1、南阳一中 2018 届高三第二十次考试理数试题第卷（共 60 分）一、选择题：本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 若复数满足 ，其中为虚数单位，则共轭复数 （ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】分析：先由 求出复数的代数形式，再由共轭复数定义得到。详解：由 变形可得 ,所以 。故选 C.点睛：本题主要考查复数代数形式的四则运算，以及共轭复数的概念，属于基础题。2. 命题 ，命题 ，真命题的是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】分析：根据函数的有关性质，分别判断出命题 p,q 的真假，从而判断出复合
2、命题的真假即可得结果.详解：因为命题 p： 恒成立，故命题 p 为真命题；对于命题 q：当 时， ，从而得到 ，故命题 q 是假命题，根据复合命题真值表可知 是真命题，故选 C.点睛：该题考查的是有关判断命题真假的问题，在解题的过程中，注意首先判断命题 p,q 的真假，之后应用复合命题的真值表得到结果.3. 若 ，则 的值为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】分析：首先利用诱导公式以及余弦的倍角公式，将 转化为 ，之后将其代入求得结果.详解：因为 ，故选 A.点睛：该题考查的是有关三角函数化简求值的问题，在解题的过程中，涉及到的知识点有诱导公式，余弦的倍角公式，正确使用公式是解题的
3、关键.4. 某同学从家到学校途经两个红绿灯，从家到学校预计走到第一个红绿灯路口遇到红灯的概率为 ,两个红绿灯路口都遇到红灯的概率为 ，则在第一个路口遇到红灯的前提下，第二个路口也遇到红灯的概率为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】设“第一个路口遇见红灯”为事件 ， “第二个路口遇见红灯”为事件 ，则故选5. 已知 成等差数列， 成等比数列，则椭圆 的离心率为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】分析：利用 成等差数列， 成等比数列，推出 的关系，然后求解椭圆的离心率，从而求得结果.详解：由题意 成等差数列，知 ，所以 ，成等比数列，则 ，所以 ，所以 ，所以 ，所以 ，又
4、椭圆 ，所以 ，从而有 ，所以 ，故选 A.点睛：该题考查的是有关椭圆的离心率的问题，在解题的过程中，涉及到的知识点有等差数列的性质，等比数列的性质，以及椭圆的离心率的求解问题，属于简单题目.6. 执行如图所示的程序框图，若输入 ,输出的 ，则空白判断框内应填的条件可能是（ ）A. ？ B. ？C. ？ D. ？【答案】B【解析】分析：将题中所给的程序框图模拟运行，逐步运算，结合题的条件，明确循环几次，到什么程度就会结束，从而利用相关的条件，得到其满足的式子，从而求得结果.详解：当第一次执行， ， ，返回；第二次执行， ， ， ，返回；第三次执行， ， ， ，要输出 x，故满足判断框，此时 ，
5、故选 B.点睛：该题考查的是有关程序框图的问题，涉及到的知识点是补全程序框图，在解题的过程中，注意对框图进行模拟运行，结合题的条件，求得结果.7. 在 中， ， ， ，若 ， ，且 ，则的值为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】分析：根据 得 ，利用 以及向量的数量积建立关于的等量关系式，从而求得结果.详解：由 ，得 ，所以，又因为 ， ，所以 ，解得 ，故选 B.点睛：该题考查的是有关向量的数量积的问题，在解题的过程中，还可以有另一种解法，建立相应的坐标系，将向量坐标化，利用向量数量积的坐标公式求得结果.8. 设 ，函数 的图象向右平移 个单位后与原图像重合，则 的最小值是（ ）
