1、23 双曲线23.1 双曲线的标准方程学习目标 1.了解双曲线的标准方程.2.会求双曲线的标准方程 .3.会用双曲线的标准方程处理简单的实际问题知识链接1与椭圆类比，能否将双曲线定义中“动点 M 到两定点 F1、F 2 距离之差的绝对值为定值2a”中， “绝对值”三个字去掉答：不能否则所得轨迹仅是双曲线一支2如何判断双曲线 1(a0 ，b0)和 1(a0，b0)的焦点位置？x2a2 y2b2 y2a2 x2b2答：x 2 系数是正的焦点在 x 轴上，否则焦点在 y 轴上预习导引1双曲线的定义把平面内到两个定点 F1，F 2 的距离的差的绝对值等于常数(小于 F1F2 的正数) 的点的轨迹叫做双
2、曲线，这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距2双曲线的标准方程焦点在 x 轴上 焦点在 y 轴上标准方程 1(a0，b0)x2a2 y2b2 1(a0，b0)y2a2 x2b2焦点 F1(c,0) ，F 2(c,0) F1(0，c)，F 2(0，c )焦距 F1F22c ， c2a 2b 2要点一 求双曲线的标准方程例 1 根据下列条件，求双曲线的标准方程(1)经过点 P(3， )，Q( ，5)；154 163(2)c ，经过点(5,2)，焦点在 x 轴上6解 (1)方法一 若焦点在 x 轴上，设双曲线的方程为 1( a0，b0)，x2a2 y2b2点 P(3， )和 Q(
3、 ，5)在双曲线上，154 163Error!解得Error! (舍去)若焦点在 y 轴上，设双曲线的方程为 1(a0，b0)，y2a2 x2b2将 P、Q 两点坐标代入可得Error!解之得Error!双曲线的标准方程为 1.y29 x216方法二 设双曲线方程为 1(mn0，b0) x2a2 y2b2依题设有Error!解得Error!所求双曲线的标准方程为 y 21.x25方法二 焦点在 x 轴上，c ，6设所求双曲线方程为 1( 其中 00，b0) ，则Error!解得Error!y2a2 x2b2双曲线的方程为 1.y216 x29(2)方法一 设双曲线方程为 1( a0，b0)x2
4、a2 y2b2由题意易求得 c2 .5又双曲线过点(3 ，2)， 1.2(3r(2)2a2 4b2又a 2b 2(2 )2，a 212，b 28.5故所求双曲线方程为 1.x212 y28方法二 设双曲线方程为 1 (4 0，它表示焦点在 x 轴上的椭圆1cos 1sina(3)当 90时，方程为 y21.它表示两条平行直线 y1.(4)当 90 )x22 y26 2规律方法 求解与双曲线有关的点的轨迹问题，常见的方法有两种：(1)列出等量关系，化简得到方程；(2)寻找几何关系，由双曲线的定义，得出对应的方程求解双曲线的轨迹问题时要特别注意：(1)双曲线的焦点所在的坐标轴； (2)检验所求的轨
5、迹对应的是双曲线的一支还是两支跟踪演练 3 如图所示，已知定圆 F1：(x5) 2y 21，定圆 F2：(x5) 2y 24 2，动圆 M 与定圆 F1，F 2 都外切，求动圆圆心 M 的轨迹方程解 圆 F1：( x5) 2y 21，圆心 F1(5,0)，半径 r11；圆 F2：( x5) 2y 24 2，圆心 F2(5,0)，半径 r24.设动圆 M 的半径为 R，则有 MF1R1，MF 2R4，MF 2MF 131，则关于 x，y 的方程 (1k)x 2y 2k 21 所表示的曲线是_答案 焦点在 y 轴上的双曲线解析 将已知方程化为标准形式，根据项的系数符号进行判断原方程可化为 1.y2
