1、第 3 章 单元检测(A 卷)(时间：120 分钟 满分：160 分)一、填空题(本大题共 14 小题，每小题 5 分，共 70 分)1已知向量 a(2，1,3)，b(4,2，x)，使 ab 成立的 x 与使 ab 成立的 x 分别为_2设 a(x,4,3)，b(3,2，z)，且 a b，则 xz 的值为_ 3已知直线 l 与平面 垂直，直线 l 的一个方向向量为 u(1，3，z)，向量v(3， 2,1)与平面 平行，则 z_.4若向量(1,0，z)与向量(2,1,2)的夹角的余弦值为 ，则 z_.255已知 a、b、c 是不共面的三个向量，则下列选项中能构成空间一个基底的一组向量是_(填序号
2、)2a，ab，a2b；2b，ba，b2a；a,2b，bc；c，ac，ac .6设点 C(2a1，a1,2)在点 P(2,0,0)、A (1，3,2)、B (8，1，4)确定的平面上，则a_.7设直线 a，b 的方向向量是 e1，e 2，平面 的法向量是 n，则下列命题中错误的是_(写出所有错误命题的序号 )Error! b ； Error! ab；Error! b ； Error! b .8如图所示，已知正四面体 ABCD 中，AE AB，CF CD，则直线 DE 和 BF 所成角的余弦值为14 14_9二面角的棱上有 A、B 两点，直线 AC、BD 分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直于
3、 AB.已知 AB4，AC6，BD 8，CD2 ，则该二面角的大小为17_10若两个不同平面 ， 的法向量分别为 u(1,2，1)，v(3，6,3) ，则 与 的关系为_11在三棱柱 ABCA1B1C1 中，底面是棱长为 1 的正三角形，侧棱 AA1底面 ABC，点 D 在棱 BB1 上，且 BD1 ，若 AD 与平面 AA1C1C 所成的角为 ，则 sin 的值是_12如果平面的一条斜线与它在这个平面上的射影的方向向量分别是 a(1,0,1)，b(0,1,1)，那么这条斜线与平面所成的角是_13已知力 F1(1,2,3)，F 2( 2,3，1)，F 3(3，4,5)，若 F1，F 2，F 3
4、 共同作用于同一物体上，使物体从 M1(0，2，1)移到 M2(3,1,2)，则合力作的功为 _14若 a(2x,1,3)，b(1，2y,9)，且 a b，则 x_ ，y_.二、解答题(本大题共 6 小题，共 90 分)15(14 分) 如图，四棱锥 P ABCD 中，底面 ABCD 为矩形，PA 底面 ABCD，PA AB ，点 E 是棱 PB 的中点证明：AE2平面 PBC.16(14 分) 在几何体 ABCDE 中，ABC 是等腰直角三角形，ABC90，BE 和 CD都垂直于平面 ABC，且 BEAB2，CD1，若 F 是 AE 的中点求证：DF平面ABC.17(14 分)如图，在空间四
5、边形 OABC 中，OA8，AB6，AC4，BC5，OAC45，OAB60，求 OA 与 BC 所成角的余弦值18.(16 分)如图所示，已知点 P 在正方体 ABCDABC D的对角线 BD上，PDA 60.(1)求 DP 与 CC所成角的大小；(2)求 DP 与平面 AADD 所成角的大小19(16 分) 在四棱锥 PABCD 中，底面 ABCD 是一直角梯形，BAD90，ADBC，AB BCa，AD2a，且 PA底面 ABCD，PD 与底面所成的角为 30.(1)若 AEPD，垂足为 E，求证：BEPD ；(2)求异面直线 AE 与 CD 所成角的余弦值20.(16 分)如图，正方形 A
6、BCD 和四边形 ACEF 所在的平面互相垂直，CEAC ，EFAC，AB， CEEF 1.2(1)求证：CF平面 BDE；(2)求二面角 ABED 的大小第 3 章 空间向量与立体几何 (A)1. ，6103解析 若 ab，则823x0，x ；103若 a b，则 2(4)( 1) 23x ，x6.29解析 a(x,4,3)，b(3,2，z)，且 a b，存在实数 使得 a b，Error! 解得Error! xz9.39解析 l，u v，(1，3，z)(3，2,1)0，即 36z0，z9.42 或12解析 由题知1，0，z2，1，21 z23 ，2 2z1 z23 25即 2z25z 20