6、A. B. C. D. 【答案】C【解析】函数 的图象向右平移 个单位后 所以有 故选 C9. 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】几何体如图所示，它是边长为 1 的正方体割去一个角（沿面对角线割开） ，再补上一个三棱锥(可看成前面割下的角)，其底面是腰长为 1 的等腰直角三角形，高也为 1，该几何体的体积为，选 D.10. 已知二项式 ，则展开式的常数项为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】分析：首先将式子中的三项中将后两项看作一个整体，之后借助于二项式定理将其展开，对式子进行分析，得到常数项所出现的位置，合并求得结果.详解
7、：因为 ，因为 和 的展开式中没有常数项，展开式中的常数项是 ， 展开式中的常数项是 ，所以二项式 展开式的常数项为 ，故选 D.点睛：该题考查的是有关展开式中常数项的值的问题，在解题的过程中，需要将某两项当作一个整体，之后对式子进行分析，得到常数项可能出现的位置，之后合并，从而求得结果.11. 如图，在四棱锥 中，顶点 在底面的投影 恰为正方形 的中心且 ，设点 分别为线段 上的动点，已知当 取得最小值时，动点 恰为 的中点，则该四棱锥的外接球的表面积为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】分析：首先将对应的线段转化到一个平面图形内解决，根据条件，得到正棱锥的侧棱长，之后借助于正棱
8、锥的外接球的球心的位置，列出相应的式子，求得其半径，之后应用表面积公式求得结果.详解：根据正四棱锥的性质，将点取在 上，根据题意，有当点 M 取在边 时，有 ，从而有 ，所以有 ，所以该四棱锥的外接球的球心落在 上，设其外接球的半径为 ，则有 ，解得 ，所以其外接球的表面积为 ，故选 A.点睛：该题考查的是有关正棱锥的外接球的表面积的求解问题，在解题的过程中，需要明确球的半径，结合正四棱锥的外接球的球心的位置，得到其满足的条件，利用相关公式求得结果.12. 已知函数 ，若有且仅有两个整数 ，使得 ，则的取值范围为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】分析：数 ，若有且仅有两个整数 ，
9、使得 ，等价于有两个整数解，构造函数 ，利用导数判断函数的极值点在 ，由零点存在定理，列不等式组，从而可得结果详解：因为所以 函数 ，若有且仅有两个整数 ，使得 ，等价于 有两个整数解，设 ，令 ，令 恒成立， 单调递减，又 ， 存在 ，使 递增， 递减，若 解集中的整数恰为 个，则 是解集中的 个整数，故只需 ，故选 B.点睛：本题主要考查不等式有解问题以及方程根的个数问题，属于难题.不等式有解问题不能只局限于判别式是否为正，不但可以利用一元二次方程根的分布解题，还可以转化为 有解（ 即可）或转化为 有解（ 即可）,另外，也可以结合零点存在定理，列不等式（组）求解.第卷（共 90 分）二、填
10、空题（每题 5 分，满分 20 分，将答案填在答题纸上）13. 若函数 为偶函数，则 _【答案】 或【解析】分析：根据函数 为偶函数，观察其特征，可得 为奇函数，结合奇函数的特征，若奇函数在 0 点有定义，可得一定有 ，得到相应的关系式，求得结果.详解：令 ，根据函数 为偶函数，可知 为奇函数，利用 ，可得 ，所以 或 .点睛：该题考查的是根据函数的奇偶性判断求解参数的值的问题，在解题的过程中，注意对两个奇函数的乘积为偶函数的性质的灵活应用，再者就是零点有定义的奇函数一定有 0 所对的函数值为 0，得到等量关系式求得结果，也可以应用定义进行求解.14. 已知双曲线 的离心率为 ，左焦点为 ，当
