1、26.2 求曲线的方程学习目标 1.掌握求轨迹方程建立坐标系的一般方法，熟悉求曲线方程的五个步骤 .2.掌握求轨迹方程的几种常用方法知识链接求曲线方程要“建立适当的坐标系” ，这句话怎样理解答：坐标系选取的适当，可使运算过程简化，所得方程也较简单，否则，如果坐标系选取不当，则会增加运算的烦杂程度预习导引1平面解析几何研究的主要问题(1)根据已知条件，求出表示平面曲线的方程(2)通过方程，研究平面曲线的性质2求曲线(图形)的方程一般有下面几个步骤(1)建立适当的坐标系，用有序实数对( x，y) 表示曲线上任意一点 M 的坐标(2)写出适合条件 P 的点 M 的集合 P M|P(M)(3)用坐标表
2、示条件 P(M)，列出方程 f(x，y)0.(4)化方程 f(x，y )0 为最简形式(5)证明以化简后的方程的解为坐标的点都在曲线上3求曲线方程(轨迹方程)的常用方法有直接法、代入法、定义法、参数法、待定系数法要点一 直接法求曲线方程例 1 已知一条直线 l 和它上方的一个点 F，点 F 到 l 的距离是 2.一条曲线也在 l 的上方，它上面的每一点到 F 的距离减去到 l 的距离的差都是 2，建立适当的坐标系，求这条曲线的方程解 如图所示，取直线 l 为 x 轴，过点 F 且垂直于直线 l 的直线为 y 轴，建立坐标系 xOy.设点 M(x，y)是曲线上任意一点，作 MBx 轴，垂足为 B
3、，那么点 M 属于集合 P M|MFMB2由两点间的距离公式，点 M 适合的条件可表示为 y2，x2 (y 2)2将式移项后两边平方，得 x2(y2) 2( y2) 2，化简得 y x2.因为曲线在 x 轴的上方，所以 y0.18虽然原点 O 的坐标(0,0) 是这个方程的解，但不属于已知曲线，所以曲线的方程应是 y x2 18(x0)规律方法 直接法是求轨迹方程的最基本的方法，根据所满足的几何条件，将几何条件M|p(M)直接翻译成 x，y 的形式 F(x，y)0，然后进行等价变换，化简为 f(x，y)0.要注意轨迹上的点不能含有杂点，也不能少点，也就是说曲线上的点一个也不能多，一个也不能少跟
4、踪演练 1 已知在直角三角形 ABC 中，角 C 为直角，点 A(1,0)，点 B(1,0)，求满足条件的点 C 的轨迹方程解 如图，设 C(x，y )，则 (x1， y)， ( x1，y) AC BC C 为直角， ，即 0.AC BC AC BC (x1)(x1)y 20.化简得 x2y 21.A、B、C 三点要构成三角形，A、B、C 不共线，y0，点 C 的轨迹方程为 x2y 21( y0) 要点二 定义法求曲线方程例 2 已知圆 C：(x1) 2y 21，过原点 O 作圆的任意弦，求所作弦的中点的轨迹方程解 如图，设 OQ 为过 O 点的一条弦，P( x，y )为其中点，则CPOQ，设
5、 M 为 OC 的中点，则 M 的坐标为( ，0)12OPC90，动点 P 在以点 M( ，0)为圆心，OC 为直径的圆上，由圆的方程得(x )2y 2 (0x1)12 12 14规律方法 如果动点的轨迹满足某种已知曲线的定义，则可依据定义结合条件写出动点的轨迹方程利用定义法求轨迹要善于抓住曲线的定义特征跟踪演练 2 已知定长为 6 的线段，其端点 A、B 分别在 x 轴、y 轴上移动，线段 AB 的中点为 M，求 M 点的轨迹方程解 作出图象如图所示，根据直角三角形的性质可知OM AB3.12所以 M 点的轨迹为以原点 O 为圆心，以 3 为半径的圆，故 M 点的轨迹方程为 x2y 29.要
6、点三 代入法求曲线方程例 3 已知动点 M 在曲线 x2y 21 上移动，M 和定点 B(3，0) 连线的中点为 P，求 P 点的轨迹方程解 设 P(x，y)，M(x 0，y 0)，P 为 MB 的中点 Error! 即Error!又M 在曲线 x2y 21 上，(2x 3)24y 21，即 2y 2 .(x 32) 14P 点的轨迹方程为 2y 2 .(x 32) 14规律方法 代入法求轨迹方程就是利用所求动点 P(x，y)与相关动点 Q(x0，y 0)坐标间的关系式，且 Q(x0，y 0)又在某已知曲线上，则可用所求动点 P 的坐标(x ，y)表示相关动点 Q 的坐标(x0，y 0)，即利
