1、来源:W1乘方的意义(1)一般地， n 个相同的因数 a 相乘，即 ，记作 an，读作“ a 的 n次方” 求 n 个相同因数的积的运算，叫做乘方(2)幂：乘方的结果叫做幂在乘方运算 an中， a 叫做底数， n 叫做指数， an叫做幂，即(如图)(3)乘方是一种运算，是一种特殊的乘法运算(因数相同的乘法运算)，幂是乘方运算的结果也就是说， an既表示 n 个 a 相乘，又表示 n 个 a 相乘的结果(4)读法： an看作乘方运算时，读作 a 的 n 次方；当 an看作 a 的 n 次方的结果时，读作 a 的 n 次幂如 34中，底数是 3，指数是 4，读作 3 的 4 次方或 3 的 4 次
2、幂又如(3) 4中，底数是3，指数是 4，读作3 的 4 次方或3 的 4 次幂(5)一个数可以看作这个数本身的一次方例如：5 就是 51,51就是 5，指数 1 通常省略不写(6)底数是分数或负数时，要用括号把底数括起来，再在其右上角写指数，指数要写得小些如(1) 2， 2分别表示(1)(1)， .(12) 12 12(7)乘方是一种运算，是一种特殊的乘法运算(因数相同的乘法运算)，幂是乘方的运算结果，初中阶段学习六种运算，到现在为止，已经学习了有理数的加、减、乘、除、乘方五种第六种将在后面学习对乘方的理解 (1.3) 4与1.3 4意义不同，(1.3) 4的底数是1.3；而1.3 4的底数
3、是 1.3，它表示 1.34的相反数【例 1】 把下列各式写成乘方运算的形式，并指出底数、指数是什么(1)(1.3)(1.3)(1.3)(1.3)；(2) ；15 15 15 15 15 15(3) .分析：根据乘方的意义，先找相同因数是什么以确定底数，再数相同因数的个数以确定指数解：(1)(1.3)(1.3)(1.3)(1.3)；(1.3) 4，其中底数是1.3，指数是 4.(2) 6，15 15 15 15 15 15 (15)其中底数是 ，指数是 6.15(3) m2a，其中底数是 m，指数是 2a.2.乘方运算的法则可以根据有理数的乘法运算来进行有理数的乘方运算(1)负数的奇次幂是负数
4、，负数的偶次幂是正数(2)正数的任何次幂都是正数，0 的任何正整数次幂都是 0.解技巧 乘方运算技巧 进行乘方运算时，先根据符号法则确定符号，然后再把底数的绝对值相乘；底数是带分数时，要先把带分数化成假分数1 的偶次幂是 1，奇次幂是1,1 的任何次幂都是 1.【例 2】 计算：(1)(5) 4；(2)5 4；(3) 2；(4) ；(34) 324(5)(1) 101；(6) 2.来源:学优 WWW.ZK5U.COM( 113)分析：(1)(5) 4表示 4 个5 相乘；(2)5 4表示 4 个 5 相乘的相反数；(3) 2表(34)示 2 个 相乘；(4) 表示 32除以 4 的商的相反数；
5、(5)(1) 101表示 101 个1 相乘；34 324(6) 2表示 2 个1 相乘的相反数( 113) 13解：(1)(5) 4(5555)625；(2)5 45555625；(3) 2 ；(34) (3434) 916(4) ；324 334 94(5)(1) 101 1；(6) 2 .( 113) (4343) 1693科学记数法一般地，把一个大于 10 的数表示成 a10n的形式(其中 a 大于或等于 1 且小于 10， n是正整数)，这种记数的方法叫做科学记数法用科学记数法记数时，数的大小没有变化，只是数的书写形式发生了变化使用科学记数法的关键是：确定 a 的值，把要表示的数除以
6、 10n得到 a，或把要表示的数直接写成只有一位整数的数确定 n 的值，把某数的整数位数减 1.【例 31】 用科学记数法表示出下列各数：(1)845 000 000 000；(2)5 200 000 000；(3)123 150 000；(4)2 830 000.分析：(1) a 是 8.45；845 000 000 000 有 12 位整数，所以 n112111；(2)5 200 000 000 确定 a 是 5.2，因为整数位数是 10，所以 n11019；(3)(4)可仿照(1)(2)写出解：(1)845 000 000 0008.4510 11；(2)5 200 000 0005.2