11、点 在双曲线右支上运动、点 在圆 上运动时，则 的最小值为_【答案】【解析】依题意可知 a=1,b= ,设 B(0,1),由 得,问题转化为求点 到圆 B 上点的最小值 ,即,故 故答案为： .15. 若 满足 ，则 的最大值为_【答案】【解析】作可行域，则直线 过点 A(3,3)时取最大值 9.16. 已知 为锐角 的外心， ，若 ，且 ，记，则 的大小关系为_【答案】【解析】分析：首先根据题中的条件，利用向量的平方，结合三角形外心所满足的条件，得到其对应的结果，利用向量的数量积的定义式，得到对应的式子，求得三角形外接圆的半径，结合正弦定理得到对应的结果.详解：若 ，则 ，由于 O 为锐角
12、的外心，所以 D,E 为边的中点， 分别是两边的中垂线，同样地 ，所以 ，所以 ，根据正弦定理，可得，所以有 ，从而得到 ，从而得到 ，进一步求得 ，从而可求得 ，之后借助于余弦函数的单调性得到结果，从而可以求得 .点睛：该题考查的是有关向量的数量积的大小关系的问题，在解题的过程中，涉及到的知识点有向量的数量积的定义式，正弦定理，余弦函数的单调性，正确应用结论，求得结果.三、解答题 （本大题共 6 小题，共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17. 各项均为正数的数列 的前 项和为 ，满足 ，各项均为正数的等比数列 满足（1）求数列 的通项公式；（2）若 ，数列 的前 项和
13、 ，求 .【答案】(1) ；(2) .【解析】分析：（1）利用已知条件转化求解数列 是等差数列，求解其通项公式，利用等比数列求数列的通项公式；（2）化简 ，利用错位相减法求解数列 的前 项和 .详解：（1） 又各项为正 为公差为 的等差数列（2）点睛：该题考查的是有关数列的问题，涉及到的知识点有数列项与和的关系，利用数列的递推公式求其通项公式，等比数列的通项公式，错位相减法求和，在解题的过程中，正确使用公式是解题的关键.18. 如图，在三棱柱 中，侧面为 菱形， ，（1）求证：平面 平面 ，（2）若 ， ， ，求异面直线 与 所成角的余弦值.【答案】(1)证明见解析；(2) .【解析】分析：（
14、1）根据菱形的性质，得到 ，结合题中所给的线线垂直的条件，利用线面垂直的判定定理证得 底面 ，之后借助于面面垂直的判定定理证得结果；（2）根据题中所给的相关条件，结合异面直线所成角的概念，利用余弦定理求得结果.详解：（1）证明：四边形 为菱形， 平面 ， 底面 . 平面 ，平面 平面 .（2）解：连接 ，四边形 为菱形， 为 的中点.在菱形 中， 为等边三角形, ，即平面 平面 面 垂直平分 ， 是异面直线 与 所成角（或其补角）在 中， ，异面直线 与 所成角的余弦值为点睛：该题考查的是有关立体几何的问题，在解题的过程中，涉及到的知识点有线面垂直的判定，面面垂直的判定，异面直线所成角的概念，
15、余弦定理求角的余弦值，属于中档题目.19. 某工厂每日生产一种产品 吨，每日生产的产品当日销售完毕，日销售额为 万元，产品价格随着产量变化而有所变化，经过段时间的产销， 得到了 的一组统计数据如下表:日产量 1 2 3 4 5日销售量 5 12 16 19 21（1）请判断 与 中，哪个模型更适合到画 之间的关系？可从函数增长趋势方面给出简单的理由；（2）根据你的判断及下面的数据和公式，求出 关于 的回归方程，并估计当日产量 时，日销售额是多少?参考数据： ，线性回归方程 中， ， ，【答案】(1)答案见解析；(2)答案见解析.【解析】分析：（1）根据函数增长的规律，分析可以得到 更适合刻画
16、间的关系；（2）利用有关公式，结合题中所给的条件，求得结果.详解：（1） 更适合刻画 之间的关系， 理由如下: 值每增加 ，函数值的增加量分别为 ，增加得越来越缓慢，适合对数型函数的增长规律，与直线型函数的均匀增长存在较大差异，故 更适合刻画 间的关系.（2）令 ，计算知所以.所以所求的回归方程为当 时，销售额为 (万元) 点睛：该题考查的是有关回归分析的问题，在解题的过程中，注意对题意进行分析，对知识点正确理解，对公式的正确使用.20. 如图，设抛物线 的准线与 轴交于椭圆 的右焦点 ， 为左焦点，椭圆的离心率为 ，抛物线 与椭圆 交于 轴上方一点 ，连接 并延长 交 于点 为 上一动点，且