7、用 x，y 表示 x0，y 0，然后把 x0，y 0 代入已知曲线方程即可求得所求动点 P 的轨迹方程跟踪演练 3 已知圆 C：x 2( y3) 29.过原点作圆 C 的弦 OP，求 OP 的中点 Q 的轨迹方程解 方法一(直接法)如图，因为 Q 是 OP 的中点，所以OQC 90.设 Q(x， y)，由题意，得 OQ2QC 2OC 2，即 x2y 2x 2 (y3) 29，所以 x2 2 (x0)(y 32) 94方法二(定义法)如图所示，因为 Q 是 OP 的中点，所以OQC 90，则 Q 在以 OC 为直径的圆上，故 Q 点的轨迹方程为x2 2 (x0)(y 32) 94方法三(代入法)
8、设 P(x1，y 1)，Q (x，y )，由题意，得Error! 即Error!又因为 P 点在圆 C 上，所以 x ( y13) 29，21所以 4x24( y )29，32即 x2(y )2 (x0)32 941已知等腰三角形 ABC 底边两端点是 A( ，0) ，B( ，0) ，顶点 C 的轨迹是3 3_答案 一条直线(C 不与 A、B 共线)解析 注意当点 C 与 A、B 共线时，不符合题意，应去掉2在第四象限内，到原点的距离等于 2 的点 M 的轨迹方程是_答案 y (0x2)4 x2解析 设 M(x，y )，由 MO2 得，x 2y 24，又点 M 在第四象限，y (0x2)4 x
9、23到直线 4x3y 50 的距离为 1 的点的轨迹方程为_答案 4x3y100 和 4x 3y0解析 可设动点坐标为(x，y)，则 1，|4x 3y 5|5即|4 x3y5| 5.所求轨迹为 4x3y 100 和 4x3y0.4设 A 为圆( x1) 2y 21 上的动点，PA 是圆的切线，且 PA1，则动点 P 的轨迹方程是_答案 (x1) 2y 22解析 圆(x1) 2y 21 的圆心为 B(1,0)，半径 r1，则 PB2PA 2r 2.PB 22.P 的轨迹方程为(x1) 2y 22.1.坐标系建立的不同，同一曲线的方程也不相同2一般地，求哪个点的轨迹方程，就设哪个点的坐标是(x，y
10、 )，而不要设成(x 1，y 1)或(x，y) 等3方程化简到什么程度，课本上没有给出明确的规定，一般指将方程 f(x，y) 0 化成 x，y的整式如果化简过程破坏了同解性，就需要剔除不属于轨迹上的点，找回属于轨迹而遗漏的点求轨迹时需要说明所表示的是什么曲线，求轨迹方程则不必说明4 “轨迹”与“轨迹方程”是两个不同的概念：求轨迹方程只要求出方程即可；而求轨迹则应先求出轨迹方程，再说明轨迹的形状.一、基础达标1平面内有两定点 A，B，且 AB4，动点 P 满足| |4，则点 P 的轨迹是PA PB _答案 圆解析 以 AB 的中点为原点，以 AB 所在的直线为 x 轴建立直角坐标系，则 A(2,
11、0)、B(2,0)设 P(x，y)，则 2 2( x，y )x 2y 24.PA PB PO 2已知动点 P 到点(1，2)的距离为 3，则动点 P 的轨迹方程是 _答案 (x1) 2(y 2) 29解析 设 P(x，y) ，由题设得 3，(x 1)2 (y 2)2(x1) 2(y 2)29.3已知 M(2,0)，N (2,0)，则以 MN 为斜边的直角三角形的直角顶点 P 的轨迹方程是_答案 x 2y 24 (x 2)解析 设 P(x，y) ，MPN 为直角三角形，MP 2NP 2 MN2，(x2) 2y 2 (x2) 2y 2 16，整理得，x 2y 24.M，N，P 不共线，x 2 ，轨
12、迹方程为 x2y 24 (x 2)4与点 A(1,0)和点 B(1,0)的连线的斜率之积为1 的动点 P 的轨迹方程是_答案 x 2y 21(x 1)解析 设 P(x，y) ，则 kPA ，k PB ，yx 1 yx 1所以 kPAkPB 1.yx 1 yx 1整理得 x2y 21，又 kPA、k PB存在，所以 x1.所以所求轨迹方程为 x2y 21(x1) 5已知 A(1,0)，B(2,4)，ABC 的面积为 10，则动点 C 的轨迹方程是_答案 4x3y160 或 4x 3y240解析 由两点式，得直线 AB 的方程是 ，即 4x3y40，线段 AB 的长度 ABy 04 0 x 12
13、15.设 C 点的坐标为 (x，y )，则 5 10，(2 1)2 4212 |4x 3y 4|5即 4x3y160 或 4x3y240.6已知ABC，A( 2,0)，B(0，2) ，第三个顶点 C 在曲线 y3x 21 上移动，则ABC 的重心的轨迹方程是_答案 y9x 212x 3解析 设ABC 的重心为 G(x，y)，顶点 C 的坐标为(x 1，y 1)，由重心坐标公式得Error!Error!点 C(x1，y 1)在曲线 y3x 21 上，3y23(3 x2) 21.y9x 212x 3 即为所求轨迹方程7等腰三角形 ABC 中，若一腰的两个端点分别为 A(4,2)，B( 2,0)，A