7、，得 z2 或 .125解析 a，b 不共线，由共线向量定理知由 a，b 表示出的向量与 a，b 共面，即、中的向量因共面不能构成空间一个基底，同理中的三向量也不能构成空间一个基底616解析 (1，3,2)， (6 ，1,4)PA PB 根据共面向量定理，设 x y (x、yR)，PC PA PB 则(2a1，a1,2)x (1，3,2)y(6，1,4) (x 6y，3xy,2x4y)，Error! 解得 x7，y 4，a16.78.413解析 因四面体 ABCD 是正四面体，顶点 A 在底面 BCD 内的射影为BCD 的垂心，所以有 BCDA，AB CD .设正四面体的棱长为 4，则 ( )
8、( )0BF DE BC CF DA AE 041cos 12014cos 1204，BFDEBC AE CF DA ，所以异面直线 DE 与 BF 的夹角 的余弦值42 12 241cos 60 13为：cos .|BF DE |BF |DE | 413960解析 由条件，知 0， 0， .CA AB AB BD CD CA AB BD | |2| |2| |2| |22 2 2 CD CA AB BD CA AB AB BD CA BD 6 24 28 2268cos ， (2 )2，CA BD 17cos ， ，即 ， 120，所以二面角的大小为 60.CA BD 12 CA BD 10
9、解析 v3u ，v u.故 .11.64解析 如图所示，建立坐标系，易求点 D ，(32，12，1)平面 AA1C1C 的一个法向量是n(1,0,0)，所以 cosn， ，AD 322 64即 sin .641260解析 cos ，60.ab|a|b| 121316解析 合力 FF 1F 2F 3(2,1,7) ，F 对物体作的功即为 WF (2,1,7)(3,3,1) 231371 16.M1M2 14. 16 32解析 a b， ，2x1 1 2y 39x ，y .16 3215证明 如图所示，以 A 为坐标原点，射线 AB、AD、AP 分别为 x 轴、y 轴、z 轴的正半轴，建立空间直角
10、坐标系 Axyz.设 D(0，a,0) ，则 B( ，0,0) ， C( ，a,0) ，2 2P(0,0， )，E( ，0， )222 22于是 ( ，0， )， (0 ，a,0)， ( ，a， )，AE 22 22 BC PC 2 2则 0， 0.AE BC AE PC 所以 ， ，AE BC AE PC 即 AEBC，AEPC.又因为 BCPCC，所以 AE平面 PBC.16证明 如图所示，以点 B 为原点，BA、BC、BE 所在直线分别为 x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系，则B(0,0,0)，A (2,0,0)，C(0,2,0)，D(0,2,1)，E(0,0,2)由中点坐标公式
11、知 F(1,0,1) (1 ，2,0) ， (0,0,2)DF BE BE平面 ABC， 是平面 ABC 的一个法向量BE (1，2,0)(0,0,2)0，DF BE .DF BE 又DFD 平面 ABC，DF平面 ABC.17解 因为 ，BC AC AB 所以 OA BC OA AC OA AB | | |cos ， | | |cos ， OA AC OA AC OA AB OA AB 84cos 13586cos 12016 24.2所以 cos ， OA BC OA BC |OA |BC | .24 16285 3 225即 OA 与 BC 所成角的余弦值为 .3 22518解 如图所示
12、，以 D 为原点， DA 为单位长度建立空间直角坐标系 Dxyz.(1) (1,0,0)， (0,0,1)DA CC 连结 BD，B D.在平面 BBD D 中，延长 DP 交 B D于 H.设 ( m，m, 1) (m0)，由已知 ， 60，DH DH DA 由 DA DH | | |cos ， ，DA DH DH DA 可得 2m .2m2 1解得 m ，所以 .22 DH ( 22，22，1)因为 cos ， DH CC ，22 0 22 0 1112 22所以 ， 45 ，即 DP 与 CC所成的角为 45.DH CC (2)平面 AADD 的一个法向量是 (0,1,0)DC 因为 cos ， ，DH DC 22 0 22 1 1012 12所以 ， 60，DH DC 可得 DP 与平面 AADD 所成的角为 30.19(1)证明 以 A 为坐标原点，
