1、天津一中 2017-2018 高三年级五月考数学试卷（理）一、选择题：1. 已知集合 ， ，则 （ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】分析：先求出 B 集合，再根据交集定义即可得结论.详解：由题得 ，故 ，选 D点睛：考查集合的交集基本运算，属于基础题.2. 已知实数 ， 满足不等式组 ，则 的最小值是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】分析：作出不等式组对应的平面区域，设 z=x2+y2则 z 的几何意义为区域内的点到原点的距离的平方，利用数形结合即可得到结论详解：作出不等式组对应的平面区域如图：设 z=x2+y2则 z 的几何意义为区域内的点到原点的距离的平方，由图象
2、知圆心到直线 x+y-3=0 的距离最短，此时 d= ，则 z=d2=故选：B点睛：本题主要考查线性规划的应用，利用两点间的距离公式以及利用数形结合是解决本题的关键3. 执行如图所示的程序框图，则输出 的值为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】试题分析：第一次循环： ,第二次循环： ，第三次循环： ,第四次循环： ,第五次循环： ,第六次循环： ,第七次循环： ,第八次循环： ,此时 ，结束循环，输出 ，选 A.考点：循环结构流程图4. 已知数列 是等差数列， ， ， 为正整数，则“ ”是“ ”的（ ）A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件C. 充要条件 D. 既不充分也不必要
3、条件【答案】A【解析】若 ，则 ，即 ，若“ ”则 时， 时， ，不一定成立， “ ”是“ ”的充分不必要条件，故选 A.5. 已知圆 ： 与双曲线 的一条渐近线相切，则双曲线的离心率为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】分析：先根据双曲线方程求得双曲线的渐近线，进而利用圆心到渐近线的距离为圆的半径求得 a和 b 的关系，进而利用 c2=a2+b2求得 a 和 c 的关系详解：圆 C：x2+y2+2x+2 y+10 的标方准程为（x+1 ）2+（y+ ）2=3，圆心坐标为（-1 ，- ） ，半径为 双曲线一条渐近线为 bx-ay=0 与圆相切，圆心到渐近线的距离为 ，求得a= b，
4、c2=a2+b2=4b2，e=故选：B点睛：本题主要考查了双曲线的简单性质，直线与圆的位置关系，点到直线的距离公式等考查了学生数形结合的思想的运用6. 设 ，函数 的图象向右平移 个单位长度后与函数 图象重合，则 的最小值是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】函数 的图象向右平移 个单位长度后，得到 与函数图象重合，则： ，解得： ，当 时， ，故选 C.7. 设定义在 上的函数 ，满足 ， 为奇函数，且 ，则不等式的解集为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】分析：构造函数 g（x）=exf（x）+ex，（xR） ，求函数的导数，研究 g（x）的单调性，将不等式进行转化
5、求解即可详解：设 g（x）=exf（x）-ex，（xR） ，则 g（x）=exf（x）+exf（x）-ex=exf（x）+f（x）-1，f（x）+f（x）1， f（x）+f（x）+10，g （x）0， y=g（x）在定义域上单调递增，不等式 ln（f（x）-1）ln2-x 等价为不等式 lnf（x）-1+xln2，即为 lnf（x）-1+lnexln2，即 ex（f（x）-1）2，则 exf（x）-ex2， y=f（x）-3 为奇函数，当 x=0 时，y=0，即f（0）-3=0，得 f（0）=3，又g（0）=e 0f（0）-e0=3-1=2，exf（x）-ex2 等价为 g（x）g（0）， x