17、在 之间移动.（1）当 取最小值时，求 和 的方程；（2）若 的边长恰好是三个连接的自然数，求 面积的最大值.【答案】(1) ， .(2) .【解析】分析：（1）用 表示出 ，根据基本不等式得出 的值，从而得出 的方程；（2）用 表示出椭圆的方程，联立方程组得出 P 点坐标，计算出 的三边关于 的式子，从而确定 的值，求出 的距离和 M 到直线 PQ 的距离，利用二次函数性质得出三角形面积的最大值 .详解：（1）因为 ， ，则 ， ，所以 取最小值时 ，此时抛物线 ，此时 ，所以椭圆 的方程为 .（2）因为 ， ，则 ， ，设椭圆的标准方程为 ， ， ，由 ，得 ，所以 或 （舍去） ，代入抛
18、物线方程得 ，即 ，于是 ， ，又 的边长恰好是三个连续的自然数，所以 ，此时抛物线方程为 ，则直线 的方程为 ，联立 ，得 或 （舍去）于是 .所以 ，设 到直线 的距离为 ，则当 时， ，所以 的面积最大值为 .点睛：该题考查的是有关解析几何的问题，涉及到的知识点有基本不等式求最值，曲线方程的求解，有关面积的最值，注意相关公式的正确使用.21. 已知函数 .（1）当 时， 恒成立，求实数 的取值范围；（2）证明：当 时，函数 有最小值，设 最小值为 ，求函数 的值域.【答案】(1) ；(2)答案见解析.【解析】分析：分析题意，该题可借助于利用导数求函数的单调性和最值的方法进行解答，对于.
19、详解：（1）因为 对 恒成立，等价于 对 恒成立，设得 ，故 在 上单调递增，当 时，由上知 ，所以 ，即 .所以实数 的取值范围为 ；（2）对 求导得记 由（1）知 在区间 内单调递增，又 ，所以存在唯一正实数 ，使得 ，当 时， ，函数 在区间 单调递减；时， ，函数 在区间 单调递增；所以 在 内有最小值，有题设即 ，又因为 ，所以根据（1）知， 在 内单调递增， ，所以 ，令 ，则 ，函数 在区间 内单调递增，所以 ，即函数 的值域为 .点睛：该题考查的是有关应用导数研究函数的问题，在求解的过程中，注意恒成立问题的处理方式，构造新函数，应用导数研究函数的单调性，从而求得函数的最值，进一
20、步求解即可得结果.请考生在 22、23 两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22. 在直角坐标系 中，曲线 过点 ，其参数方程为 ，(为参数)。以坐标原点 为极点， 轴的非负半轴为极轴，建立极坐标系，曲线 的极坐标方程为 .（1）求曲线 的普通方程和曲线 的直角坐标方程；（2）若曲线 与 相交于 两点，求 的值。【答案】(1) 的普通方程为 ， 的直角坐标方程为 ；(2) .【解析】分析：（1）将参数方程消参，得到曲线 的普通方程，利用极坐标与直角坐标之间的转换关系，求得曲线 的平面直角坐标方程；（2）将直线的参数方程代入曲线的方程，化简得到关于的方程，利用韦达定理，求得 的值
21、，根据直线参数方程中参数的几何意义，可知 ，之后化为关于其和与积的关系求得结果.详解：（1）由 （为参数）可得 的普通方程为 ，又 的极坐标方程为 ，即所以 的直角坐标方程为 ,（2） 的参数过程可化为 （为参数） ，代入 得： ，设 对应的直线 的参数分别为 ，所以 ，所以 .点睛：该题考查的是有关参数方程与极坐标的问题，涉及到的知识点有参数方程与普通方程的互化，极坐标方程与平面直角坐标方程的转化，直线的参数方程中参数的几何意义，之后借助于韦达定理求得结果.23. 已知函数 ，其中 .（1）当 时，求不等式 的解集；（2）已知关于 的不等式 的解集为 ，求的值.【答案】(1) 或 ；(2) .【解析】试题分析：（）利用零点分段法求解；（）记 ，用零点分段法写出 的解析式，然后由解集的端点值求得的值试题解析：（）当 时，当 时，由 得 ，解得 ，当 时， 无解，当 时，由 得 ，解得 ，所以 的解集是 ，（）记 ，则由 解得 ，又已知 的解集为 ，所以 于是 考点：绝对值不等式的解法
