【创新设计-课堂讲义】高中数学（苏教版选修2-2）课时作业与单元检测：第3章 3.1数系的扩充.doc

1、明目标、知重点 1.了解引入虚数单位 i 的必要性，了解数集的扩充过程.2.理解在数系的扩充中由实数集扩展到复数集出现的一些基本概念.3.掌握复数代数形式的表示方法，理解复数相等的充要条件1复数的有关概念(1)复数定义：形如 abi 的数叫做复数，其中 a，bR，i 叫做虚数单位a 叫做复数的实部，b 叫做复数的虚部表示方法：复数通常用字母 z 表示，即 zabi.(2)复数集定义：全体复数所组成的集合叫做复数集表示：通常用大写字母 C 表示2复数的分类及包含关系(1)复数(abi，a，bR)Error!(2)集合表示：3复数相等的充要条件设 a，b，c，d 都是实数，那么 abi cdiac

2、 且 bd.情境导学为解决方程 x22，数系从有理数扩充到实数数的概念扩充到实数集后，人们发现在实数范围内很多问题还不能解决，如从解方程的角度看，象 x21 这个方程在实数范围内就无解，那么怎样解决方程 x21 在实数系中无根的问题呢？我们能否将实数集进行扩充，使得在新的数集中，该问题能得到圆满解决呢？本节我们就来研究这个问题探究点一 复数的概念思考 1 为解决方程 x22，数系从有理数扩充到实数；那么怎样解决方程 x210 在实数系中无根的问题呢？答 设想引入新数 i，使 i 是方程 x210 的根，即 ii1，方程 x210 有解，同时得到一些新数思考 2 如何理解虚数单位 i?答 (1)

3、i 21.(2)i 与实数之间可以运算，亦适合加、减、乘的运算律(3)由于 i20 与实数集中 a20(aR )矛盾，所以实数集中很多结论在复数集中不再成立(4)若 i21，那么 i4n1 i，i 4n2 1，i 4n3 i ，i 4n1.思考 3 什么叫复数？怎样表示一个复数？答 形如 abi(a，bR)的数叫做复数，复数通常用字母 z 表示，即 zabi ，这一表示形式叫做复数的代数形式，其中 a、b 分别叫做复数 z 的实部与虚部思考 4 什么叫虚数？什么叫纯虚数？答 对于复数 zabi(a，bR )，当 b0 时叫做虚数；当 a0 且 b0 时，叫做纯虚数思考 5 复数 mni 的实部

4、、虚部一定是 m、n 吗？答 不一定，只有当 mR，nR，则 m、n 才是该复数的实部、虚部例 1 请说出下列复数的实部和虚部，并判断它们是实数，虚数还是纯虚数23i；3 i； i； i；0.12 2 3解 的实部为 2，虚部为 3，是虚数；的实部为3，虚部为 ，是虚数；的实部为 ，12 2虚部为 1，是虚数；的实部为 ，虚部为 0，是实数；的实部为 0，虚部为 ，是纯3虚数；的实部为 0，虚部为 0，是实数反思与感悟 复数 abi 中，实数 a 和 b 分别叫做复数的实部和虚部特别注意，b 为复数的虚部而不是虚部的系数，b 连同它的符号叫做复数的虚部跟踪训练 1 符合下列条件的复数一定存在吗

5、？若存在，请举出例子；若不存在，请说明理由(1)实部为 的虚数；2(2)虚部为 的虚数；2(3)虚部为 的纯虚数；2(4)实部为 的纯虚数2解 (1)存在且有无数个，如 i 等；(2) 存在且不唯一，如 1 i 等；(3)存在且唯一，2 2即 i；(4)不存在，因为纯虚数的实部为 0.2例 2 当实数 m 为何值时，复数 z (m 22m)i 为(1) 实数；(2)虚数；(3) 纯虚m2 m 6m数解 (1)当Error!，即 m2 时，复数 z 是实数；(2)当Error!即 m0 且 m2 时，复数 z 是虚数；(3)当Error!即 m3 时，复数 z 是纯虚数反思与感悟 利用复数的概念

6、对复数分类时，主要依据实部、虚部满足的条件，可列方程或不等式求参数跟踪训练 2 实数 m 为何值时，复数 z (m 2 2m3)i 是(1)实数；(2) 虚数；(3)mm 2m 1纯虚数解 (1)要使 z 是实数， m 需满足 m22m30，且 有意义即 m10，解得mm 2m 1m3.(2)要使 z 是虚数， m 需满足 m22m30，且 有意义即 m10，解得 m1 且mm 2m 1m3.(3)要使 z 是纯虚数， m 需满足 0，m 10，mm 2m 1且 m22m30，解得 m0 或 m2.探究点二 两个复数相等思考 1 两个复数能否比较大小？答 如果两个复数不全是实数，那么它们不能比

