距离型目标函数；（2）线性规划逆向思维问题，给出最值或最优解个数求参数取值范围；（3）线性规划的实际应用，着重考查了考生的推理与运算能力，以及数形结合思想的应用.14.在 的展开式中， 的系数为 5，则实数的值为_【答案】【解析】【分析】先求出二项式展开式的通项公式，再令 的幂指数等于 4 ,求得的值，即可求得展幵式中 的系数,再根琚 的系数为 5，求得的值.【详解】 的展开式的通项公式为 ，令 ，求得 ,故展开式中 的系致为 ,第页 10则实数 ,故答案为 .【点睛】本题主要考查
13、二项展开式定理的通项与系数，属于简单题. 二项展开式定理的问题也是高考命题热点之一，关于二项式定理的命题方向比较明确，主要从以下几个方面命题：（1）考查二项展开式的通项公式 ；（可以考查某一项，也可考查某一项的系数） （2）考查各项系数和和各项的二项式系数和；（3）二项展开式定理的应用.15.已知直线 与圆 相交于 两点，则 的最小值为_【答案】【解析】【分析】先求得直线 过定点 ，判断 在圆内，利用圆的几何性质可得结果.【详解】 ，化为 ，直线过定点 ，在圆 内，当 是 中点时， 最小，由 得 ，圆心 ，半径 ，故答案为 .【点睛】本题主要考查椭圆的标准方程与简单性质以及直线过定点问题，判断
14、直线过定点主要形式有：（1）斜截式， ，直线过定点 ；（2）点斜式 直线过定点 .16. 的垂心 在其内部， ， ，则 的取值范围是_【答案】【解析】【分析】作 ， ， ，设 ，利用直角三角形的性质，将 表示为 ，利用辅助角公式，结合正弦函数的单调性可得结果.第页 11【详解】如图所示， ， ，设 ，因为所以 ， ，故答案为 .【点睛】求范围问题往往先将所求问题转化为函数问题，然后根据:配方法、换元法、不等式法、三角函数法、图象法、函数单调性法求解，求与三角函数有关的最值常用方法有以下几种：化成的形式利用配方法求最值； 形如 的可化为 的形式利用三角函数有界性求最值； 型，可化为 求最值 .三
15、、解答题 （本大题共 6 小题，共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17.已知数列 的前 项和 ， .（1）求 ；（2）若 ，且数列 的前 项和为 ，求 .第页 12【答案】 （1） ；（2） .【解析】【分析】（1）由已知可得， ， 所以 2，两式相减化为为，可得数列 是以 1 为首项，3 为公比的等比数列，从而可得结果；（2）结合（2）可得，利用错位相减法可得结果 .【详解】 （1）由已知可得，2S n3a n1， 所以 2Sn1 3a n1 1 （n2）， 得，2(S nS n1 )3a n3a n1 ，化简为 an3a n1 （n2） ，即 在中，令 n1 可得，
16、a 11， 所以数列a n是以 1 为首项，3 为公比的等比数列，从而有 an3 n1 （2）bn(n1)3 n1 ，Tn03 013 123 2(n1)3 n1 ， 则 3Tn03 1 13223 3( n1)3 n 得，2T n3 13 23 33 n1 ( n1)3 n， 所以，【点睛】 “错位相减法”求数列的和是重点也是难点，利用“错位相减法”求数列的和应注意以下几点：掌握运用 “错位相减法”求数列的和的条件（一个等差数列与一个等比数列的积） ；相减时注意最后一项 的符号；求和时注意项数别出错； 最后结果一定不能忘记等式两边同时除以 .18.甲、乙两位工人分别用两种不同工艺生产同一种零
