2018年浙江省绍兴市上虞区高三上学期期末质量检测数学试题（PDF版，有答案）.rar

高 三 数 学 第 1页 共 4页2017 学 年 第 一 学 期 高 三 期 末 教 学 质 量 调 测数 学 试 卷参 考 公 式 ：球 的 表 面 积 公 式 24S R ； 球 的 体 积 公 式 343V R ， 其 中 R 表 示 球 的 半 径 .第 Ⅰ 卷 （ 选 择 题 共 40 分 ）一 、 选 择 题 ： 本 大 题 共 10 小 题 ， 每 小 题 4 分 ， 共 40 分 . 在 每 小 题 给 出 的 四 个 选 项 中 ， 只 有一 项 是 符 合 题 目 要 求 的 .1 ． 已 知 全 集 U R ， 集 合  1,0,1,2A  ，  3 1B x R x     ， 则  BCA UA. 1 B．  1,2 C．  1,0 D．  2, 1,0 2． 已 知 aR ， 那 么 “ 1a ”是 “ln 1a  ”的A. 充 分 不 必 要 条 件 B． 必 要 不 充 分 条 件C． 充 分 必 要 条 件 D． 既 不 充 分 也 不 必 要 条 件3． 复 数 41(1 )i （ i是 虚 数 单 位 ） 的 值 是A. 4i B． 4i C． 4 D． 44． 设 , ,   是 三 个 不 重 合 的 平 面 ， ,m n 是 两 条 不 重 合 的 直 线 ， 给 出 下 列 四 个 命 题 ：① 若 m  ， n∥  ， 则 m n ； ②  ∥  ，  ∥  ， m  ， 则 m ③ 若 / / , / /m n  ， 则 / /m n； ④   ，   ， 则  ∥  .其 中 正 确 命 题 的 序 号 是A.① 和 ② B.② 和 ③ C.③ 和 ④ D.① 和 ④5． 《 九 章 算 术 》 中 ， 将 底 面 是 直 角 三 角 形 的 直 三 棱 柱 称 之 为 “堑 堵 ”，已 知 某 “堑 堵 ”的 三 视 图 如 图 所 示 ， 俯 视 图 中 虚 线 平 分 矩 形 的 面积 ， 则 该 “堑 堵 ”的 侧 面 积 为A. 2 B. 4 2 2 C. 4 4 2 D. 4 6 2高 三 数 学 第 2页 共 4页6． 在 双 曲 线 2 22 2 1( 0, 0)x y a ba b    上 存 在 着 一 点 A， 过 A作 ,x y 轴 的 垂 线 交 双 曲 线 分别 交 于 ,B C 两 点 ， 若 ABC 为 等 腰 直 角 三 角 形 ， 则 双 曲 线 的 离 心 率 的 取 值 范 围 是A. ( 3,2) B. 3( , 3)2 C. (1, 2) D. ( 2, )7． 已 知 不 等 边． ． ． 三 角 形 ABC 三 边 长 成 等 差 数 列 ， 最 长 边 为 7， 其 所 对 角 的 正 弦 值 为 32 ， 则这 个 三 角 形 的 周 长 为A. 12 B. 15 C. 18 D. 218． 已 知 直 线 l为 圆 2 2 4x y  在 点 ( 2, 2)处 的 切 线 ， 点 P 为 直 线 l上 一 动 点 ， 点 Q为 圆2 2( 1) 1x y   上 一 动 点 ， 则 PQ 的 最 小 值 为A. 2 B. 2 12  C. 1 2 D. 2 3 19． 设 ,n nA B 分 别 为 等 比 数 列 { },{ }n na b 的 前 n项 和 . 若 12 1n nnAB   ， 则 73ab A. 19 B. 12763 C. 43 D. 131210． 如 图 在 棱 长 为 2 的 正 四 面 体 P ABC 中 ， D为 棱 PA 上 的 一 动 点 ， E 为 棱 BC 上 一 动点 ， 且 满 足 3 2AD BE ， 若 线 段 DE 的 中 点 Q的 轨 迹 方 程 为 L，则 L 等 于 （ 注 ： L 表 示 L 的 测 度 ： L为 曲 线 、 平 面 图 形 、 空 间几 何 体 时 ， L 分 别 对 应 长 度 、 面 积 、 体 积 ）A. 133 B. 3 C. 49 D. 49第 Ⅱ 卷 （ 非 选 择 题 共 110 分 ）高 三 数 学 第 3页 共 4页二 、 填 空 题 ： 本 大 题 共 7 小 题 ， 多 空 题 每 小 题 6 分 ， 单 空 题 每 小 题 4 分 ， 共 36 分 。