1、空间中的垂直关系巩固1.PA 垂直于正方形 ABCD 所在平面，连结PB，PC，PD，AC，BD，则下列垂直关系正确的是( )面 PAB面 PBC 面 PAB面 PAD面 PAB面 PCD 面 PAB面 PACA BC D解析：选 A.易证 BC平面 PAB，则平面 PAB平面 PBC；又 AD BC，故 AD平面 PAB，则平面 PAD平面 PAB，因此选 A.2设 a、 b、 c 表示三条直线， 、 表示两个平面，则下列命题的逆命题不成立的是( )A c ，若 c ，则 B b ， c ，若 c ，则 b cC b ，若 b ，则 D b ， c 是 a 在 内的射影，若 b c，则 b
2、a解析：选 C.C 选项的逆命题为 b ，若 则 b .不正确，因为根据平面垂直的性质定理，如果两个平面垂直，其中一个平面内的直线只有垂直于交线的才垂直另一个平面故选 C.3若 l、 m、 n 是互不相同的空间直线， 、 是不重合的平面，则下列命题中为真命题的是( )A若 ， l ， n ，则 l nB若 ， l ，则 l C若 l n， m n，则 l mD若 l ， l ，则 解析：选 D.选项 A 中， l 除平行 n 外，还有异面的位置关系，则 A 不正确选项 B 中，l 与 的位置关系有相交、平行、在 内三种，则 B 不正确选项 C 中， l 与 m 的位置关系还有相交和异面，故 C
3、 不正确故选 D.4.已知 a、 b 是两条不重合的直线， 、 、 是三个两两不重合的平面，给出下列四个命题：若 a ， a ，则 ；若 ， ，则 ；若 ， a ， b ，则 a b；若 ， a， b，则 a b.其中正确命题的序号有_解析：垂直于同一直线的两平面平行，正确； 也成立，错； a、 b 也可异面，错；由面面平行性质知， a b，正确答案：5如图所示，在四棱锥 P ABCD 中， PA底面ABCD，且底面各边都相等， M 是 PC 上的一动点，当点 M 满足_时，平面 MBD平面 PCD.(只要填写一个你认为是正确的条件即可)解析：由定理可知， BD PC.当 DM PC(或 BM
4、 PC)时，即有 PC平面 MBD，而 PC平面 PCD，平面 MBD平面 PCD.答案： DM PC(或 BM PC 等)6如图，在四面体 ABCD 中， CB CD， AD BD，点 E、 F 分别是 AB、 BD 的中点，求证：(1)直线 EF平面 ACD；(2)平面 EFC平面 BCD.证明：(1)在 ABD 中，因为 E、 F 分别是 AB、 BD 的中点，所以 EF AD.又 AD平面 ACD， EF平面 ACD，所以直线 EF平面 ACD.(2)在 ABD 中，因为 AD BD，EF AD，所以 EF BD.在 BCD 中，因为 CD CB， F 为 BD 的中点，所以 CF B
5、D.因为 EF平面 EFC， CF平面 EFC，EF 与 CF 交于点 F，所以 BD平面 EFC.又因为 BD平面 BCD，所以平面 EFC平面 BCD.练习1若 m， n 是两条不同的直线， ， ， 是三个不同的平面，则下列命题中为真命题的是( )A若 m ， ，则 m B若 m， n， m n，则 C若 ， ，则 D若 m ， m ，则 解析：选 D.对于选项 D，若 m ，则过直线 m 的平面与平面 相交得交线 n，由线面平行的性质定理可得 m n，又 m ，故 n ，且 n ，故由面面垂直的判定定理可得 .2设 a、 b 是不同的直线， 、 是不同的平面，则下列四个命题中正确的是(
6、)A若 a b， a ，则 b B若 a ， ，则 a C若 a ， ，则 a D若 a b， a ， b ，则 解析：选 D.A 中， b 可能在 内；B 中， a 可能在 内，也可能与 平行或相交(不垂直)；C 中， a 可能在 内；D 中，a b， a ，则 b 或 b ，又 b ， .3.如图，在斜三棱柱 ABCA1B1C1中， BAC=90，BC1 AC，则 C1在底面 ABC 上的射影 H 必在( )A直线 AB 上B直线 BC 上C直线 AC 上D ABC 内部解析：选 A. BA AC， BC1 AC， BA BC1 B， AC平面 ABC1. AC平面 ABC，平面 ABC平
7、面 ABC1，且交线是 AB.故平面 ABC1上一点 C1在底面ABC 的射影 H 必在交线 AB 上4.如图，已知ABC 为直角三角形，其中ACB=90，M 为 AB 中点，PM 垂直于ABC所在平面，那么( )A PA PBPCB PA PBPCC PA PB PCD PA PB PC解析：选 C. M 是 Rt ABC 斜边 AB 的中点， MA MB MC.又 PM平面 ABC， MA、 MB、 MC 分别是 PA、 PB、 PC 在平面 ABC 上的射影 PA PB PC.应选 C.5在二面角 l 的两个面 ， 内，分别有直线 a， b，它们与棱 l 都不垂直，则( )A当该二面角是
8、直二面角时，可能 a b，也可能 a bB当该二面角是直二面角时，可能 a b，但不可能 a bC当该二面角不是直二面角时，可能 a b，但不可能 a bD当该二面角不是直二面角时，不可能 a b，也不可能 a b解析：选 B.当该二面角为直二面角时(如图)，若 a b， b 与 l 不垂直，在 b 上取点A，过 A 作 AB l， AB b A，由Error! Error! a a l.这和 a 与 l 不垂直相矛盾不可能 a b.故 A 错误，B 正确6.在正四面体 P ABC 中， D、 E、 F 分别是 AB、 BC、 CA 的中点，下面四个结论中不成立的是( )A BC平面 PDFB