17、件，已知尺寸在 （单位： ）内的零件为一等品，其余为二等品，测量甲乙当天生产零件尺寸的茎叶图如图所示：第页 13（1）从甲、乙两位工人当天所生产的零件中各随机抽取 1 个零件，求抽取的 2 个零件等级互不相同的概率；（2）从工人甲当天生产的零件中随机抽取 3 个零件，记这 3 个零件中一等品数量为 ，求 的分布列和数学期望.【答案】 （1） ；（2） .【解析】【分析】（1）由茎叶图可知，甲当天生产了 10 个零件，其中 4 个一等品，6 个二等品；乙当天生产了 10 个零件，其中 5 个一等品，5 个二等品，由古典概型概率公式可得结果； （2）从工人甲当天生产的零件中随机抽取 3个零件， 的
18、可能取值为 结合组合知识，利用古典概型概率公式求出各随机变量对应的概率，从而可得分布列，进而利用期望公式可得 的数学期望.【详解】 （1）由茎叶图可知，甲当天生产了 10 个零件，其中 4 个一等品，6 个二等品；乙当天生产了 10个零件，其中 5 个一等品，5 个二等品，所以，抽取的 2 个零件等级互不相同的概率 （2）X 可取 0，1，2，3 X 的分布列为0 1 2 3随机变量 X 的期望【点睛】本题主要考查古典概型概率公式以及离散型随机变量的分布列与数学期望，属于中档题. 求解数学期望问题，首先要正确理解题意，其次要准确无误的找出随机变量的所以可能值，计算出相应的概率，第页 14写出随
19、机变量的分布列，正确运用均值、方差的公式进行计算，也就是要过三关：（1）阅读理解关；（2）概率计算关；（3）公式应用关.19.在直角三角形 中， ， 为 的中点，以 为折痕将 折起，使点 到达点 的位置，且.（1）求证： 平面 ；（2）求 与平面 所成角的正弦值.【答案】 （1）证明见解析；（2） .【解析】【分析】（1）由等腰三角形的性质可得 ，结合 ，可得 平面 ，从而得 ，又 ，利用线面垂直的判断定理可得结果；（2）以 为坐标原点， 所在直线分别为 轴， 轴，轴，建立空间直角坐标系 ，求出 的方向向量，利用向量垂直数量积为零求出平面 的法向量，由空间向量夹角余弦公式可得结果.【详解】 （
20、1）直角三角形 ABC 中，ABBC2，D 为 AC 的中点，BDCD，又 PBCD，BDPBB，CD平面 PBD，CDPD，又 ADBD，PDBD又因为 BDCDD，PD平面 BCD （2）以 D 为坐标原点，DA，DB， DP 所在直线分别为 x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系 Dxyz，第页 15则,设平面 PBC 的法向量 n(x， y，z)，由 ,得 ,取 n(1 ，1， 1) 直线 PA 与平面 PBC 所成角的正弦值为 【点睛】利用法向量求解空间线面角的关键在于“四破”：第一，破“建系关” ，构建恰当的空间直角坐标系；第二，破“求坐标关” ，准确求解相关点的坐标；第三，破
21、“求法向量关” ，求出平面的法向量；第四，破“应用公式关”.20.斜率为 的直线与抛物线 交于 两点， 为坐标原点.（1）当 时，求 ；（2）若 ，且 ，求 .【答案】 （1）2；（2） .【解析】【分析】（1）由已知可得， ，两式相减化简可第页 16得直线的斜率 ；（2）先求得 ，由 ，可得 ，解得 ，从而可得结果.【详解】 （1）由已知可得，所以此时，直线 l 的斜率 （2）因为 OBl，所以又因为所以， 又由（1）可知，从而有，所以， 因为|AB|3| OB|，所以化简得，|k 32k| 3，解得，k1，所以，【点睛】本题主要考查直线与圆锥曲线的位置关系的相关问题，意在考查学生理解力、分
22、析判断能力以及综合利用所学知识解决问题能力和较强的运算求解能力，其常规思路是先把直线方程与圆锥曲线方程联立，消元、化简，然后应用根与系数的关系建立方程，解决相关问题涉及弦中点的问题常常用“点差法”解决，往往会更简单.21.已知函数 （ 且 ）.（1）当 时，曲线 与 相切，求 的值；（2）若 ，求的取值范围.第页 17【答案】 （1）1；（2） .【解析】【分析】（1）求得 ，设切点为 ，曲线 与 相切，得 ，解得 ，所以切点为 ，进而可得结果；（2）利用导数研究函数的单调性可得当 时， 取得最小值 ， 设，利用导数可得 ， 即 ，进而可得满足题设的的取值范围【详解】 （1）当 ae 时，所以