7、10 9；(3)123 150 0001.231 510 8；(4)2 830 0002.8310 6.【例 32】 下列各数是用科学记数法表示的数，写出原来的数哦，5 480 000 不是大于 10 的数，能用科学记数法表示吗？5 480 000 小于 10，但它的绝对值大于 10，所以也可以用科学记数法表示，只是 a的值是负数罢了!无论是正数还是负数，只要 1| a|10 即可. 如5 480 000=5.4810 6.(1)106；(2)3.14103；(3)-1.204102；(4)1.732106.分析：本题是科学记数法的逆运用，原数的整数数位是 n1.解：题目 n 整数数位 得到原
8、数106 6 7 1 000 0003.14103 3 4 3 1401.20410 2 2 3 120.41.732106 6 7 1 732 000解技巧 科学记数法的理解 在把科学记数法表示的数还原成原数时，只要知道指数n 是多少，就将小数点向右移动多少位4近似数与精确度(1)准确数是与实际完全符合的数，近似数是与实际非常接近的数(2)产生近似数的主要原因：“计算”产生近似数如除不尽，有圆周率 参加计算的结果等；用测量工具测出的量一般都是近似数，如长度、重量、时间等；不容易得到，或不可能得到准确数时，只能得到近似数，如调查池塘中鱼的尾数，结果就只能是一个近似数；由于不必要知道准确数而产生
9、近似数(3)误差近似值与准确值的差，叫做误差，即误差近似值准确值误差可能是正数，也可能是负数，误差的绝对值越小，近似值就越接近准确值，也就是近似程度越高(4)精确度近似数与准确数的接近程度，通常用精确度表示近似数的精确度是指一个数的精确程度一般地，一个近似数四舍五入到哪一位，我们就说这个数精确到哪一位如一个近似数 M 精确到十分位后的近似值是 3.4，那么这个近似数 M 的取值范围是3.35 M3.45.具体的做法是一个近似数要求精确到哪一位，只要从它的下一位四舍五入即可，按要求求近似数不能连续从末位向前四舍五入如将数 3.024 6 四舍五入到百分位，应从 4 开始四舍五入得 3.02，而不
10、是从 6 开始得 3.03.【例 4】 求：(1)3.562 48(精确到千分位)；(2) 0.397(精确到 0.01)；(3)29 684(精确到千位)；(4)5(精确到百分位)分析：按四舍五入的方法取舍即可解：(1)3.562 483.562；(2)0.3970.40；(3)29 6842.968 410 43.010 4；(4)55.00.5有理数的混合运算有理数混合运算的顺序：(1)先乘方，再乘除，最后加减；(2)同级运算，从左到右进行；(3)如有括号，先做括号内的运算，按小括号、中括号、大括号依次进行通常把五种代数运算分成三级第一级是加减；第二级是乘除；第三级是乘方运算顺序规定：先
11、算高级运算，再算低级运算，同级运算，按从左到右的顺序进行解技巧 有理数混合运算技巧在进行有理数的混合运算中，先确定运算顺序，注意恰当使用运算定律含有多重括号时，去括号的一般方法是由内向外，即依次去掉小、中、大括号，也可以由外向内计算过程中应时时重视符号【例 5】计算：(1)(2) 4(4) 21 2；(12)(2)(3) 3 3.34 ( 23)2 23 ( 12)分析：先确定运算顺序，先算乘方，再算乘除，最后算加减，有括号的先算括号里的，同级运算从左到右进行，能使用运算律减缓计算的，注意使用解：(1)(2) 4(4) 21 2(12)16(4) 114(4) 1112；14(2)(3) 3
12、334 ( 23)2 23 ( 12)27 34 (49 8) ( 18)27 613 1821 .5246.用四舍五入法按要求求近似值精确度的表述方法用四舍五入法按要求求近似值精确度有以下两种表述方法：(1)精确到哪一位，如：精确到个位(精确到 1)、精确到十分位(精确到 0.1)、精确到百分位(精确到 0.01)等；(2)保留若干位小数，如保留 2 位小数等警误区 求近似数时的错误 取近似数不一定都用“四舍五入”法，在实际问题中有时就不能用四舍五入法，而是采用“进一”或去尾法，即无论下一位是多少，都要向前进一，或都舍去【例 61】按要求求下列各数的近似值(1)0.169 5(精确到千分位
13、)；(2)0.534 9(精确到百分位)；(3)2.715 万(精确到百位)分析：用四舍五入法时，只看要精确的数位的下一位，如 0.534 9 精确到百分位，只看千分位上的 4，万分位上的 9 不能向前进一；2.715 万精确到百位，不能写成 27 200.解：(1)0.169 50.170；(2)0.534 90.53；(3)2.715 万27 1502.71510 42.7210 4.【例 62】一辆卡车最多能装 4 吨沙子，现有沙子 79 吨，能装满几辆卡车？要将沙子全部运走，至少需要几辆卡车？分析：取近似值要根据实际情况，选择采用进一法还是去尾法解：79419.75.所以最多能装满 1
