1、选修 2-2 第二章 2.1 2.1.1 第 1 课时 一、选择题1.观察图形规律，在其右下角的空格内画上合适的图形为( )A BC D答案 A解析 观察可发现规律：每行、每列中，方、圆、三角三种形状均各出现一次，每行、每列有两阴影一空白，即得结果2在数列a n中，a 10，a n1 2a n2，则猜想 an( )A2 n2 B2 n212C2 n1 1 D2 n1 4答案 B解析 a 102 12，a 22a 1222 22，a32a 224262 32，a42a 32122142 42，猜想 an2 n2.故应选 B.3数列a n：2,5,11,20，x, 47，中的 x 等于( )A28
2、 B32C33 D27答案 B解析 因为 5231,115632,201193 3，猜测x2034,47 x 35，推知 x32.故应选 B.4用火柴棒摆“金鱼” ，如图所示，按照上面的规律，第 n 个“金鱼”图需要火柴棒的根数为( )A6n2 B8n2C6n2 D8n2答案 C解析 从可以看出，从第个图开始每个图中的火柴棒都比前一个图中的火柴棒多 6 根，故火柴棒数成等差数列，第一个图中火柴棒为 8 根，故可归纳出第 n 个“金鱼”图需火柴棒的根数为 6n2.5图(1)、图(2)、图(3) 、图(4)分别包含 1、5、13 和 25 个互不重叠的单位正方形，按同样的方式构造图形，则第 n 个
3、图包含_个互不重叠的单位正方形( )An 22n1 B2n 22n1C2n 22 D2n 2n1答案 B解析 观察题中给出的四个图形，图(1)共有 12 个正方形，图(2)共有 122 2 个正方形；图(3)共有 22 32 个正方形；图(4)共有 324 2 个正方形；则第 n 个图中共有(n1) 2n 2，即2n22n1 个正方形6n 个连续自然数按规律排列下表：01234567891011根据规律，从 2010 到 2012 箭头的方向依次为( )A BC D答案 C解析 观察特例的规律知：位置相同的数字都是以 4 为公差的等差数列，由 234 可知从 2010 到 2012 为，故应选
4、 C.二、填空题7观察下列等式：121，122 23，122 23 26，122 23 24 210，由以上等式推测到一个一般的结论：对于 nN *,122 23 24 2( 1)n1 n2_.答案 (1) n1n2 n2解析 注意到第 n 个等式的左边有 n 项，右边的结果的绝对值恰好等于左边的各项的所有底数的和，即右边的结果的绝对值等于 123n ，注意到nn 12 n2 n2右边的结果的符号的规律是：当 n 为奇数时，符号为正；当 n 为偶数时，符号为负，因此所填的结果是(1) n1 .n2 n28(2013陕西文，13)观察下列等式：(11)21；(21)(2 2)2 213；(31)
5、(3 2)(33)2 3135；照此规律，第 n 个等式可为_答案 (n1)(n2)( nn) 2 n13(2n1)解析 观察规律，等号左侧第 n 个等式共有 n 项相乘，从 n1 到 nn，等式右端是2n 与等差数列2n1前 n 项的乘积，故第 n 个等式为(n1)(n2) (nn)2 n13(2n1)9观察下图中各正方形图案，每条边上有 n(n2) 个圆圈，每个图案中圆圈的总数是S，按此规律推出 S 与 n 的关系式为_答案 S4( n1)( n2)解析 每条边上有 2 个圆圈时共有 S4 个；每条边上有 3 个圆圈时，共有 S8 个；每条边上有 4 个圆圈时，共有 S12 个可见每条边上
6、增加一个点，则 S 增加 4，S 与 n的关系为 S4(n1)( n2)三、解答题10证明下列等式，并从中归纳出一个一般性的结论2cos ，4 22cos ，8 2 22cos ，16 2 2 2证明 2cos 2 4 22 22cos 2 2 8 1 cos42 1222 2 22cos 216 1 cos822 1 122 22 2 2 2观察上述等式可以发现，第 n 个等式右端有 n 个根号，n 个 2，左端“角”的分母为22,23,24，故第 n 个等式的左端应为 2cos ，由此可归纳出一般性的结论为：2n 12cos 2n 1 2 2 2 n个 根 号一、选择题11已知数列a n的
