1、天津一中 2017-2018 高三年级五月考数学试卷（理）一、选择题：1.已知集合 1,234A， |32,ByxA，则 B（ ）A B C 1， D 14，2.已知实数 x， y满足不等式组03xy，则 2xy的最小值是（ ）A 32 B 92 C D 93.执行如图所示的程序框图，则输出 S的值为（ ）A 3 B 32 C 0 D 34.已知数列 na是等差数列， m， p， q为正整数，则“ 2pqm”是“ 2pqma”的（ ）A充分不必要条件 B必要不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件5.已知圆 ： 2310xyy与双曲线21(0,)yxab的一条渐近线相切，则双曲线的离心率为
2、（ ）A 263 B 23 C 43 D 76.设 0，函数 2cos()5yx的图象向右平移 5个单位长度后与函数 2sin()5yx图象重合，则 的最小值是（ ）A 12 B 3 C 2 D 77.设定义在 R上的函数 ()fx，满足 ()1fx， ()3yfx为奇函数，且 ()1fx，则不等式ln()1lnfx的解集为（ ）A , B ,0, C ,0, D 0,8.将数字“ 247”重新排列后得到不同的偶数个数为（ ）A 180 B 192 C 24 D 264二、填空题：9.设复数 z满足 ()3izi，则 z 10.已知二项式 21nx的展开式的二项式系数之和为 32，则展开式中含
3、 x项的系数是 11.在极坐标系中，直线 l： 4cos()106与圆 C： sin，则直线 l被圆 C截得的弦长为 12.如图，在 ABC中，已知 3A， 2B， 3A， 2DB， 3AED，则E13.已知点 (,)Pxy在椭圆213xy上运动，则 221xy最小值是 14.已知函数 fa， R，若方程 ()f有且只有三个不同的实数根，则实数 a的取值范围是 三、解答题： 15.某商场举行有奖促销活动，顾客购买一定金额的商品后即可抽奖，每次抽奖都是从装有 4个红球、 6个白球的甲箱和装有 5个红球、 个白球的乙箱中，各随机摸出一个球，在摸出的 2个球中，若都是红球，则获得一等奖；若只有 1个
4、红球，则获得二等奖；若没有红球，则不获奖.（1）求顾客抽奖 次能获奖的概率；（2）若某顾客有 3次抽奖机会，记该顾客在 3次抽奖中获一等奖的次数为 ，求 的分布列和数学期望.16. ABC的内角 、 、 C的对边分别为 a、 b、 c，已知 3osAac.（1）求 cosB；（2）如图， D为 AC外一点，若在平面四边形 ABCD中， 2B，且 1AD， 3C，6C，求 的长.17.如图，在四棱锥 P中， P为等边三角形， ， /，且 2B，3， B， E为 A中点.（1）求证：平面 PAD平面 BC；（2）若线段 C上存在点 Q，使得二面角 EC的大小为 30，求 CQP的值；（3）在（2）
5、的条件下，求点 到平面 的距离.18.已知数列 na中， 1， 1,3nna为 奇 数为 偶 数.（1）求证：数列 23n是等比数列；（2）求数列 na的前 项和 2nS，并求满足 0nS的所有正整数 n.19.已知椭圆 C：21(0)xyab的左、右焦点与其短轴的一个端点是等边三角形的三个顶点，点3(1,)2D在椭圆上，直线 km与椭圆交于 A， P两点，与 x轴， y轴分别交于点 N， M，且PMN，点 Q是点 P关于 x轴的对称点， QM的延长线交椭圆于点 B，过点 A， 分别作 x轴的垂线，垂足分别为 1A， B.（1）求椭圆 C的方程；（2）是否存在直线 l，使得点 N平分线段 1A
6、B？若存在，求出直线 l的方程，若不存在请说明理由.20.已知函数 ()n)fxk， R.（1）当 时，求函数 (fx的单调区间和极值；（2）若对于任意 2,e，都有 ()4lnfx成立，求实数 k的取值范围；（3）若 12x，且 12()fx，证明： 21ke.参考答案一、选择题1-5: DBAAB 6-8: CDC二、填空题9. 12i 10. 10 11. 72 12. 34 13. 95 14. 122, ,三、解答题15.（1）设顾客抽奖 1次能中奖的概率为 P，1650C，解出即可.（2）顾客抽奖 次视为 3次独立重复试验，判断出 3,XB:，求出概率，得到 X的分布列，然后求出数
7、学期望和方差.解析：（1）设顾客抽奖 1次能中奖的概率为 P，1650370CP.（2）设该顾客在一次抽奖中或一等奖的概率为 1P，15402C， 13,5XB:.3046512PXC， 21385X，23，3125PC，故 X的分布列为 01 3P641254825125125数学期望 3EX.16.解：（1）在 ABC中，由正弦定理得sincosini3，又 ()CAB，所以 3icosinsi()AAB，故 3sincosinBAicossinAB，所以 ii，又 (0,)A，所以 sin0A，故 3cosB.（2） 2DB， 21，又在 C中， 1， 3C，由余弦定理可得 22cosA