23、 设切点为(x 0，f(x0)，曲线 yf (x)与 ym 相切，得 f(x0)0，解得 x01，所以切点为（1， 1） 所以 m1 （2）依题意得 ，所以 从而 ae 因为 ，所以当 0xlna 时，f (x)0， f(x)单调递减；当 xlna 时， f(x)0，f (x)单调递增，所以当 xlna 时，f( x)取得最小值 设 g(x)elnxx，xe，则所以 g(x)在e ，)单调递减 ，从而 g(x)g(e)0，所以 elnxx 又 ae，所以 elnaa，从而 当且仅当 ae 时等号成立因为 lna1，所以 loga(lna)0，即综上，满足题设的 a 的取值范围为e，) 【点睛】
24、本题主要考查利用导数求切线斜率及利用第页 18导数研究不等式恒成立问题，属于难题. 应用导数的几何意义求切点处切线的斜率，主要体现在以下几个方面：(1) 已知切点 求斜率 ,即求该点处的导数 ；(2) 己知斜率 求切点 即解方程；(3) 巳知切线过某点 (不是切点) 求切点, 设出切点 利用 求解.请考生在 22、23 两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.选修 4-4：坐标系与参数方程22.在极坐标系中，曲线 的方程为 ，以极点 为原点，极轴为 轴正半轴建立直角坐标系 ，直线 （为参数， ）.（1）求曲线 的直角坐标方程；（2）设直线与曲线 相交于 两点， 求 的取值范围.【答
25、案】 （1） ；（2） .【解析】【分析】（1）利用两角和的正弦公式化简所给极坐标方程，利用互化公式可得曲线 的直角坐标方程；（2）将直线 l的参数方程代入 并整理得， ，根据直线参数方程的几何意义，结合韦达定理，由辅助角公式和三角函数的有界性可得结果.【详解】 （1）由 得，22 cos 2sin40所以 x2y 22x 2y40曲线 C 的直角坐标方程为(x1) 2( y1) 26 （2）将直线 l 的参数方程代入 x2y 22x2y40 并整理得，t22(sincos )t40，t1t 22(sincos )，t1t240因为 0，所以第页 19从而有所以|OA| OB|的取值范围是0，
26、 2 【点睛】本题主要考查直线的参数方程，以及极坐标方程化为直角坐标方程，属于中档题 . 利用关系式， 等可以把极坐标方程与直角坐标方程互化，这类问题一般我们可以先把曲线方程化为直角坐标方程，用直角坐标方程解决相应问题选修 4-5：不等式选讲23.已知 .（1）求不等式 的解集；（2）若 时，不等式 恒成立，求的取值范围.【答案】 （1） ；（2） .【解析】【分析】（1）由题意得 |，可得 ，整理可得 ，利用一元二次不等式的解法可得结果不；（2） ，将 写出分段函数形式，利用单调性可得 时， 取得最大值 1，所以的取值范围是 【详解】 （1）由题意得|x 1|2x1|, 所以|x1| 2|2x1| 2,整理可得 x22x 0，解得 0x 2，故原不等式的解集为x|0 x 2 （2）由已知可得，af(x )x 恒成立，设 g(x)f(x) x ，则 ,由 g(x)的单调性可知，x 时，g( x)取得最大值 1，所以 a 的取值范围是1，）【点睛】绝对值不等式的常见解法：利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合的思想；利用 “零点分段法”求解，体现了分类讨论的思想；第页 20通过构造函数，利用函数的图象求解，体现了函数与方程的思想；转化法 ，转化为一元二次不等式或对数、指数不等式.
