1、第三章 3.1 第 2 课时一、选择题1曲线 yx 2 在 x0 处的( )A切线斜率为 1 B切线方程为 y2xC没有切线 D切线方程为 y0答案 D解析 ky x0，所以 k0，又 yx 2 在 x0 处的limx 00 x2 02x lim x 0切线过点(0,0)，所以切线方程为 y0.2已知曲线 yx 3 过点(2,8)的切线方程为 12xay 160 则实数 a 的值是( )A1 B1 C2 D2答案 B解析 点(2,8)在切线 12xay160 上，故 248a160，a1.3如果曲线 yx 3x 10 的一条切线与直线 y4x3 平行，那么曲线与切线相切的切点坐标为( )A(1
2、，8)B(1，12)C(1，8)或(1，12)D(1，12) 或 (1，8)答案 C解析 设切点坐标为 P(x0，y 0)，则 y0x x 0 10 的切线斜率为 k30limx 0x0 x3 x0 x 10 x30 x0 10x limx 03x20x 3x0x2 x3 xx (3x 1)3x 0x(x) 23x 14，所以 x01，当 x01 时，y 08，limx 0 20 20当 x01 时， y012，所以切点坐标为(1，8)或( 1，12)4曲线 y x32 在点(1， )处切线的倾斜角为( )13 73A30 B45C135 D45答案 B解析 ky |x1 limx 013 1
3、 x3 2 13 13 2x 1x (x)21，limx 0 13所以切线的倾斜角为 45.5下列点中，在曲线 yx 2 上，且在此点处的切线倾斜角为 的是( )4A(0,0) B(2,4)C( ， ) D( ， )14 116 12 14答案 D解析 k limx 0yx lim x 0x x2 x2x (2xx)2x，limx 0倾斜角为 ， 斜率为 1.42x1，x ，故选 D.126设 P0 为曲线 f(x)x 3x 2 上的点，且曲线在 P0 处的切线平行于直线 y4x1，则点 P0 的坐标为( )A(1,0) B(2,8)C(1,0) 或(1，4) D(2,8)或( 1，4)答案
4、C解析 根据导数的定义可求得 f( x)3x 21，由于曲线 f(x)x 3x2 在 P0 处的切线平行于直线 y4x 1，所以 f(x)在 P0 处的导数值等于 4，设 P0(x0，y 0)，故 f( x0)3x 14，解得 x01，这时 P0 点的坐标为(1,0) 或(1，4)，选 C.20二、填空题7曲线 y2x 21 在点 P(1,3)处的切线方程为_答案 y4x 1解析 y2(x1) 212( 1) 212x 24x， 2x 4， yx lim x 0 yx lim x 0(2x4)4，由导数几何意义知，曲线 y2x 21 在点(1,3)处的切线的斜率为4，切线方程为y4x1.8已知
5、函数 f(x)在区间0,3 上的图象如图所示，记 k1f(1)，k 2f(2)，k 3f(2)f(1)，则 k1、k 2、k 3 之间的大小关系为_(请用连接)答案 k 1k3k2解析 由导数的几何意义可知 k1，k 2 分别为曲线在 A，B 处切线的斜率，而 k3f(2)f(1) 为直线 AB 的斜率，f2 f12 1由图象易知 k1k3k2.三、解答题9求曲线 f(x) 在点(2，1) 处的切线的方程2x解析 由于点( 2，1)恰好在曲线 f(x) 上，所以曲线在点 (2，1)处的切线的2x斜率就等于函数 f(x) 在点( 2，1) 处的导数2x而 f(2) limx 0f 2 x f 2
6、x ，故曲线在点(2，1)处的切线方程为limx 02 2 x 1x lim x 0 1 2 x 12y1 (x2)，整理得 x2y40.12一、选择题1曲线 y x32 在点(1， )处切线的倾斜角为( )13 73A30 B45 C135 D60答案 B解析 y (1x) 3 (1)3 xx 2 x3， 1 x x2，13 13 13 yx 13 (1x x2)1，limx 0yx lim x 0 13曲线 y x32 在点 处切线的斜率是 1，倾斜角为 45.13 (1，73)2曲线 y2x 21 在点(0,1)处的切线的斜率是( )A4 B0C4 D不存在答案 B解析 y2x 2， 2