6、0，不等式的解集为（0，+ ），故选：D点睛：本题考查函数的导数与单调性的结合，结合已知条件构造函数，然后用导数判断函数的单调性是解题的关键，综合性较强，有一定的难度8. 将数字“ ”重新排列后得到不同的偶数个数为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】分析：根据题意，按偶数的个位数字分 3 种情况讨论，个位数字为 0，个位数字为2，个位数字为 4，分别求出每种情况下偶数的数目，由加法原理计算可得答案详解：根据题意，分 3 种情况讨论：，个位数字为 0，在前面 5 个数位中任选 2 个，安排 2 个数字 4，有 C52=10 种情况，将剩下的 3 个数字全排列，安排在其他的数位，有 A
7、33=6 种情况，则此时有 106=60 个偶数，个位数字为 2，0 不能在首位，有 4 种情况，在剩下的 4 个数位中任选 2 个，安排 2 个数字 4，有 C42=6 种情况，将剩下的 2 个数字全排列，安排在其他的数位，有 A22=2 种情况，则此时有 462=48 个偶数，个位数字为 4，0 不能在首位，有 4 种情况，将剩下的 4 个数字全排列，安排在其他的数位，有 A44=24 种情况，则此时有 424=96 个偶数，则有 60+48+96=2204 个偶数；故选：C点睛：本题考查排列、组合的应用，注意按偶数的定义进行分类讨论是解题关键二、填空题：9. 设复数满足 ，则 _【答案】
8、【解析】分析：根据条件先将 z 的表达式求出，再结合复数的四则运算即可.详解：点睛：考查复数的计算，属于基础题.10. 已知二项式 的展开式的二项式系数之和为 ，则展开式中含 项的系数是_【答案】【解析】试题分析：由题意可得： ，所以 ，令 ，所以展开式中含 项的系数是 10.考点：二项式定理.11. 在极坐标系中，直线： 与圆 ： ，则直线被圆 截得的弦长为_【答案】【解析】分析：求出直线 l 的普通方程和圆 C 的直角坐标方程，得到圆 C 的圆心 C（0，1） ，半径 r=1，求出圆心 C（0，1）到直线 l 的距离 d= ，直线 l 被圆 C 截得的弦长为：2 ，由此能求出结果详解：直线
9、 l：4cos（- ）+1=0，即 4coscos +4sinsin +1=0，即 2 cos+2sin+1=0，直线 l 的普通方程为 2 x+2y+10， 圆 C：=2sin，即 2=2sin，圆 C 的直角坐标方程为 x2+y2-2y=0，圆 C的圆心 C（0，1） ，半径 r=1，圆心 C（0，1）到直线 l 的距离 d= ，直线 l 被圆 C 截得的弦长为：2 = 故答案为：点睛：本题考查弦长的求法，考查极坐标方程、参数方程、直角坐标方程的互化等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题12. 如图，在 中，已知 ， ， ， ， ，则_【答案】【解析】分析：根据题意，由
10、向量的三角形法则可得 ，变形可得 ，进而由数量积的计算公式计算可得答案详解：根据题意，在ABC 中， 故答案为点睛：本题考查向量数量积的计算，涉及向量的加减运算，关键是掌握向量数量积的计算公式13. 已知点 在椭圆 上运动，则 最小值是_【答案】【解析】分析：由题意可得 x2+2y2=3 即 x2=3-2y2，则利用基本不等式可求最小值详解：点 P（x，y）在椭圆 x2+2y2=3 上运动，x 2+2y2=3 即 x2=3-2y2则 即所求的最小值为 ，故答案为点睛：本题主要考查了利用椭圆的方程，利用基本不等式求解最小值，解题的关键是利用了的代换，从而把所求的式子变形为积为定值的形式.14.