7、前 n 项和 Snn 2an(n2) ，而 a11，通过计算 a2、a 3、a 4，猜想an 等于( )A B2n 12 2nn 1C D22n 1 22n 1答案 B解析 因为 Snn 2an，a 11，所以 S24a 2a 1a 2a 2 ，13 232S39a 3a 1a 2a 3a 3 ，a1 a28 16 243S416a 4a 1a 2a 3a 4a 4 .a1 a2 a315 110 254所以猜想 an ，故应选 B.2nn 112观察(x 2)2x ，( x4)4x 3，(cosx)sinx ，由归纳推理可得：若定义在 R 上的函数 f(x)满足 f(x )f(x) ，记 g
8、(x)为 f(x)的导函数，则 g(x)( )Af(x) Bf (x)Cg(x) Dg( x)答案 D解析 本题考查了推理证明及函数的奇偶性内容，由例子可看出偶函数求导后都变成了奇函数，g(x )g(x )，选 D，体现了对学生观察能力，概括归纳推理能力的考查13把 1、3、6、10、15、21、这些数叫做三角形数，这是因为这些数目的点子可以排成一个正三角形(如下图 )，试求第七个三角形数是( )A27 B28C29 D30答案 B解析 观察归纳可知第 n 个三角形数共有点数：12 34n 个，nn 12第七个三角形数为 28.77 12二、填空题14下面是一系列有机物的结构简图，图中的“小黑
9、点”表示原子，两黑点间的“连线”表示化学键，按图中结构第 n 个图有_个原子，有_个化学键答案 4n2,5n1解析 第 1、2、3 个图形中分别有原子个数为 6,64,6 42，故第 n 个图形有原子64( n1) 4n2 个第 1、2、3 个图形中，化学键个数依次为 6、65、652、第 n 个图形化学键个数为65(n1) 5n1.15(2014三峡名校联盟联考) 观察下列不等式：1 ，122321 ，122 132531 ，122 132 14274照此规律，第五个不等式为_答案 1 122 132 142 152 162116解析 本题考查了归纳的思想方法观察可以发现，第 n(n2)个不
10、等式左端有 n1 项，分子为 1，分母依次为12、2 2、3 2、(n1) 2；右端分母为 n1，分子成等差数列，因此第 n 个不等式为1 ，122 132 1n 122n 1n 1所以第五个不等式为：1 .122 132 142 152 16211616(2013新疆兵团二师华山中学高二期中) 在ABC 中，不等式 成立，1A 1B 1C 9在四边形 ABCD 中，不等式 成立，1A 1B 1C 1D 162在五边形 ABCDE 中，不等式 成立，猜想在 n 边形 A1A2An 中，1A 1B 1C 1D 1E 253有不等式_成立答案 (n3)1A1 1A2 1An n2n 2解析 根据已
11、知特殊的数值： 、 、 ，总结归纳出一般性的规律：9162253(n3) n2n 2在 n 边形 A1A2An 中： (n3)1A1 1A2 1An n2n 2三、解答题17(2013西宁质检)已知等式 sin210cos 240sin10cos40 ，sin 26cos 23634sin6cos36 .请写出一个具有一般性的等式，使你写出的等式包含已知的等式，并证明34结论的正确性解析 等式为 sin2cos 2(30)sincos(30 ) .证明如下：34sin2cos 2(30) sin cos(30)sin 2 sin (cos30cossin30sin ) sin 2 1 cos60 2a2 12 cos60 22sin2 sin2 sin 2 ( cos2 sin2)34 12 12 1212 32 sin2 sin2 sin 2 cos2 sin2 sin2 sin2 sin2 (12sin 2)34 12 12 14 34 34 12 12 12 14 .34