6、k2 1 x21 kk1，k 2 10,1k 0.已知方程表示的曲线为焦点在 y 轴上的双曲线3过点(1,1)且 的双曲线的标准方程是_ ba 2答案 y 21 或 x 21x212y212解析 由于 ，b 22a 2.当焦点在 x 轴上时，设双曲线方程为 1，代入(1,1) 点，ba 2 x2a2 y22a2得 a2 .此时双12曲线方程为 y 21.同理求得焦点在 y 轴上时，x212双曲线方程为 x 21.y2124平面内有两个定点 F1(5,0)和 F2(5,0)，动点 P 满足 PF1PF 26，则动点 P 的轨迹方程是_答案 1( x3)x29 y216解析 根据双曲线的定义可得1
7、.双曲线定义中|PF 1PF 2|2a (2ab 不一定成立要注意与椭圆中 a，b，c 的区别在椭圆中a2b 2c 2，在双曲线中 c2a 2b 2.3用待定系数法求双曲线的标准方程时，要先判断焦点所在的位置，设出标准方程后，由条件列出 a，b，c 的方程组如果焦点不确定要分类讨论，采用待定系数法求方程或用形如 mx2ny 21 (mn1解析 依题意应有 m10 ，即 m1.3已知 A(0， 5)、B(0,5)，PAPB 2a，当 a3 或 5 时，P 点的轨迹为_答案 双曲线一支或一条射线解析 当 a3 时，2a6，此时 AB10，点 P 的轨迹为双曲线的一支(靠近点 B)当 a5 时，2a
8、10，此时 AB10，点 P 的轨迹为射线，且是以 B 为端点的一条射线4设双曲线 C 的两个焦点为 ( ，0)，( ，0)，一个顶点是 (1,0)，则 C 的方程为2 2_答案 x 2y 21解析 由题意可知，双曲线的焦点在 x 轴上，且 c ，a 1，则 b2c 2a 21，2所以双曲线 C 的方程为 x2y 21.5已知动圆 M 过定点 B(4,0)，且和定圆(x4) 2y 216 相切，则动圆圆心 M 的轨迹方程为_答案 1x24 y212解析 设动圆 M 的半径为 r，依题意有 MBr，另设 A(4，0)，则有 MAr4，即MAMB4.亦即动圆圆心 M 到两定点 A、B 的距离之差的
9、绝对值等于常数 4，又 40)，另两边的斜率之积等于m(m0)求顶点 A 的轨迹方程，并且根据 m 的取值情况讨论轨迹的图形解 设顶点 A 的坐标为(x，y)，则kAB ，k AC .yx a yx a由题意，得 m，即 1(y0)yx a yx a x2a2 y2ma2当 m0 时，轨迹是中心在原点，焦点在 x 轴上的双曲线(两顶点除外)；当 m0)，则由 QF1QF 2，得 kQF1kQF21， 1，c5，5c 5 c设双曲线方程为 1(a 0，b0)，x2a2 y2b2双曲线过点 P(4 ，3)， 1，232a2 9b2又c 2a 2b 225，a 216，b 29，双曲线的标准方程为
10、1.x216 y299在平面直角坐标系 xOy 中，方程 1 表示焦点在 x 轴上的双曲线，则 k 的取值x2k 1 y2k 3范围为_答案 (1,3)解析 将方程化为 1，若表示焦点在 x 轴上的双曲线，则有 k10 且 3k 0，x2k 1 y23 k即 15，则 c2mm 59，m7；(2)当焦点在 y 轴上时，有 m1 时，方程变为 1，表示焦点在 y 轴上的椭圆x24k y24三、探究与创新13已知双曲线过点(3，2)且与椭圆 4x29y 236 有相同的焦点(1)求双曲线的标准方程；(2)若点 M 在双曲线上， F1、 F2 为左、右焦点，且 MF1MF 26 ，试判断MF 1F2 的形3状解 (1)椭圆方程可化为 1，焦点在 x 轴上，且 c ，故设双曲线方程为x29 y24 9 4 5 1(a0，b0)，x2a2 y2b2则有Error!解得 a23，b 22，所以双曲线的标准方程为 1.x23 y22(2)不妨设 M 点在右支上，则有 MF1MF 22 ，3又 MF1MF 26 ，3故解得 MF14 ，MF 22 ，又 F1F22 ，3 3 5因此在MF 1F2 中，MF 1 边最长，而 cosMF 2F1 0，MF2 F1F2 MF212MF2F1F2所以MF 2F1 为钝角，故 MF 1F2 为钝角三角形