11.已 知 抛 物 线 2 4y x ， 则 其 焦 点 坐 标 为 ， 抛 物 线 点 0( ,2)x 到 准 线 的 距 离为 ．12． 已 知 直 线 1 : 3 4 0l ax y a    和 2 :2 ( 1) 0l x a y a    ， 当 a  时 ， 直 线 1l ∥2l ； 原 点 到 1l 的 距 离 的 最 大 值 是 .13． 已 知 实 数 ,x y 满 足 2 4,1,2 0x yx yx      ， 则 3x y 的 最 大 值 为 ， 若 3x y a  3 6x y 的 取 值 均 与 ,x y 无 关 ， 则 实 数 a的 取 值 范 围 是 .14． 甲 、 乙 两 袋 装 有 大 小 相 同 的 红 球 和 白 球 ， 甲 袋 装 有 2 个 红 球 ， 2 个 白 球 ； 乙 袋 装 有 2 个红 球 ， 1个 白 球 ． 现 从 甲 ， 乙 两 袋 中 各 任 取 2 个 球 ， 记 取 到 的 4 个 球 中 是 白 球 的 个 数 为  ，则 2  的 概 率 为 ，  的 期 望 为 .15． 若 6( )bax x 展 开 式 中 常 数 项 为 20 ， 则 2 2a b 的 最 小 值 是 .16. 如 图 ， 两 块 斜 边 长 相 等 的 直 角 三 角 形 拼 在 一 起 ， 若045ABC ACB   ， 060BED  ， 若 点 P 在 DBE 内 （ 含边 界 ） ， 设 AP xAB yAC   ， 则 x y 的 取 值 范 围 是 _________.17.记   ,min , ,b a ba b a a b  .设 实 数 , 0x y  ， 2 2min 2 2 , yk x y x y     ， 则 k 的 取 值范 围 是 .三 、 解 答 题 ： 本 大 题 共 5 小 题 ， 共 74 分 . 解 答 应 写 出 文 字 说 明 、 证 明 过 程 或 演 算 步 骤 .1 8 ． （ 本 题 满 分 1 4 分 ） 设 函 数 3( ) 2sin( )cos3 2f x x x  （ Ⅰ ） 求 ( )f x 的 周 期 及 其 图 像 的 对 称 轴 方 程 ；1高 三 数 学 第 4页 共 4页（ Ⅱ ） 已 知 ABC 的 内 角 分 别 为 , ,A B C ， 其 对 应 边 分 别 是 , ,a b c ， 若 3( )2 2Af  ， 且 能够 盖 住 ABC 的 最 小 圆 面 积 为 4 ， 求 ABC 面 积 的 最 大 值 ．19． （ 本 题 满 分 15 分 ） 如 图 ， 在 底 面 是 菱 形 的 四 棱 锥 P ABCD 中 ， 060ABC  ，1PA AC  ， 2PB PD  ， 点 E 在 PD上 .(Ⅰ )证 明 ： PA平 面 ABCD；(Ⅱ )当 2PEED  时 ， 求 二 面 角 E AC D  的 大 小 .20． （ 本 题 满 分 15 分 ） 已 知 函 数 2( ) ln( 1) 2xf x x   .（ Ⅰ ） 求 函 数 )(xf 的 单 调 递 增 区 间 ；（ Ⅱ ） 当 0x  时 ， ( )f x kx 恒 成 立 ， 求 实 数 k 的 取 值 范 围 .21． （ 本 题 满 分 15 分 ） 已 知 椭 圆 2 22 2: 1( 0x yC a ba b    ） 的 离 心 率 33e ， 且 椭 圆 过 点62（ ,1） ， O为 坐 标 原 点 .（ Ⅰ ） 求 椭 圆 C 的 方 程 ；（ Ⅱ ） 若 直 线 l与 椭 圆 C 交 于 ,A B两 点 ， 以 ,OA OB为 邻 边 作 平 行四 边 形 AOBP ， 当 平 行 四 边 形 AOBP 的 面 积 为 6 时 ， 求 AB OP 的 最 大 值 ．