1、3.1.5 空间向量的数量积课时目标 1.掌握空间向量的夹角及空间向量数量积的概念.2.掌握空间向量的运算律及其坐标运算.3.掌握空间向量数量积的应用1两向量的夹角如图所示，a,b 是空间两个非零向量，过空间任意一点 O，作 a， b，则OA OB _叫做向量 a 与向量 b 的夹角，记作_如果a，b ，那么向量 a，b_，记作_22数量积的定义已知两个非零向量 a，b，则_叫做向量 a，b 的数量积，记作 ab.即 ab_.零向量与任一向量的数量积为 0.特别地，aa|a|a|cosa， a_.3数量积的运算律空间向量的数量积满足如下的运算律：(a)b (ab) (R)；abba；a(bc)
2、abac .4数量积的坐标运算若 a(a 1，a 2，a 3)，b( b1，b 2，b 3)，则(1)ab_；(2)a b_；(3)|a| _；aa(4)cos a，b _ _.一、填空题1若 a，b 均为非零向量，则 ab|a|b| 是 a 与 b 共线的_ 条件2已知 a，b 均为单位向量，它们的夹角为 60，那么| a3b| _.3已知向量 a(0，1,1)，b(4,1,0)，| ab| 且 0，则 _.294若 a、b、c 为任意向量，下列命题是真命题的是_(写出所有符合要求的序号)若|a| |b|，则 ab；若 abac，则 bc ；(ab) c( bc)a( ca)b；若|a| |
3、b|，且 a 与 b 夹角为 45，则(ab) b.25已知向量 a(2，3,0)，b(k,0,3)，若 a 与 b 成 120角，则 k_.6.设 O 为坐标原点，向量 (1,2,3)， (2,1,2)， (1,1,2)，点 Q 在直线 OP 上OA OB OP 运动，则当 取得最小值时，点 Q 的坐标为_QA QB 7向量(a3b)(7 a5b)，(a4b)(7 a2b)，则 a 和 b 的夹角为_8若向量 a，b 满足|a| 1， |b|2，且 a 与 b 的夹角为 ，则 |ab|_.3二、解答题9.如图，已知在空间四边形 OABC 中，OBOC，ABAC.求证：OABC.10.在正四面
4、体 ABCD 中，棱长为 a，M、N 分别是棱 AB、CD 上的点，且MB2AM，CN ND，求 MN.12能力提升11.如图所示，已知线段 AB 在平面 内，线段 AC，线段 BDAB，且AB7，ACBD24，线段 BD 与 所成的角为 30，求 CD 的长12在直三棱柱 ABCA1B1C1 中，AC BC1，BCA90，AA 12, 并取A1B1、A 1A 的中点分别为 P、Q .(1)求 的长；（2）求 cos ， ，cos ， ，并比较 ， 与 ， 的大小；BQ CB1 BA1 CB1 BQ CB1 BA1 CB1 (3)求证： .AB1 C1P 1数量积可以利用基底或坐标两种形式进行
5、运算选择基底时，应注意三个基向量的长度，两两之间的夹角应该是确定的；当所选基向量两两互相垂直时，用坐标运算更为方便2利用数量积可以求向量的长度和向量的夹角31.5 空间向量的数量积知识梳理1AOB a，b 互相垂直 a b2|a|b|cos a ，b |a|b|cosa，b |a| 24(1)a 1b1a 2b2a 3b3 (2) ab0 a 1b1a 2b2a 3b30 (3) a21 a2 a23(4) ab|a|b| a1b1 a2b2 a3b3a21 a2 a23b21 b2 b23作业设计1充分不必要解析 ab|a|b |cosa，b | a|b|cosa，b1 a，b0，但当 a
6、与 b 反向时，不能成立2. 13解析 |a3 b|2( a3b) 2a 26a b9b 216cos 60913.|a3b| .1333解析 a(0，1,1)，b(4,1,0)，ab(4,1 ，)|ab| ，16(1) 2 229.293 或 2.0 ，3.4解析 两个向量的等价条件是模长相等且方向相同，故命题错；ab|a|b |cos a，b ，而 ac|a|c|cosa，c ，于是由 abac 推出的是|b|cos a，b|c|cosa，c ，故命题错；向量的数量积运算不满足结合律，故命题错；(ab) bab b2b 2b 20，故命题正确5 39解析 cosa，b ，得 k .又 k ， BQ CB1 BA1 CB1 (3)证明 AB1 C1P (1,1,2) 0， .(12，12，0) AB1 C1P
