1、第 12 课时 函数单调性的概念课时目标1.了解函数单调性的概念2会求函数的单调区间识记强化1函数 yf(x)的图象上任意两点 A(x1，y 1)、B(x 2，y 2)，自变量的改变量 xx 2x 1，函数值的改变量 yy 2y 1.2一般地，设函数 yf( x)的定义域为 A，区间 MA.如果取区间 M 中的任意两个值 x1，x 2.改变量 xx 2x 10，则当 yf( x2)f(x 1)0 时，就称函数 yf(x)在区间 M 上是增函数当 y f(x2)f (x1)0 时，就称函数 yf(x)在区间 M 上是减函数3如果一个函数在某个区间 M 上是增函数或是减函数，就说这个函数在这个区间
2、 M上具有单调性区间 M 称为单调区间课时作业(时间：45 分钟，满分：90 分 )一、选择题(本大题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分)1下列说法正确的是( )A定义在(a，b)上的函数 f(x)若存在 x1、x 2(a，b) ，使得 x1x2 时有 f(x1)f(x2)，那么f(x)在 (a，b) 上为增函数B定义在(a，b)上的函数 f(x)，若有无穷多对 x1、x 2(a，b) ，使得 x1x2 时有 f(x1)f(x2)，那么 f(x)在( a，b)上为增函数C若函数 f(x)在区间 I1 上为减函数，在区间 I2 上也为减函数，那么 f(x)在 I1I 2 上也一定为减函数
3、D若函数 f(x)在区间 I 上为增函数，且 f(x1)f(x2)(x1、x 2I) ，那么 x1x2答案：D2下列函数中，在区间(0,2)上为增函数的是( )Ay3x By x 21Cy x2 Dy x 22x3答案：B解析：(排除法)选项 A，y3x 在 R 上是减函数；选项 C，yx 2 在(0 ，)上是减函数；选项 D，yx 22x3(x1) 24，当 x1 时， y 是 x 的减函数，当 x1 时，y是 x 的增函数，而在(0,2)上并不严格单调故选 B.3已知 f(x)(3a1)x b 在(，)上是增函数，则 a 的取值范围是( )A. B.( ，13) (13， )C. D.(
4、，13 13， )答案：B解析：由 3a10，得 a ，故选 B.134若函数 f(x)在区间(，) 上是减函数，则下列关系式一定成立的是( )Af(a)f(2 a)Bf(a 2)f( a)Cf(a 2a)f(a)Df(a 21) f( a2)答案：D解析：因为 f(x)是区间(，) 上的减函数，且 a21a 2，所以 f(a21)f(a 2)故选 D.5函数 y 的单调递增区间是( )5 4x x2A(，2) B5，2C(2，) D2,1答案：B解析：设 y ，则 u0 ， )，y 单调递增，u u令 u54xx 2，u0.则 x 5,1x5 ，2时，u54x x 2 为增函数，由复合函数单
5、调性得 y 的递5 4x x2增区间为 5，26函数 f(x)Error!的单调性为( )A在(0，)上是减函数B在(，0)上为增函数，在 (0，)上为减函数C不能判断其单调性D在(，)上是增函数答案：D解析：f(x) Error!的定义域为 R，由图象可知，f (x)在 R 上是增函数二、填空题(本大题共 3 个小题，每小题 5 分，共 15 分)7二次函数 y2x 23mx6 在(，6 上是减函数，则 m 的取值范围是_答案：(，8解析：依题意，抛物线开口向上，因为在(，6上是减函数，所以由 m6，得 m8.3m22 348设 x1，x 2 为函数 f(x)的定义域内的任意两个变量，有以下
6、几个命题：x 1x 20；x 1x 20； 0； 0.fx1 fx2x1 x2 fx1 fx2x1 x2其中能推出函数 f(x)为增函数的命题为_答案：解析：对于，因为 0，即 x1x 2 与 f(x1)f( x2)同号，即若 x1x 2，f(x 1)fx1 fx2x1 x2f(x 2)，若 x1 x2，f(x 1)f(x 2)，故函数 f(x)为增函数其他几个命题均不能推出 f(x)为增函数，故填.9若函数 f(x)的图象如图所示，则其单调递减区间是_ 答案：(1,1)解析：由函数 f(x)的图象可知，函数 f(x)的单调递减区间为(1,1) 三、解答题(本大题共 4 小题，共 45 分)1
7、0(12 分) 画出下列函数的图象，并写出单调区间：(1)f(x)|x|x2| ；(2)f(x)Error!.解：(1)由题意，得 f(x)Error!，作出图象如图 1，由图象知，函数的单调递减区间是(， 0)和(1,2)，单调递增区间是0,1和2 ，)(2)作出图象如图 2，由图象知，函数的单调递减区间是( ，0和(0，) 11(13 分)(1)证明：函数 f(x) 在(，0) 上是减函数；1x(2)证明：函数 f(x)x 3x 在 R 上是增函数证明：(1)设 x1，x 2 是( ，0) 上的任意两个实数，且 x1 x2，则 f(x1)f(x 2) .1x1 1x2 x2 x1x1x2因
8、为 x1，x 2(，0)，所以 x1x20，又因为 x1x 2，所以 x2x 10，则 0.x2 x1x1x2于是 f(x1)f(x 2)0，即 f(x1)f(x 2)因此函数 f(x) 在(，0)上是减函数1x(2)设 x1，x 2 是 R 上的任意两个实数，且 x1x 2，则 x2x 10，而 f(x2)f(x 1)(x x 2)(x x 1)32 31(x 2 x1)(x x 2x1x )(x 2x 1)2 21(x 2 x1)(x x 2x1x 1)2 21(x 2 x1)(x2 )2 x 1 x12 3421因为(x 2 )2 x 10，x 2x 10，所以 f(x2)f (x1)0
9、，即 f(x2)f (x1)x12 3421因此函数 f(x)x 3x 在 R 上是增函数能力提升12(5 分) 设函数 f(x)是( ，) 上的减函数，则( )Af(a)f(2 a) Bf(a 2)f (a)Cf(a 2a)f(a) Df(a 2 1)f (a)答案：D解析：判断出自变量值的大小即可由单调性得到函数值的大小关系13(15 分) 已知 f(x)的定义域为(0，) ，且在其定义域上为增函数，满足 f(xy)f (x)f(y)且 f(2)1 ，试解不等式 f(x)f (x2)3.解：f(x y)f(x)f( y)且 f(2)1f(4)f(2)f(2) 2f(8)f(4)f(2) 3f(x)f (x2)3fx(x 2)f(8)f(x)在(0，)上单调递增Error!解得 2x4f(x)f(x2)3 的解集 x|2x4