22． （ 本 题 满 分 15 分 ） 已 知 数 列 { }na 中 ， 1 2a  , 1 ln ( )n n na a a n N    .证 明 ： （ Ⅰ ） 1 2n na a   ； （ Ⅱ ） 12 1nna   ；（ Ⅲ ） 1 21 1 1 17 10[1 ( ) ]1 1 1 7 17 nna a a       ． （ 注 ： ln2 0.6931,ln3 1.0986  ）高 三 数 学 第 1页 共 6页2017 学 年 第 一 学 期 高 三 期 末 教 学 质 量 调 测数 学 参 考 答 案 （ 2018.2）一 、 选 择 题 ： 每 小 题 4 分 ， 共 40 分 。1-10 BBDAC DBBCA二 、 填 空 题 ： 多 空 题 每 小 题 6 分 ， 单 空 题 每 小 题 4 分 ， 共 36 分 。11． （ 1,0） , 2 ； 12． 1 , 5； 13． 5, [9, ) ；14． 12 ,53 ； 15． 2 ； 16． [1, 3 1] ； 17． (0, 2]．三 、 解 答 题 ： 本 大 题 共 5 小 题 ， 共 74 分 ,解 答 应 写 出 文 字 说 明 、 证 明 过 程 或 演 算 步 骤 .1 8 ． （ 本 题 满 分 1 4 分 ） （ Ⅰ ） 1 3( ) sin2 cos22 2f x x x  … … … … … … … … 2 分sin(2 )3x   ， … … … … 4分所 以 周 期 T  ， … … … … 6分 对 称 轴 方 程 是 ： ,2 12kx k Z    .… … … … 8分（ Ⅱ ） 3( )2 2Af  ， 得 3sin( )3 2A   ， 因 为 43 3 3A     ， 得 23 3A    ，3A . … … … … 9 分 由 题 意 可 知 ： ABC 的 外 接 圆 半 径 为 2 ， 则4sin sin sina b cA B C   解 得 ： 2 3a  . … … … … 1 1 分 又 Q 2 2 12b c bc   ， 12bc  （ 当 且 仅 当 2 3b c  取 等 号 ） ， … … … … 13 分于 是 ABC 的 面 积 S 的 最 大 值 为 max 3 3S  .… … … … 14分19． (本 题 满 分 15 分 ) 解 ： （ Ⅰ ） Q 四 边 形 ABCD 是 菱 形 ， 且 060ABC  ，高 三 数 学 第 2页 共 6页1AB AC AD    . … … … … 1 分 又 1PAQ 且 2PA PD  ，2 2 2 2AB AP AD AP    2 2BP PD  ， 从 而 090BAP DAP   ， … … … 5分即 ,PA AB PA AD  ， 于 是 PA平 面 ABCD.… … … … 7 分（ Ⅱ ） 过 点 E作 EH AD ， 垂 足 为 H ， 再 过 点 H 作 HF AC 于 F ， 连 接 EF ， 则 EH∥ AP 得 EH  面 ABCD ， 故 EFH 就 是 二 面 角E AC D  的 平 面 角 . … … … … … … … … 10 分作 DO AC 于 O， 由 FH ∥ DO 得 ： AH HFAD DO ，而 2=3AH PEAD PD ， 2 33 3HF DO   . 而13EH DEPA PD  ， 13EH  ， … … … … 13分 于 是 3tan = 3EHEFH FH  ， 030EFH  ，即 二 面 角 E AC D  的 大 小 为 030 .… … … … 15分注 ： 本 题 也 可 以 建 系 解 答如 图 建 立 坐 标 系 ， 则 点 (0,0,1)P ， (0,1,0)D ，3 1( , ,0)2 2C ， 2 1(0, , )3 3E ， … … … … 9 分于 是 3 1 1( , , )2 6 3CE   ， 3 1( , ,0)2 2AC  ， … … … 11 分设 面 ACE 的 法 向 量 为 0 0 0( , , )n x y z ， 则 由 00AC nCE n       解 得 (1, 3,2 3)n  ， … 13分于 是 3cos 2n OPE AC D n OP       ， 即 二 面 角 E AC D  的 大 小 为 030 .