8、DACD 1923()2， 3，在 BC中， 6， 23， 3cosB，由余弦定理可得 2ACA，即 2316，化简得 260，解得 32AB.故 AB的长为 3.17.试题解析：（1）证明：连接 PE， B， D是等边三角形， 为 AD中点， PEA，又 2A， 3， 1， /BC，且 D，四边形 BEC为矩形， 3B， ， 22P， E，又 AD， 平面 A，又 平面 ，平面 PD平面 BC.（2）如图建系， 0,3， 0,， 1,30， ,E， 0,3B，设 CQP， ()， B1,，设平面 EBQ的法向量为 ,mxyz， 30130yx， ,m，平面 EBC的法向量不妨设为 ,1n，
9、221cos303n， 280， 4或 1（舍） ， 14CQP.（3）3142CBmh.18.解：（1）设 23nba，因为12123()nnn213(6)(1)2na13na，所以数列 23na是以 2即 6为首项，以 13为公比的等比数列.（2）由（1）得12nnb2n，即 2132nna，由 21()3na，得 2123()nna 1563，所以1213nnna1692693n，212421()()()n nSaa33n69n123n(1)692n21n 23(1)n，显然当 *N时， 2Sn单调递减，又当 1n时， 703，当 时， 4809S，所以当 2n时， 20nS；212nn
10、Sa2156nn，同理，当且仅当 时， 210nS，综上，满足 0nS的所有正整数 为 和 .19.（1）由题意知 3bc，即 c， 24a， 23bc，即2143xyc， 3,2在椭圆上， 29143c，1c， 4a， b，所以椭圆 C方程为213xy.（2）存在.设 0,Mm， ,0Nk， DMN， ,2Pk， ,2Q， 1,Axy， 2,By，2143ykxm， 2248410kxm 1284xk，2134k，0QMmk，联立 2314yx， 2236410kxm 22283mk， 1x134k， 222km，若 N平分线段 1AB，则 2281kmk，即 22834kmk， 234，
11、1， ，把，代入，得 27m， ，所以直线 l的方程为 1yx或 127yx.20.（1） ()lnlfxkk， 0k时，因为 1，所以 ()n0fx，函数 ()fx的单调递增区间是 ,，无单调递减区间，无极值；当 k时，令 ln0xk，解得 kxe，当 1xe时， ()f；当 ， ()0f.所以函数 f的单调递减区间是 (1,ke，单调递增区间是 (,)ke，在区间 (,)上的极小值为 )kf，无极大值.（2）由题意， (4ln0fx，即问题转化为 (4)ln(1)0xkx对于 2,e恒成立，即 1k对于 2,e恒成立，令 ()l)gx，则 24ln()gx，令 4lnt， 2,e，则 ()
12、10tx，所以 ()x在区间 2,上单调递增，故 min40tee，故 ()0gx，所以 g在区间 e上单调递增，函数 2ax28()()g.要使 (4)ln1xk对于 2,e恒成立，只要 max1kg，所以 28e，即实数 k的取值范围为 28(,)e.（3）证法 1：因为 12()fxf，由（1）知，函数 (fx在区间 (0,)ke上单调递减，在区间 (,)ke上单调递增，且 0k.不妨设 12x，则 112kkxe，要证 12ke，只要证 21，即证21kkex.因为 ()fx在区间 (,)k上单调递增，所以221()kff，又 12()ff，即证211()kefxf，构造函数2()()
13、khxfx22ln)(ln1)kkexx，即 ln121ke， 0,k.()l()hx22ln()kx2()(ln)kxe，因为 0,ke，所以 l0， ke，即 0h，所以函数 ()hx在区间 (,)ke上单调递增，故 ()kxe，而20kkkeff，故 ()h，所以211()kefxf，即2211()()kefxffx，所以 21kxe成立.证法 2：要证 2k成立，只要证： 2ln.因为 1x，且 12()fxf，所以 1122()(ln1)xkxk，即 2lnl1)k， 2l lx12()kx，即 1212()llnxx12(x，121llxk，同理122lnlxk，从而 122lnkx1122lnlx，要证 12lxk，只要证1122lln0x，令不妨设 12，则 120xt，即证 lnt，即证 ()ln2t，即证 1l2t对 (0,)恒成立，设 ()lnthtt，2214(1)()0)thtt，所以 t在 (0,1)单调递增， 0t，得证，所以 21kxe.