9、 DF平面 PAEC平面 PDF平面 ABCD平面 PAE平面 ABC解析：选 C.如图，BCDF，BC平面 PDF.A 正确由题设知 BCPE，BCAE，BC平面 PAE.DF平面 PAE.B 正确平面 ABC平面 PAE(BC平面 PAE)D 正确7已知 m， n 是直线， 、 、 是平面，给出下列命题： ， ，则 ；若 n ， n ，则 ；若 n ， m 且 n ， m ，则 ；若 m， n 为异面直线， n ， n ， m ， m ，则 .则其中正确的命题是_(把你认为正确的命题序号都填上)解析：依题意可构造正方体 ABCD-A1B1C1D1，如图所示，在正方体中逐一判断各命题易得正确
10、的命题是.答案：8在正四棱锥 P ABCD 中， PA AB， M 是 BC 的中点， G 是 PAD 的重心，则在平面32PAD 中经过 G 点且与直线 PM 垂直的直线有_条解析：设正四棱锥的底面边长为 a，则侧棱长为 a.32由 PM BC， PM a.(f(r(3),2)a)2 (f(a,2)222连结 PG 并延长与 AD 相交于 N 点，则 PN a， MN AB a，22 PM2 PN2 MN2， PM PN，又 PM AD， PM面 PAD，在平面 PAD 中经过 G 点的任意一条直线都与 PM 垂直答案：无数9.如图所示，正方体 ABCD-A1B1C1D1的棱长是 1，过 A
11、 点作平面 A1BD 的垂线，垂足为点 H，有下列三个命题：点 H 是A 1BD 的中心；AH 垂直于平面 CB1D1；AC 1与 B1C 所成的角是 90.其中正确命题的序号是 .解析：由于 ABCD-A1B1C1D1是正方体，所以 A-A1BD 是一个正三棱锥，因此 A 点在平面 A1BD 上的射影 H 是三角形 A1BD 的中心，故正确；又因为平面 CB1D1与平面 A1BD 平行，所以 AH平面 CB1D1，故正确；从而可得 AC1平面CB1D1，即 AC1与 B1C 垂直，所成的角等于 90.答案：10.(2010 年南京模拟)如图，已知矩形 ABCD 中，AB=10，BC=6，沿矩
12、形的对角线 BD 把ABD 折起，使 A 移到 A1点，且 A1在平面 BCD 上的射影 O 恰好在 CD 上求证：(1)BCA 1D；(2)平面 A1BC平面 A1BD.证明：(1)由于 A1在平面 BCD 上的射影 O 在 CD 上，则 A1O平面 BCD，又 BC平面 BCD，则 BC A1O，又 BC CO， A1O CO O，则 BC平面 A1CD，又 A1D平面 A1CD，故 BC A1D.(2)因为 ABCD 为矩形，所以 A1B A1D.由(1)知 BC A1D， A1B BC B，则 A1D平面 A1BC，又A1D平面 A1BD.从而有平面 A1BC平面 A1BD. 11.如
13、图所示，ABC 是正三角形，AE 和 CD 都垂直于平面ABC，且 AE=AB=2a，CD=a，F 是 BE 的中点(1)求证：DF平面 ABC；(2)求证：AFBD.证明：(1)取 AB 的中点 G，连结 FG，可得 FG AE， FG AE，12又 CD平面 ABC， AE平面 ABC， CD AE， CD AE，12 FG CD， FG CD， FG平面 ABC，四边形 CDFG 是矩形， DF CG，CG平面 ABC， DF平面 ABC， DF平面 ABC.(2)Rt ABE 中， AE2 a， AB2 a，F 为 BE 中点， AF BE， ABC 是正三角形， CG AB， DF
14、AB，又 DF FG， DF平面 ABE， DF AF， AF平面 BDF， AF BD.12.如图所示，在直四棱柱 ABCD-A1B1C1D1中，DB=BC，DBAC，点 M 是棱 BB1上一点(1)求证：B 1D1面 A1BD；(2)求证：MDAC；(3)试确定点 M 的位置，使得平面 DMC1平面 CC1D1D.解：(1)证明：由直四棱柱，得 BB1 DD1且 BB1 DD1，所以BB1D1D 是平行四边形，所以 B1D1 BD.而 BD平面 A1BD， B1D1平面 A1BD，所以 B1D1平面 A1BD.(2)证明：因为 BB1面 ABCD， AC面 ABCD，所以BB1 AC，又因
15、为 BD AC，且 BD BB1 B，所以 AC面 BB1D，而 MD面 BB1D，所以 MD AC.(3)当点 M 为棱 BB1的中点时，平面 DMC1平面 CC1D1D取 DC 的中点 N， D1C1的中点 N1，连结 NN1交 DC1于 O，连结 OM.因为 N 是 DC 中点， BD BC，所以 BN DC；又因为 DC 是面 ABCD 与面 DCC1D1的交线，而面 ABCD面 DCC1D1，所以 BN面 DCC1D1.又可证得， O 是 NN1的中点，所以 BM ON 且 BM ON，即 BMON 是平行四边形，所以BN OM，所以 OM平面 CC1D1D，因为 OM面 DMC1，所以平面 DMC1平面 CC1D1D.