11、已知函数 ， ，若方程 有且只有三个不同的实数根，则实数的取值范围是_【答案】【解析】分析：根据函数与方程之间的关系，将条件转化为 ，构造函数 h（x） ，利用数形结合进行求解即可详解：由 f（x）=1 得 即 ，设 h（x）=|x-a|+a，g（x）= ，h（x）=|x-a|+a 的顶点（a，a）在 y=x 上，而 y=x 与 g（x）的交点坐标为（2，2）， （-1，-1），联立 ，可得 x2+（1-2a）x+2=0由= （1-2a）2-8=0，解得 由图可知，要使方程 f（x）=1 有且只有三个不同的实数根，则实数 a 的取值范围是 ，答案为.点睛：本题主要考查函数与方程的应用，利用转化
12、法和数形结合法，转化为两个函数的交点问题是解决本题的关键综合性较强，有一定的难度三、解答题： 15. 某商场举行有奖促销活动，顾客购买一定金额的商品后即可抽奖，每次抽奖都是从装有 个红球、 个白球的甲箱和装有 个红球、 个白球的乙箱中，各随机摸出一个球，在摸出的 个球中，若都是红球，则获得一等奖；若只有 个红球，则获得二等奖；若没有红球，则不获奖.（1）求顾客抽奖 次能获奖的概率；（2）若某顾客有 次抽奖机会，记该顾客在 次抽奖中获一等奖的次数为，求的分布列和数学期望.【答案】(1) ；(2)答案见解析.【解析】分析：（1）间接法计算中奖概率；（2）根据二项分布的概率公式计算 X 的各种取值对
13、应的概率，得出分布列即数学期望详解：（1）设顾客抽奖 次能中奖的概率为 ，.（2）设该顾客在一次抽奖中或一等奖的概率为 ， ， .， ， ，故 的分布列为数学期望 .点睛：本题考查了古典概型的概率计算，离散型随机变量的分布列，对二项分布的正确判断是解该题的关键，属于中档题16. 的内角 、 、 的对边分别为、 、 ，已知 .（1）求 ；（2）如图， 为 外一点，若在平面四边形 中， ，且 ， ， ，求的长.【答案】(1) ；(2) .【解析】分析：（1）直接利用三角函数关系式的恒等变换和正弦定理求出 cosB 的值（2）利用（1）的结论，进一步利用余弦定理求出结果详解：（1）在 中，由正弦定理
14、得，又 ，所以 ，故 ，所以 ，又 ，所以 ，故 .（2） ， ，又在 中， ， ，由余弦定理可得 ， ，在 中， ， ， ，由余弦定理可得 ，即 ，化简得 ，解得 .故 的长为 .点睛：本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，正弦定理和余弦定理的应用对公式灵活运用与结合是解题关键.17. 如图，在四棱锥 中， 为等边三角形， ， ，且 ， ， 为 中点.（1）求证：平面 平面 ；（2）若线段 上存在点 ，使得二面角 的大小为 ，求 的值；（3）在（2）的条件下，求点 到平面 的距离.【答案】(1)证明见解析；(2) ；(3) .【解析】分析：（1）证明 PEAD，PEBE，即可证明 P
15、E平面 ABCD，从而证明平面 PAD平面ABCD；（2）建立空间直角坐标系，利用坐标表示向量，求出平面 EBQ 和平面 EBC 的法向量，由此表示二面角 Q-BE-C，求出 的值；（3）利用 在平面 EBQ 法向量上的投影，求出点 C 到平面 QEB 的距离（1）证明：连接 ， ， 是等边三角形， 为 中点， ，又 ， ， ， ，且 ，四边形 为矩形， ， ， ， ，又 ， 平面 ，又 平面 ，平面 平面 .（2）如图建系， ， ， ， ， ，设 ， ， ，设平面 的法向量为 ， ， ，平面 的法向量不妨设为 ， ， ， 或 （舍） ， .（3） .点睛：本题考查了空间中的平行与垂直关系应用
