1、第 3 章 导数及其应用(B)(时间：120 分钟 满分：160 分)一、填空题(本大题共 14 小题，每小题 5 分，共 70 分)1直线 ykx1 与曲线 y x3axb 相切于点 A(1，3)，则 b 的值为_2已知函数 f(x)(5x3)ln x，则 f _.(13)3如果函数 yf( x)的图象如图，那么导函数 yf (x) 的图象可能是以下四个中的_4M 按规律 s2t 23 做直线运动(位移单位：m，时间单位：s)，则质点 M 在 t2 时的瞬时速度是_m/s.5.如图，函数 yf( x)的图象在点 P 处的切线方程是 y2x9，P 点的横坐标是 4，则f(4)f(4)_.6设方
2、程 x33x k 有 3 个不等的实根，则常数 k 的取值范围是_7已知 a 为实数，f(x )(x 24)(xa) ，且 f( 1)0，则 a_.8设 f(x)为偶函数，若曲线 yf (x)在点(1，f(1) 处的切线的斜率为 1，则该曲线在点(1，f( 1)处的切线的斜率为 _9某商场从生产厂家以每件 20 元购进一批商品，若该商品零售价定为 p 元，销售量为 Q，则销售量 Q(单位：件) 与零售价 p(单位：元) 有如下关系：Q8 300170pp 2.则最大毛利润为(毛利润销售收入进货支出 )_元10若不等式 x 23xa 对任意 x0,2恒成立，则实数 a 的取值范围为x33_11若
3、函数 f(x)x 33x a 在区间 0,3上的最大值、最小值分别为 m、n，则mn_.12若 f(x) x2bln( x2)在(1，) 上是减函数，则 b 的取值范围是12_13设函数 f(x)ax 33x 1 (xR)，若对于 x1，1，都有 f(x)0，则实数 a 的值为_14已知函数 f(x)x 3ax 2 bxc，x2,2 表示过原点的曲线，且在 x1 处的切线的倾斜角均为 ，有以下命题：34f(x)的解析式为 f(x)x 34x，x 2,2f(x)的极值点有且只有一个f(x)的最大值与最小值之和等于零其中正确命题的序号为_二、解答题(本大题共 6 小题，共 90 分)15(14 分
4、) 若函数 f(x) x3 ax2( a1)x1 在区间(1,4)上为减函数，在区间13 12(6，) 上为增函数，试求实数 a 的取值范围16.(14 分) 已知函数 f(x)x 3ax 2bxc 在 x 与 x1 时都取得极值23(1)求 a，b 的值与函数 f(x)的单调区间；(2)若对 x1,2，不等式 f(x)ln 21 且 x0 时，e xx22ax1.20.(16 分) 已知函数 f(x)x 2ln x.(1)求函数 f(x)在 1，e 上的最大值和最小值；(2)求证：当 x(1，)时，函数 f(x)的图象在 g(x) x3 x2 的下方23 12第 3 章 导数及其应用(B)1
5、3解析 令 yf( x)，y x 3axby3x 2a，f(1)3ak ，又 3k 1 1k 2，a1，31 3(1)1 bb3.2145ln 3解析 f(x)5ln x 5ln x 5 ，5x 3x 3xf 5ln 59145ln 3.(13) 133解析 如图，由 yf(x )图象知，当 x0；在(x 1,0)上，y f(x)是减少的，故 f(x )0；在 xx2 时，yf(x)是减少的，故 f(x)0，右侧 L(p)0，f(x )是增加的当 x1 时，f( x)取得最小值 .53a1 或 x0，当10，故x 22xb0 在(1，)上恒成立，即 x22xb0 在(1，)上恒成立又函数 yx
6、 22x b 的对称轴 x1，故要满足条件只需(1) 22(1) b0，即 b1.134解析 若 x0，则不论 a 取何值，f (x)0，显然成立；当 x0，即 x (0,1时，f(x)ax 33x10 可转化为 a ，3x2 1x3设 g(x) ，则 g(x) .3x2 1x3 31 2xx4所以 g(x)在区间 上单调递增，在区间 上单调递减，(0，12) (12，1因此 g(x)maxg 4，从而 a4；(12)当 x0 ，a x1.x2 1x 1又x1(7 ，)，a 7，同时成立，5a7.经检验 a5 或 a7 都符合题意所求 a 的取值范围为 5a7.16解 (1)f(x)x 3ax
7、 2bxc ，f(x)3x 22ax b，由 f ab0，( 23) 129 43f(1)32ab0 得 a ，b2.12f(x)3x 2x2(3x 2)(x1)，令 f(x )0，得 x1，23令 f(x )f(2)2c ，得 c2.17解 (1)f( x)3x 22ax.因为 f(1)32a3，所以 a0.又当 a0 时，f(1)1，f(1)3，所以曲线 yf(x )在点(1 ，f(1)处的切线方程为3xy20.(2)令 f(x) 0 ，解得 x10，x 2 .2a3当 0，即 a0 时，f(x )在0,2上单调递增，2a3从而 f(x)maxf(2) 84a.当 2，即 a3 时，f(x
8、 )在0,2上单调递减，2a3从而 f(x)maxf(0) 0.当 0ln 21 时，g(x)取最小值为 g(ln 2) 2(1ln2a)0.于是对任意 xR ，都有 g( x)0，所以 g(x)在 R 内单调递增于是当 aln 2 1 时，对任意 x(0 ，)，都有 g(x)g(0)而 g(0)0，从而对任意 x(0，) ，都有 g(x)0.即 exx 22ax10，故 exx22ax1.20(1)解 f (x)x 2ln x ，f(x)2x .1xx1 时，f(x )0，故 f(x)在 1，e上是增函数，f(x)的最小值是 f(1)1，最大值是 f(e)1e 2.(2)证明 令 F(x)f(x )g( x) x2 x3ln x，12 23F(x)x2x 2 1x x2 2x3 1x x2 x3 x3 1x 1 x2x2 x 1xx1，F ( x)0，F(x) 在(1 ，) 上是减函数，F(x)F(1) 0.12 23 16f(x)g( x)故当 x(1 ，)时，函数 f(x)的图象在 g(x) x3 x2 的下方23 12