7、x，yx (2x) 0，由导数的几何意义可知，函数 y 在点 处的limx 0yx lim x 0 1x (12， 2)切线斜率为 0.3函数 y 在点( ，2) 处的切线方程是( )1x 12Ay4x By 4x4Cy 4(x1) Dy2x4答案 B解析 y ， ， 4，2xx 12 yx2x 12 lim x 02x 12切线的斜率为 4.则切线方程为：y24(x )，即 y4x4.124曲线 yx 3 在点 P 处切线的斜率为 k，当 k3 时，P 点坐标是 ( )A(2，8) B(1，1)或(1,1)C(2,8) D.( 12， 18)答案 B解析 由导数的定义可求 yx 3 在点 P
8、(x0，x )处的斜率为 3x 3，x 01，故选 B.30 20二、填空题5已知曲线 y2x 3 上一点 A(1,2)，则点 A 处的切线斜率等于_答案 6解析 y2x 3，y limx 0yx lim x 02x x3 2x3x2 limx 0x3 3xx2 3x2xx2 (x23x x3x 2)6x 2.limx 0y| x1 6.点 A(1,2)处切线的斜率为 6.6下列三个命题：若 f(x 0)不存在，则曲线 yf (x)在点(x 0，f(x 0)处没有切线；若曲线 yf(x )在点( x0，f(x 0)处有切线，则 f( x0)必存在；若 f(x 0)不存在，则曲线 yf (x)在
9、点(x 0，f(x 0)处的切线的斜率不存在其中正确的命题是_(填上你认为正确的命题序号)答案 解析 寻找垂直于 x 轴的切线即可三、解答题7已知曲线 y ，求：1x(1)曲线在点 P(1,1)处的切线方程；(2)曲线过点 Q(1,0)的切线方程；(3)满足斜率为 的曲线的切线方程13解析 (1)点 P(1,1)在曲线上，点 P 为切点，y limx 0yx lim x 01x x 1xx ，limx 0 xxx xx 1x2所求切线方程的斜率是 k11，曲线在点 P(1,1)的切线方程为 y1(x1)，即 y x2.(2)显然 Q(1,0)不在曲线上，则设过该点的切线的切点为 A(a， )，
10、该切线的斜率是1ak2 ，则切线方程是 y (xa)1a2 1a 1a2将点 Q(1,0)代入方程 ，得 0 (1a) ，1a 1a2解得 a ，故切线方程为 y4x4.12(3)设切点为 B(b， )，则切线的斜率为 k3 ，解得 b ，1b 1b2 13 3B( ， )或 B( ， )333 3 33所求的切线方程是 y (x )或 y (x )，33 13 3 33 13 3即 x3y2 0 或 x3y 2 0.3 38已知曲线 yx 21 在 x x0 点处的切线与曲线 y1x 3 在 xx 0 点处的切线互相平行，求 x0 的值解析 对于曲线 yx 21 在 xx 0 处，y|x x
11、 0 limx 0x0 x2 1 x20 1x limx 02x0x x2x (2x0x)2x 0.limx 0对于曲线 y1x 3 在 xx 0 处，y|x x 0 limx 01 x0 x3 1 x30x limx 0 3x20x 3x0x2 x3x 3x 3x 0x( x)23x ，limx 0 20 20又 y1x 3 与 yx 21 在 xx 0 点处的切线互相平行， 2x03x ，解得 x00 或20x0 .239设点 P 是曲线 f(x)x 3 x2 上的任意一点，k 是曲线在点 P 处的切线的斜率3(1)求 k 的取值范围；(2)求当 k 取最小值时的切线方程解析 (1)设 P(x0，x x02) ，则 k30 3 limx 0x0 x3 3x0 x 2 x30 3x0 2x limx 03x20x 3x0x2 x3 3xx 3x 3x 0x(x )2limx 0 20 33x .20 3 3即 k 的取值范围为 ， )3(2)由(1)知 kmin ，此时 x00，3即 P(0,2)，此时曲线在点 P 处的切线方程为y x2.3
