1、第 3 章 导数及其应用(A)(时间：120 分钟 满分：160 分)一、填空题(本大题共 14 小题，每小题 5 分，共 70 分)1物体自由落体运动方程为 s(t) gt2，g9.8 m/s2，若当 t 无限趋近于 0 时，12无限趋近于 9.8 m/s，那么下面说法正确的是_(填序号)s1 t s1t9.8 m/s 是 0 1 s 这段时间内的平均速度；9.8 m/s 是从 1 s 到(1 t) s 这段时间内的速度；9.8 m/s 是物体在 t1 这一时刻的速度；9.8 m/s 是物体从 1 s 到(1 t) s 这段时间内的平均速度2曲线 yxln x 在点(e 2，e 22)处的切
2、线在 y 轴上的截距为_3若 f(x0)存在且 f(x 0)0，下列结论中正确的是_(填序号)f(x 0)一定是极值点；如果在 x0 附近的左侧 f( x)0，右侧 f(x)0，右侧 f(x)0，那么 f(x0)是极大值4下列有关导数的说法正确的是_(填序号)f(x 0)就是曲线 f(x)在点(x 0，f(x 0)的切线的斜率；f(x 0)与(f( x0)意义是一样的；设 ss (t)是位移函数，则 s(t 0)表示物体在 tt 0 时刻的瞬时速度；设 vv(t) 是速度函数，则 v( t0)表示物体在 tt 0 时刻的加速度5如图为 yf( x)的导函数的图象，则下列判断正确的是 _(填序号
3、)f(x)在(3,1)内是增函数；x1 是 f(x)的极小值点；f(x)在(2,4)内是减函数，在( 1,2)内是增函数；x1 是 f(x)的极大值点6某汽车启动阶段的路程函数为 s(t)2t 35t 22，则 t2 时，汽车的加速度是_7设函数 f(x) ax3x 2 (a0)在(0,2)上不单调，则 a 的取值范围是_138函数 f(x)4xx 4 在1,2上的最大、最小值分别为_9设 f(x) 是函数 f(x)的导函数，yf ( x)的图象如图所示，则 yf (x)的图象最有可能是下图中的_10一批物资用 13 辆汽车从 A 地运到 300 km 以外的 B 地，若车速为 v km/h，
4、则两车的距离不能小于 2 km 时，这批物资全部从 A 地运到 B 地至少要花_h.(v10)11函数 yxcos x 在区间 0， 上的最大值是_212已知函数 f(x)x 3ax 在区间(1,1)上是增函数，则实数 a 的取值范围是_13f(x) 是 f(x) x32x 1 的导函数，则 f( 1)的值是_1314在平面直角坐标系 xOy 中，点 P 在曲线 C：yx 310x3 上，且在第二象限内，已知曲线 C 在点 P 处的切线斜率为 2，则点 P 的坐标为_二、解答题(本大题共 6 小题，共 90 分)15(14 分) 求过点(1 ，1)的曲线 yx 32x 的切线方程16(14 分
5、) 某物流公司购买了一块长 AM30 米，宽 AN20 米的矩形地块 AMPN，规划建设占地如图中矩形 ABCD 的仓库，其余地方为道路和停车场，要求顶点 C 在地块对角线 MN 上，B、D 分别在边 AM、AN 上，假设 AB 长度为 x 米若规划建设的仓库是高度与 AB 的长相同的长方体建筑，问 AB 长为多少时仓库的库容最大？(墙体及楼板所占空间忽略不计)17.(14 分) 已知直线 l1 为曲线 yf(x)x 2x2 在点(1,0)处的切线， l2 为该曲线的另外一条切线，且 l1l 2.(1)求直线 l2 的方程；(2)求由直线 l1、l 2 及 x 轴所围成的三角形的面积18(16
6、 分) 要设计一容积为 V 的有盖圆柱形储油罐，已知侧面的单位面积造价是底面造价的一半，盖的单位面积造价又是侧面造价的一半问储油罐的半径 r 和高 h 之比为何值时造价最省？19.(16 分) 若函数 f(x)ax 3bx4，当 x2 时，函数 f(x)有极值 .43(1)求函数的解析式；(2)若方程 f(x) k 有 3 个不同的根，求实数 k 的取值范围20(16 分) 已知函数 f(x)ax 3 x21( xR)，其中 a0.32(1)若 a1，求曲线 yf(x )在点(2，f(2)处的切线方程；(2)若在区间 ， 上，f(x )0 恒成立，求 a 的取值范围12 12第 3 章 导数及
7、其应用(A)121解析 因为 y1 ，所以曲线在点(e 2，e 22)处的切线的斜率为 k1 ，1x 1e2切线方程为 ye 22 (xe 2)(1 1e2)即 y x1，令 x0，得 y1.(1 1e2)3解析 由题意 x0 附近的左侧 f( x)0，即 x0 附近的左侧函数单调递增，同理 x0 附近右侧函数单调递减，故 f(x0)为极大值4解析 因 f(x 0)表示在 xx 0 处的导数，而f(x 0)表示对函数值 f(x0)求导因 f(x0)为常数，所以f(x 0) 0.5解析 错，因在(3，1)上 f( x)0，故 f(x)在(3，1)内是减函数，在(1,1) 内是增函数；正确，因 f
8、(x )在(3，1) 上为负，f(1)0，f( x)在( 1,2)上为正；正确，因在(2,4)内 f( x)0，故 f(x)在(1,2)内为增函数，错，在(1,1)内 f( x)0，在(1,2) 内 f( x)0，且 f(1)0，故 x1 不是极值点614解析 v(t) s (t) 6t 210t，a(t)v(t)12t10.当 t2 时，a(2)241014.7(1，)83，8解析 f(x) 44x 3，由 f (x)0 得 x1，易知 x1 为极值点，又 f(1)3，f(1)5，f(2)8.所以 f(x)在1,2上的最大值为 3，最小值为8.9解析 由已知图象可知，当 x(，0) 时，f
9、(x)0，所以函数 f(x)在( ，0)上递增；当 x(0,2)时，f(x )0，所以函数 f(x)在(2，)上递增注意观察导函数 f(x) 的图象的特点，根据图象划分好区间1012解析 最后一辆汽车从 A 地到 B 地所用的时间为t ，v(0 ，)，300 12(v10)2v 300v 3v25则 t .令 t0，得 0，300v2 325 300v2 325v50.又函数 t 在(0，)内只有一个极值点 v50，且这是极小值点300v 3v25当 v50 时，所花费的时间最短为 12 h.11.2解析 y1sin x，令 y0，得 sin x1，x ，又因 f(0)0cos 01，2f( ) cos ，2 2 2 2所以 yxcos x 在0， 上的最大值为 .2 212a3解析 由题意应有 f(x )3x 2a0，在区间(1，1)上恒成立，则a3x 2，x(1,1)恒成立，故 a3.133解析 f(x)x 22，f (1)3.14(2,15)解析 设 P(x0，y 0)(x00；当 x(20,30)时，V(x)0 等价于Error!即Error!解不等式组得52，则 00 等价于Error!即Error!解不等式组得 a5 或 a .22 22因此 2a5.综合，可知 a 的取值范围为 0a5.