… … 15分20． （ 本 题 满 分 15分 ） （ Ⅰ ） 易 得 函 数 ( )f x 的 定 义 域 为  1x R x  .… … … … 1 分高 三 数 学 第 3页 共 6页令 2' 1 ( 1)( ) 01 1x xf x xx x       ， … … … … 3 分解 得 5 12x  （ 5 12x  舍 去 ） ， … … … … 4 分于 是 函 数 ( )f x 的 单 调 递 增 区 间 是 5 1( 1, )2 .… … … … 6 分（ Ⅱ ） 由 ( )f x kx 知 2ln( 1) 02xx kx    . 令 2( ) ln( 1) 2xF x x kx    ， 则2' 1 ( 1) 1( ) 1 1x k x kF x x kx x        .… … … … 8 分令 2 ( 1) 1 0x k x k     解 得 ： 20 ( 1) 4 ( 1)2k kx     （ 其 中2( 1) 4 ( 1)2k kx     舍 去 ） . … … … … 10分讨 论 ： （ 1） 当 1k  时 ， '( ) 0F x  ， 所 以 ， 函 数 ( )F x 在 (0, ) 单 调 递 减 ， 故( ) (0) 0F x F  ， 所 以 满 足 题 意 ； … … … … 12 分（ 2） 当 1k  时 ， 函 数 ( )F x 在 0(0, )x 单 调 递 递 增 ， 在 0( , )x  单 调 递 减 ， 此 时0( ) (0) 0F x F  ， 显 然 不 满 足 题 意 . … … … … 14分综 上 所 述 ， 实 数 k 的 取 值 范 围 是 (1, ) . … … … … 15分21． （ 本 题 满 分 15分 ） （ Ⅰ ） 由 33e 得 : : 3: 2:1a b c ， 则3 , 2a c b c  .… … … … 2 分 设 方 程 为 2 22 2 13 2x yc c  ， 将 6( ,1)2E 代 入 得 ：2 21 1 12 2c c  ， 解 得 1c ， … … … … 4分 椭 圆 方 程 为 2 2 13 2x y  .… … … … 5 分（ Ⅱ ） 当 直 线 l的 斜 率 不 存 在 时 ， 易 得 1 12 2 2 6AB OP y x    ； … … … … 6分高 三 数 学 第 4页 共 6页当 直 线 l的 斜 率 存 在 时 ， 不 妨 设 直 线 l： y kx m  ， 代 入 2 2 13 2x y  可 得 ：2 22 3( ) 6x kx m   ， 即 2 2 2(2 3 ) 6 3 6 0k x kmx m     ，由 0 得 2 22 3k m  .设 点 1 1( , )A x y 、 2 2( , )B x y ， 则 ： 21 2 1 22 26 3 6,2 3 2 3km mx x x xk k    .… … … … 8 分于 是 2 2 21 2 1 2 1 21 1 ( ) 4AB k x x k x x x x       2 22 22 6 2 31 2 3k mk k    ，点 O到 直 线 AB的 距 离 ： 21md k  ,… … … … 10分2 221 1 2 6 2 3 62 2 2 3 2OAB k mS d AB m k       ， 化 简 ：2 2 2 2 24 (3 2 ) (3 2)m k m k    ， 化 简 ： 2 2 2(3 2 2 ) 0k m   ， 即 2 23 2 2k m  ， 显 然满 足 0 , 21 2 1 2 1 226 3 2, ( ) 2 2k kx x y y k x x m mm m m          .