16、问题，对判定定理的深刻理解和空间向量的坐标计算准确是解题关键，也考查了距离与夹角的计算问题，是综合题18. 已知数列 中， ， .（1）求证：数列 是等比数列；（2）求数列 的前 项和 ，并求满足 的所有正整数 .【答案】(1)证明见解析；(2)答案见解析.【解析】分析：（1）设 ，推导出 ，由此能证明数列 是等比数列；（2）推导出 ，由 ，得 ， ，从而由此能求出满足 Sn0 的所有正整数 n 的值（1）设 ，因为 ，所以数列 是以 即 为首项，以 为公比的等比数列.（2）由（1）得 ，即 ，由 ，得 ，所以 ，显然当 时， 单调递减，又当 时， ，当 时， ，所以当 时， ；，同理，当且仅
17、当 时， ，综上，满足 的所有正整数 为 和 .点睛：本题考查等比数列的证明，考查满足数列的前 n 项和的正整数的最大值的求法，考查等比数列、分组求和法等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题19. 已知椭圆 ： 的左、右焦点与其短轴的一个端点是等边三角形的三个顶点，点在椭圆上，直线 与椭圆交于 ， 两点，与 轴， 轴分别交于点 ， ，且 ，点 是点 关于 轴的对称点， 的延长线交椭圆于点 ，过点 ， 分别作 轴的垂线，垂足分别为 ， .（1）求椭圆 的方程；（2）是否存在直线，使得点 平分线段 ？若存在，求出直线的方程，若不存在请说明理由.【答案】(1) ；(2)答案见解析
18、.【解析】试题分析: (1)由正三角形的高与边长的关系可求出 ,再由点 在椭圆上,可求出 的值,从而求出椭圆方程; (2)假设存在,由直线方程可求出 点的坐标,由已知条件可求出 点的坐标,设 联立直线与椭圆的方程,消去 ,得到关于 的一元二次方程,由韦达定理可求出的表达式以及直线 的斜率,联立直线 与椭圆方程,可求出 的表达式,进而求出的表达式, 由 平分线段 ，求出 的值,得出直线方程. . . . . . . . .试题解析:（1）由题意知 ，即 ， ，即 , 在椭圆上， ，所以椭圆 方程为 .（2）存在设 ， , ，联立 若 平分线段 ，则即 ， ， 把，代入，得所以直线的方程为 或点睛
19、:本题主要考查了椭圆的方程以及直线与椭圆的位置关系,属于中档题.第一问求椭圆方程很容易,大部分学生能做对; 在第二问中,假设存在, 当点 平分线段 , 点为 的中点,利用中点坐标公式,求出的值,得出直线方程.注意本题涉及的点线位置关系比较复杂,容易弄错.20. 已知函数 ， .（1）当 时，求函数 的单调区间和极值；（2）若对于任意 ，都有 成立，求实数 的取值范围；（3）若 ，且 ，证明： .【答案】(1)答案见解析；(2) ；(3)证明见解析.【解析】试题分析：（1）由题意 x0， 由此根据 k0，k0 利用导数性质分类讨论，能求出函数 f（x）的单调区间和极值（2）问题转化为 ，对于 x
20、e，e 2恒成立，令 ，则 ，令，由此利用导数性质能求出实数 k 的取值范围（3）设 ，则 ，要证 ，只要证 ，即证 ，由此利用导数性质能证明 .试题解析：（1） ， 时，因为 ，所以 ，函数 的单调递增区间是 ，无单调递减区间，无极值； 当 时，令 ，解得 ，当 时， ；当 ， 所以函数 的单调递减区间是 ，单调递增区间是 ， 在区间 上的极小值为 ，无极大值 （2）由题意， ，即问题转化为 对于 恒成立，即 对于 恒成立， 令 ，则 ，令 ，则 ，所以 在区间 上单调递增，故 ，故 ，所以 在区间 上单调递增，函数 要使 对于 恒成立，只要 ，所以 ，即实数 k 的取值范围为 （3）证法 1 因为 ，由（1）知，函数 在区间 上单调递减，在区间 上单调递增，且 不妨设 ，则 ，要证 ，只要证 ，即证 因为 在区间 上单调递增，所以 ，又 ，即证 ， 构造函数 ，即 ， ，因为 ，所以 ，即 ，所以函数 在区间 上单调递增，故 ，而 ，故 ， 所以 ，即 ，所以 成立 证法 2 要证 成立，只要证： . 因为 ，且 ，所以 ，即 ， ，即 ，同理 ，从而 ， 要证 ，只要证 ，令不妨设 ，则 ，即证 ，即证 ，即证 对 恒成立， 设 ， ，所以 在 单调递增， ，得证，所以 .