14、9 辆卡车要全部运走则至少需要 20 辆卡车7.有理数乘方的综合运用乘方作为一种运算，不仅应用在混合运算中，还常常应用在判断、数的大小比较及化简求值中关键要熟练乘方的符号法则，当指数奇偶性不明确时，要分类讨论，当指数是偶数时，理解幂的非负性，如 a20，与| a|0 一致析规律 有理数乘方的理解(1)( a)n(1) nan，当 n 为偶数时，( a)n an；当 n 为奇数时，( a)n an.(2)a2 b 的最小值是 b， a2 b 的最大值是 b.【例 7】下列各式(1) a20；(2)( a)4 a4；(3)( a)3 a3；(4)( a2) 20；(5)(a1) 220；(6)若(
15、2) m0，则(1) m1；(7)( a1) 22 的最小值是 2；(8)7( a3) 2的最大值为 7，其中正确的个数是( )A6 B5 C4 D7解析：(1)若 a0，则 a20，错(2)相反数的偶次方相等，正确(3)( a)3 a3，错(4)若 a2，则( a2) 20，错(5)(a1) 20，( a1) 220，正确(6)若(2) m0，则 m 是偶数，(1) m1，正确(7)(a1) 20，( a1) 222，正确(8)( a3) 20，所以 7( a3) 27，正确答案：B8利用乘方解决倍增、倍减问题倍增倍减就是指每一变化都以相同的倍数增加或减少，这是日常生活中常见的数量变化问题，
16、如细胞分裂，事物变换过程中的翻番问题等这类问题，一般是以 2 的倍数增减，总是在前一个的基础上乘以 2，或 ，所以总是以122 或 的 n 次方的形式增加或减少如：在数据变化上呈现出 2,4,8,16,32增大趋势，或12呈现出 ， ，的减少趋势解法上要注意分析观察数据的变化特点，寻找顺序与数121418116据之间的变化关系，同时要注意基础量，即从哪个数开始变化的，再根据题意，由特殊到一般，发现变化规律，写出结果【例 81】 拉面馆拉面时，先把一个面团拉开，然后对折，再拉开，再对折，如此往复，对折 10 次后，会拉出多少根面条呢？解：拉出的面条数是：2 101 024(根)答：对折 10 次
17、可拉出 1 024 根面条【例 82】如图所示，把一个面积为 1 的正方形等分成两个面积为 的长方形，接着12把面积为 的长方形等分成两个面积为 的正方形，再把面积为 的正方形等分，如此进行下12 14 14去试根据图形计算：第 8 次等分后得到的小正方形的面积是多少？解：观察图形可知，每一次按 的倍数递减，所以第 n 次等分后得到的小正方形面积是12的 n 次方，所以第 8 次等分后得到的小正方形面积为 8.12 (12)9.利用乘方解决规律性问题乘方运算是新学的一种重要的计算方法，乘方运算中有很多规律性变化，目前主要有三种：一个数的乘方运算中，个位数字总是呈现一定的循环规律，乘方运算中的数
18、或数列的变化呈现一定的规律性，如：2,4，8，16，32，等式运算中的规律性变化，如：1 20 21,2 21 23,3 22 25，4 23 27，.乘方运算中规律性变化灵活多样，有时还伴有符号的变化，并与和、差、等式相结合，更不容易发现其中的规律，因此识别较难解技巧 规律型问题解法 由特殊到一般，发现探索规律，是解决这类问题的关键，要注意观察：一是看参与计算的数与顺序间的变化规律，二是看结果的变化与顺序之间的规律由特殊入手，猜想、验证，得出正确结论【例 91】 观察下列各式：111 2；1342 2；13593 2；1357164 2，.请猜想前 15 个奇数的和是_解析：1 个奇数等于
19、12，前 2 个奇数的和等于 22，前 3 个奇数的和等于 32，猜想前15 个奇数的和是 152.答案：135792915 2225【例 92】 观察下列算式：212,2 24,2 38,2 416,2 532,2 664,2 7128，通过观察，用你所发现的规律确定 227的个位数字是( )A2 B4 C6 D8解析：观察式子的变化发现，从 2 的 1,2,3,4,5，次方的结果看，个位数以2,4,8,6,2,4，循环，所以每四次一循环，而 2746 余 3，所以 227的个位数字是 8.故选 D.答案：D【例 93】 观察下面一列数：2,5,10， x,26,37,50，65，根据规律，其中 x 表示的数是_解析：观察数列发现，每个数都是对应的顺序号的平方加 1，即21 21,52 21,103 21，所以它们之间的排列规律是 n21，所以 x4 21，所以 x17.答案：17