… … 12分由 平 行 四 边 形 法 则 得 ， 1 2 1 2( , )OP OA OB x x y y    uuur uur uuur ，2 2 21 2 1 2 22( ) ( ) 6OP x x y y m     ,2 2 2 22 2 2 2 224(2 3 ) 4 2(1 ) (2 3 )k m mAB k k m     ， 于 是22 2 2 2 4 22 4 2 4 4(6 )( ) 24mOP AB m m m m      .… … … … 14分当 21 12m  时 ， 即 2m 时 ， 有  2 2 max 25OP AB  ， 即  max 5AB OP 高 三 数 学 第 5页 共 6页综 上 所 述  max 5AB OP  .… … … … 15分22． （ 本 题 满 分 15分 ） 解 ： （ Ⅰ ） 先 由 数 学 归 纳 法 证 明 2na  .① 当 1n , 1 2 2a   不等 式 成 立 , ② 假 设 当 n k ， 不 等 式 成 立 ， 即 2ka  ,则 当 1n k  时 ， 2ka Q ，ln 0ka Q ， 1 ln 2k k ka a a    也 成 立 ， 由 ① ② 得 2na  .又 1 ln ln2 0n n na a a    Q ，  1 2n na a   .… … … … 5 分（ Ⅱ ） 方 法 一 :令 ( ) ln 1f x x x   ， ' 1( 1)f x x  ， … … … … 6 分所 以 ' '(0,1), ( ) 0, (1, ), ( ) 0x f x x f x     ， 于 是max( ) ( ) (1) 0f x f x f   ， 即 ln 1x x  ln 1n na a   .… … … … 8分*1 ln ( )n n na a a n N   Q ， 1 ln 2 1n n n na a a a     得 ： 1 1 2( 1)n na a    ，从 而 ： 2 1 11 2 11 2( 1) 2 ( 1) 2 ( 1) 2n nn n na a a a          L ，故 12 1nna   .… … … … 10 分方 法 二 ： 猜 想 验 证 要 证 12 1nna   ， 猜 想 证 明  1na  缩 放 为 公 比 为 2的 等 比 数 列 ，即 证 1 1 ln 1 21 1n n nn na a aa a      ， 即 证 ln 1n na a  构 造 函 数 与 验 证 步 骤 跟 方 法 一相 同 .（ 2） 方 法 一 ： 令 ( ) 10ln 7 7( 2)g x x x x    ， ' 10 0) 2( 107 7g x x     ，故 ( ) 10ln 7 7g x x x   在 [2, ) 单 调 递 减 .于 是 ( ) (2) 10ln2 7 0g x g    ，10ln 7 7 0x x   ， 即 7 7ln 10xx  ， 所 以 7 7ln 10nn aa  ； … … … … 12分高 三 数 学 第 6页 共 6页从 而 1 7 7 17 7ln 10 10n nn n n n a aa a a a       ， 变 形 得 ： 1 171 ( 1)10n na a    ，11 1 101 171nnaa   ， 迭 乘 得 ： 111 1 10( )1 1 17 nna a   (n=1时 取 等 号 ） ， … … … … 14 分2 11 2 1 1 1 11 1 1 1 1 10 1 10 1 10( ) ( )1 1 1 1 1 17 1 17 1 17 nna a a a a a a                  L L即 1 21 1 1 17 10[1 ( ) ]1 1 1 7 17 nna a a      L (n=1时 取 等 号 ） . … … … … 15分方 法 二 ： 由 结 论 猜 想 证 明  1na  缩 放 为 公 比 为 1017 的 等 比 数 列 ，即 证 10ln 7 7 0n na a   ， 于 是 令 ( ) 10ln 7 7( 2)g x x x x    ， 后 面 步 骤 跟 方 法一 相 同 .