7、较大小思考 2 两个复数相等的充要条件是什么？答 复数 abi 与 cdi 相等的充要条件是 ac 且 bd(a，b，c，dR) 例 3 已知 x，y 均是实数，且满足(2x1)iy (3 y)i，求 x 与 y.解 由复数相等的充要条件得Error!解得Error!反思与感悟 两个复数相等，首先要分清两复数的实部与虚部，然后利用两个复数相等的充要条件可得到两个方程，从而可以确定两个独立参数跟踪训练 3 已知 (x 22x3)i(x R )，求 x 的值x2 x 6x 1解 由复数相等的定义得Error!解得：x3，所以 x3 为所求1已知复数 za 2(2b)i 的实部和虚部分别是 2 和

8、3，则实数 a，b 的值分别是_答案 ，52解析 令Error!，得 a ，b5.22下列复数中，满足方程 x220 的是_答案 i23如果 zm(m1)( m21)i 为纯虚数，则实数 m 的值为_答案 0解析 由题意知Error!，m 0.4下列几个命题：两个复数相等的一个必要条件是它们的实部相等；两个复数不相等的一个充分条件是它们的虚部不相等；1ai(aR)是一个复数；虚数的平方不小于 0；1 的平方根只有一个，即为i；i 是方程 x4 10 的一个根； i 是一个无理数2其中正确命题的个数为_答案 4解析 命题正确，错误呈重点、现规律1对于复数 zabi(a，bR )，可以限制 a，b

9、 的值得到复数 z 的不同情况；2两个复数相等，要先确定两个复数的实、虚部，再利用两个复数相等的条件进行判断.一、基础过关1 “复数 abi(a，bR)为纯虚数”是“a0”的_ 条件答案 充分不必要解析 若 abi(a，bR)为纯虚数，则 a0，b0.“abi(a，bR)为纯虚数”是“a0”的充分不必要条件2以 2i 的虚部为实部，以 i2i 2 的实部为虚部的新复数是_5 5答案 22i解析 设所求新复数 zabi(a，bR )，由题意知：复数 2i 的虚部为 2；复数 i2i 2 i2(1)2 i 的实部为5 5 5 52，则所求的 z22i.3若(x y)i x 1(x ，y R)，则

10、2xy 的值为_答案 1解析 由复数相等的充要条件知，Error!解得Error!xy0.2 xy 2 01.4若复数 z(x 21)(x1)i 为纯虚数，则实数 x 的值为_答案 1解析 由复数 z(x 21)(x1)i 为纯虚数得Error!解得 x1.5z 134i，z 2(n 23m1)(n 2m6)i，且 z1z 2，则实数m_，n_.答案 2 2解析 由 z1z 2 得Error!，解得Error!.6设 mR，m 2m2(m 21)i 是纯虚数，其中 i 是虚数单位，则 m_.答案 2解析 Error!m2.7已知(2xy1)( y2)i 0，求实数 x，y 的值解 (2xy1)

11、( y2)i 0，Error!解得Error!所以实数 x，y 的值分别为 ，2.12二、能力提升8若(x 21)(x 23x 2)i 是纯虚数，则实数 x 的值是_ 答案 1解析 由题意，得Error!解得 x1.9若 sin 2 1i( cos 1)是纯虚数，则 的值为_2答案 2k (kZ)4解析 由题意，得Error!，解得Error!(kZ )，2k ，kZ.410给出下列几个命题：若 x 是实数，则 x 可能不是复数；若 z 是虚数，则 z 不是实数；一个复数为纯虚数的充要条件是这个复数的实部等于零；1 没有平方根则其中正确命题的个数为_答案 1解析 因实数是复数，故错；正确；因复

12、数为纯虚数要求实部为零，虚部不为零，故错；因1 的平方根为i，故错故答案为 1.11.设 z1m 21(m 2m2)i，z 24m 2( m25m4)i，若 z1z2，求实数 m 的取值范围解 由于 z1z2，mR，z 1R 且 z2 R，当 z1R 时，m 2m20， m1 或 m2.当 z2R 时，m 25m40 ，m1 或 m4，当 m1 时，z 12，z 26，满足 z1z2.z 1z2 时，实数 m 的取值为 m1.12.已知复数(x2)y i(x，y R )的模为 ，求 的最大值3yx解 |x2yi| ，3(x2) 2y 2 3，故( x，y)在以 C(2,0)为圆心， 为半径的圆

13、上， 表示圆上的点(x ，y)与3yx原点连线的斜率如图，由平面几何知识，易知 的最大值为 .yx 3三、探究与拓展13实数 m 为何值时，复数 z (m 23m 18)i 是(1)实数；(2)虚数；(3) 纯虚2m2 m 3m 3数解 (1)要使所给复数为实数，必使复数的虚部为 0.故若使 z 为实数，则Error!，解得 m6.所以当 m6 时，z 为实数(2)要使所给复数为虚数，必使复数的虚部不为 0.故若使 z 为虚数，则 m23m180，且 m30，所以当 m6 且 m3 时，z 为虚数(3)要使所给复数为纯虚数，必使复数的实部为 0，虚部不为 0.故若使 z 为纯虚数，则Error!，解得 m 或 m1.32所以当 m 或 m1 时，z 为纯虚数32