1、2.2.2 间接证明课时目标 1.了解反证法是间接证明的一种基本方法.2.理解反证法的思考过程，会用反证法证明数学问题1间接证明不是直接从原命题的条件逐步推得命题成立，这种_的方法通常称为间接证明_就是一种常用的间接证明方法，间接证明还有_、_等2反证法(1)反证法证明过程反证法的证明过程可以概括为“_推理_” ，即从_开始，经过_，导致_，从而达到_(即肯定原命题) 的过程 肯 定 条 件 p导 致 逻辑 矛 盾 “p且 q”为 假 “若 p则 q”为 真(2)反证法证明命题的步骤_假设_不成立，即假定原结论的反面为真归谬从_和_出发，经过一系列正确的逻辑推理，得出矛盾结果存真由_，断定反设
2、不真，从而肯定原结论成立一、填空题1用反证法证明命题“三角形的内角至多有一个钝角”时，假设_2设 x、y、z0 ，则三数 x ，y ，z 的值_1y 1z 1x都大于 2 都不小于 2至少有一个不小于 2 至少有一个不大于 23用反证法证明命题：“若整系数一元二次方程 ax2bxc0 有有理根，那么a，b，c 中存在偶数”时，否定结论应为_4 “实数 a、b、c 不全为 0”的含义是_5若下列两个方程 x2( a1) xa 20，x 22ax2a0 中至少有一个方程有实根，则实数 a 的取值范围是_6用反证法证明命题“x 2(ab) xab0，则 xa 且 xb”时应假设为_7用反证法证明“一
3、个三角形不能有两个直角”有三个步骤：AB C9090C 180，这与三角形内角和为 180矛盾，故假设错误所以一个三角形不能有两个直角假设ABC 中有两个直角，不妨设A90，B90.上述步骤的正确顺序为_(填序号)8有甲、乙、丙、丁四位歌手参加比赛，其中只有一位获奖，有人走访了四位歌手，甲说：“是乙或丙获奖 ”乙说：“甲、丙都未获奖 ”丙说：“我获奖了 ”丁说：“是乙获奖 ”四位歌手的话只有两句是对的，则获奖的歌手是_二、解答题9已知三个正数 a，b，c 成等差数列，且公差 d0，求证： ， 不可能成等差数1a1b 1c列10如图所示，已知ABC 为锐角三角形，直线 SA平面 ABC，AH平面
4、 SBC，H 为垂足，求证：H 不可能是SBC 的垂心能力提升11已知数列a n满足：a 1，a n1 ann4，其中 为实数，n 为正整数求证：23对任意实数 ，数列 an不是等比数列12已知函数 f(x)a x (a1)，用反证法证明方程 f(x)0 没有负数根x 2x 11在使用反证法时，必须在假设中列出与原命题相异的结论，缺少任何一种可能，反证法都是不完全的2推理必须从假设出发，不用假设进行论证就不是反证法3对于否定性命题，结论中出现“至多” 、 “至少” 、 “不可能”等字样时，常用反证法22.2 间接证明答案知识梳理1不是直接证明 反证法 同一法 枚举法2(1)否定 否定 否定结论
5、 正确的推理 逻辑矛盾新的否定 否定结论 q (2)反设 命题结论反设 已知条件 矛盾结果作业设计1至少有两个钝角2解析 假设三个数都小于 2，则 6(x 1y) (y 1z) (z 1x)而 (x 1y) (y 1z) (z 1x) 6 矛盾，(x 1x) (y 1y) (z 1z)故正确3a，b，c 都不是偶数4a、b、c 中至少有一个不为 05a|a2 或 a16xa 或 xb解析 否定结论时，一定要全面否定，xa 且 xb 的否定为 xa 或 xb.7解析 考查反证法的一般步骤8丙解析 若甲说的话对，则丙、丁至少有一人说的话对，则乙说的话不对，则甲、丙至少有一个人获奖是对的又乙或丙获奖
6、，丙获奖9证明 假设 ， 成等差数列，1a1b 1c则 .2b 1a 1c a caca，b，c 成等差数列，2bac， b 2ac.2b 2bac 2ac( ac) 24ac( ac )20ac .(a c2 )又 2bac，abc .因此，dba0，这与 d0 矛盾所以 ， 不可能成等差数列1a1b 1c10证明 假设 H 是SBC 的垂心，连接 BH 并延长 BH 与 SC 相交，则 BHSC .又AH平面 SBC，AHSC，SC平面 ABH，SCAB .又SA平面 ABC，ABSA .AB平面 SAC，AB AC .即BAC90，这与三角形 ABC 为锐角三角形矛盾，所以 H 不可能是SBC 的垂心11证明 假设存在一个实数 ，使数列a n是等比数列，则有 a a 1a3，2即 2 ，(23 3) (49 4)即 249 24 ，即 90，上式显然不成立，所以假设不成立，所以数列 an不49 49是等比数列12证明 假设方程 f(x)0 有负数根，设为 x0(x01)则有 x01，0ax 01，0 1.x0 2x0 1解上述不等式，得 x02.12这与假设 x00 矛盾故方程 f(x)0 没有负数根