14、 为顶点，求另一腰的一个端点 C 的轨迹方程解 设点 C 的坐标为(x，y )，ABC 为等腰三角形，且 A 为顶点ABAC .又AB 2 ，(4 2)2 22 10AC 2 .(x 4)2 (y 2)2 10(x4) 2(y 2)240.又点 C 不能与 B 重合，也不能使 A、B、C 三点共线x2 且 x10.点 C 的轨迹方程为(x4) 2( y2) 240 (x2 且 x10)二、能力提升8以(5,0)和(0,5)为端点的线段的方程是_答案 xy50(0x 5)解析 由截距式可得直线为 1，则线段方程为 xy50(0 x5)x5 y59已知两定点 A(2,0) ，B(1,0)，如果动点
15、 P 满足 PA2PB，则点 P 的轨迹所包围的图形的面积等于_答案 4解析 设 P 点的坐标为(x，y)，则( x2) 2y 24(x1) 2 y2，即(x2) 2y 24，所以点 P的轨迹所包围的图形的面积等于 4.10设动直线 l 垂直于 x 轴，且与椭圆 x22y 24 交于 A、B 两点，P 是 l 上满足 1PA PB 的点，则点 P 的轨迹方程是_答案 1(2x 2)x26 y23解析 如图，设 P 点的坐标为(x，y)，则由方程 x22y 24 得2y24x 2，y ，4 x22A、B 两点的坐标分别为， .(x， 4 x22 ) (x， 4 x22 )又 1，PA PB 1，
16、(0， 4 x22 y)(0， 4 x22 y)即 y2 1， 1.4 x22 x26 y23又直线 l 与椭圆交于两点，2x2，点 P 的轨迹方程为 1(2x2)x26 y2311若动点 P 在 y2x 21 上移动，则点 P 与点 Q(0，1)连线的中点的轨迹方程是什么？解 设 PQ 的中点为 M(x，y )，P(x 0，y 0)，则Error!Error!又点 P 在 y 2x21 上， y02x 1，20即 2y18x 21，即 y4x 2 为所求的轨迹方程12如图，过点 P(2,4)作两条互相垂直的直线 l1、l 2，若 l1 交 x 轴于 A 点，l 2交 y 轴于 B 点，求线段
17、 AB 的中点 M 的轨迹方程解 方法一 设点 M 的坐标为 (x，y )M 为线段 AB 的中点，A 的坐标为(2x,0)，B 的坐标为(0,2 y)l 1l 2，且 l1、l 2 过点 P(2,4)，PAPB，k PAkPB1.而 kPA (x1)，k PB ， 1 (x1)整理，得 x2y50 4 02 2x 4 2y2 0 21 x2 y1(x1)当 x1 时，A 、B 的坐标分别为(2,0)、(0,4)，线段 AB 的中点坐标是(1,2)，它满足方程 x2y50.综上所述，点 M 的轨迹方程是 x2y50.方法二 设 M 的坐标为(x ，y) ，则 A、B 两点的坐标分别是(2 x,
18、0)、(0,2y) ，连结 PM.l 1l 2，2PMAB .而 PM ，(x 2)2 (y 4)2AB ，(2x)2 (2y)22 ，(x 2)2 (y 4)2 4x2 4y2化简，得 x2y 50，即为所求轨迹方程方法三 l 1l 2，OAOB，O、A、P 、B 四点共圆，且该圆的圆心为 M，MPMO，点 M 的轨迹为线段 OP 的垂直平分线k OP 2，OP 的中点坐标为(1,2)，4 02 0点 M 的轨迹方程是 y2 (x1) ，12即 x2y50.三、探究与创新13如图所示，圆 O1 和圆 O2 的半径都等于 1，O 1O24，过动点 P 分别作圆 O1、圆 O2 的切线 PM、PN( M、N 为切点)，使得 PM PN.试建立平面2直角坐标系，并求动点 P 的轨迹方程解 以 O1O2 的中点 O 为原点，O 1O2 所在直线为 x 轴，建立如图所示的坐标系，则 O1(2,0) ， O2(2,0)由已知 PM PN，2PM 22PN 2.又两圆的半径均为 1，PO 12(PO 1)设 P(x，y )，21 2则(x2) 2y 2 12( x2) 2 y21 ，即(x6) 2y 2 33.所求动点 P 的轨迹方程为(x6) 2y 233 (或 x2y 212x30)
