1、第二章 2.3 2.3.3 一、选择题1已知 a(2,1)、b(1， 2)，则向量 a 与 b 的夹角为( )A B6 4C D3 2答案 D解析 由 ab211(2)0，ab.2已知点 A(1,2)、B(2,3) 、C(2,5) ，则 等于( )AB AC A1 B0C1 D2答案 B解析 (1,1)， ( 3,3)， 1(3) 130.AB AC AB AC 3已知 A、B 、C 是坐标平面上的三点，其坐标分别为 A(1,2)、B(4,1) 、C (0，1)，则ABC 的形状为( )A直角三角形 B等腰三角形C等腰直角三角形 D以上均不正确答案 C解析 (3，1)， (1，3) ，AB A
2、C 3( 1)(1)( 3)0，AB AC 且| | | | .ABC 为等腰直角三角形AB AC 104已知 a(3,2)，b( 1,0) ，向量 ab 与 a2b 垂直，则实数 的值为( )A B17 17C D16 16答案 A解析 a( 3,2)，b(1,0)，ab( 3 1,2)a2b(3,2)2( 1,0)(1,2)，由(ab)(a2b)，得 4310， .175已知向量 a(2,1)，ab 10，| ab|5 ，则| b|( )2A B5 10C5 D25答案 C解析 |ab| 2a 22abb 2520b 250，b 225，|b| 5.6(2014重庆理，4)已知向量 a(k
3、,3)、b(1,4)、c(2,1)，且(2 a3b)c，则实数k( )A B092C3 D152答案 C解析 本题考查了平面向量的坐标运算与向量的垂直，因为 2a3b(2k3，6)，又因为(2 a3b)c ，所以，(2a3b)c0，即(2k3，6)(2,1)0，4k660，解得 k3，本题根据条件也可以转化为 2ac3bc0 化简求解二、填空题7(2014安徽宿州市朱仙庄煤矿中学高一月考) 已知向量 a(4,3)、b( 3,4)，b在 a 方向上的投影是_答案 245解析 b 在 a 方向上的投影为| b|cosb，a .ab|a| 4 3 345 2458设向量 a(1,2m)，b( m1,
4、1) ，c (2 ，m )，若(ac)b，则|a|_.答案 2解析 ac(3,3m)，( ac)b，(ac )b0，即(3,3m)(m 1,1)0，3(m1) 3m0,6m 30，m ，12a(1，1)，|a| .2三、解答题9已知 A(2,3)、B(5,1) 、C(9,7)、D(6,9)四点，试判断四边形 ABCD 的形状解析 (3，2)， (3 ，2)， .AB DC AB DC 又 (4,6)， 3 4260，BC AB BC .| | ，| | 2 ，| | |，AB BC AB 9 4 13 BC 16 36 13 AB BC 故四边形 ABCD 是矩形一、选择题1(2014山东文，
5、7)已知向量 a(1， )、b(3，m)，若向量 a、b 的夹角为 ，则实36数 m( )A2 B3 3C0 D 3答案 B解析 本题考查向量的坐标运算及数量积ab3 m|a|b|cos362 .解得，m .9 m232 32已知 m(1,0)、n(1,1)，且 mkn 恰好与 m 垂直，则实数 k 的值为( )A1 B1C1 或1 D以上都不对答案 B解析 mkn (1,0) k (1,1)(1k，k )，mkn 与 m 垂直，(1k )1k 00，得 k1.3若向量 a(1,2)、b(1， 1)，则 2ab 与 ab 的夹角等于( )A B4 6C D4 34答案 C解析 本题考查了向量的
6、坐标运算a(1,2)，b(1，1)，则 2ab(3,3)，ab(0,3) ，则 cos ，2 ab，ab .30 9323 22 44已知 a(2,4)，则与 a 垂直的单位向量的坐标是( )A 或(55， 255) ( 55， 255)B 或(55， 255) ( 55，255)C 或(255， 55) ( 255， 55)D 或( 255，55) (255， 55)答案 D解析 设与 a 垂直的单位向量的坐标是(x，y)，则Error!，解得Error!，或Error!.二、填空题5(2014湖北理，11)设向量 a(3,3)、b(1，1) ，若(ab)( ab)，则实数_.答案 3解析
7、因为 ab(3，3 )，a b(3 ，3) ，又(ab)( ab)，所以(a b)(ab)(3)(3 )(3 )(3 )0，解得 3.6(2014四川文，14)平面向量 a(1,2)、b(4,2)、cmab(mR )，且 c 与 a 的夹角等于 c 与 b 的夹角，则 m_.答案 2解析 本题考查了平面向量的坐标运算、数量积等基础知识cmab(m 4,2m2)，由题意有： ac|a|c| bc|b|c|即： ，代入得：ac|a| bc|b| ，解得 m2.m 4 4m 45 4m 16 4m 420三、解答题7设 a(4，3)、b( 2,1)，若 at b 与 b 的夹角为 45，求实数 t
8、的值解析 atb (4，3)t(2,1)(42t，t 3) ，(atb)b(4 2t，t3)(2,1)5t5，|a tb| ，4 2t2 t 32 5t 12 20由(atb)b| atb| b|cos45，得 5t5 ，522 t 12 4即 t22t30，解得 t3 或 t1.经检验知 t3 不符合题意，舍去所以 t1.8已知 a(1,2)，b(1， )分别确定 的取值范围，使得：(1)a 与 b 夹角为 90；(2)a 与 b 夹角为钝角；(3)a 与 b 夹角为锐角解析 设 ，(1)由 ab 得 .12(2)cos ，由 cos0 且 cos1，得 ，且 2.129已知 a(3,4)、b( 4,3)，求 x、y 的值使(xayb)a，且|xayb|1.解析 a( 3,4)，b(4,3)，xayb(3x4y,4x3y)又(xa yb)a， ( xayb) a0，3(3x 4y)4(4x 3y)0，即 25x24y0， 又|x ayb| 1，|x ayb| 21，(3x 4y)2(4x 3y) 21.整理得 25x248xy25y 21 ，即 x(25x24y)24xy25y 21. 由有 24xy25y 21， 将变形代入可得 y .57当 y 时，x ，57 2435当 y 时，x .57 2435所以Error!或Error!.
