1、15.1 曲边梯形的面积15.2 汽车行驶的路程明目标、知重点1了解“以直代曲” 、 “以不变代变”的思想方法 2会求曲边梯形的面积和汽车行驶的路程1曲边梯形的面积(1)曲边梯形：由直线 xa，xb(ab) ，y 0 和曲线 yf( x)所围成的图形称为曲边梯形(如图所示)(2)求曲边梯形面积的方法把区间a，b 分成许多小区间，进而把曲边梯形拆分为一些小曲边梯形，对每个小曲边梯形“以直代曲” ，即用矩形的面积近似代替小曲边梯形的面积，得到每个小曲边梯形面积的近似值，对这些近似值求和，就得到曲边梯形面积的近似值(如图所示) (3)求曲边梯形面积的步骤：分割，近似代替，求和 ，取极限2求变速直线运
2、动的(位移)路程如果物体做变速直线运动，速度函数为 vv(t)，那么也可以采用分割、近似代替、求和、取极限的方法，求出它在 atb 内所作的位移 s.情境导学任何一个平面图形都有面积，其中矩形、正方形、三角形、平行四边形、梯形等平面多边形的面积，可以利用相关公式进行计算如图所示的平面图形，是由直线 xa，xb( ab)，y0 和曲线 yf(x)所围成的，称之为曲边梯形，如何计算这个曲边梯形的面积呢？探究点一 求曲边梯形的面积思考 1 如何计算下列两图形的面积？答 直接利用梯形面积公式求解转化为三角形和梯形求解问题 如图，如何求由抛物线 yx 2 与直线 x1，y0 所围成的平面图形的面积 S?
3、思考 2 图中的图形与我们熟悉的“直边图形”有什么区别？答 已知图形是由直线 x1，y0 和曲线 yx 2 所围成的，可称为曲边梯形，曲边梯形的一条边为曲线段，而“直边图形”的所有边都是直线段思考 3 能否将求曲边梯形的面积问题转化为求“直边图形”的面积问题？(归纳主要步骤)答 (如图) 可以通过把区间0,1分成许多小区间，将曲边梯形拆分为一些小曲边梯形，对每个小曲边梯形“以直代曲” ，即用矩形的面积近似代替小曲边梯形的面积，得到每个小曲边梯形面积的近似值，对这些近似值进行求和，就得到曲边梯形面积的近似值，随着拆分越来越细，近似程度会越来越好Sn Si ( )2xni 1ni 1i 1n (
4、)2 (i1,2，n)ni 1i 1n 1n0 ( )2 ( )21n 1n 1n n 1n 1n 122 2(n1) 21n3 (1 )(1 )13 1n 12nS Sn (1 )(1 ) .limn lim n 13 1n 12n 13求曲边梯形的面积可以通过分割、近似代替、求和、取极限四个步骤完成思考 4 在“近似代替”中，如果认为函数 f(x)x 2 在区间 ， (i1,2，n)上的值近i 1n in似地等于右端点 处的函数值 f( )，用这种方法能求出 S 的值吗？若能求出，这个值也是 吗？in in 13取任意 i ， 处的函数值 f(i)作为近似值，情况又怎样？其原理是什么？i
5、1n in答 以上方法都能求出 S .我们解决此类问题的原理是“近似代替”和“以直代曲” ，在极13限状态下，小曲边梯形可以看做小矩形例 1 求由直线 x0，x 1，y 0 和曲线 yx 2 所围成的图形的面积解 (1)分割将区间0,1等分为 n 个小区间：0， ， ， ， ， ， ， ， ，1，1n 1n 2n 2n 3n i 1n in n 1n每个小区间的长度为 x .in i 1n 1n过各分点作 x 轴的垂线，把曲边梯形分成 n 个小曲边梯形，它们的面积分别记作S1， S2，S n.(2)近似代替在区间 ， (i1,2，n)上，以 的函数值 2 作为高，小区间的长度 x 作i 1n
6、in i 1n (i 1n ) 1n为底边的小矩形的面积作为第 i 个小曲边梯形的面积，即Si ( )2 .i 1n 1n(3)求和曲边梯形的面积近似值为S Si ( )2ni 1ni 1i 1n 1n0 ( )2 ( )2 ( )21n 1n 1n 2n 1n n 1n 1n 122 2(n1) 21n3 (1 )(1 )13 1n 12n(4)取极限曲边梯形的面积为S (1 )(1 ) .limn 13 1n 12n 13反思与感悟 求曲边梯形的思想及步骤：(1)思想：以直代曲、逼近； (2)步骤：分割近似代替求和取极限；(3)关键：近似代替；(4)结果：分割越细，面积越精确跟踪训练 1
7、求由抛物线 yx 2 与直线 y4 所围成的曲边梯形的面积解 yx 2 为偶函数，图象关于 y 轴对称，所求曲边梯形的面积应为抛物线 yx 2(x0)与直线 x0，y 4 所围图形面积 S 阴影 的 2 倍，下面求 S 阴影由Error! ，得交点为(2,4)，如图所示，先求由直线 x0，x2，y 0 和曲线 yx 2 围成的曲边梯形的面积(1)分割将区间0,2 n 等分，则 x ， 取 i .2n 2i 1n(2)近似代替求和Sn 2ni 12i 1n 2n 122 23 2(n1) 28n3 (1 )(1 )83 1n 12n(3)取极限S Sn (1 )(1 ) .limn lim n
8、83 1n 12n 83所求平面图形的面积为 S 阴影 24 .83 1632S 阴影 ，323即抛物线 yx 2 与直线 y4 所围成的图形面积为 .探究点二 求变速运动的路程323思考 利用导数我们解决了“已知物体运动路程与时间的关系，求物体运动速度”的问题反之，如果已知物体的速度与时间的关系，如何求其在一定时间内经过的路程呢？答 物体以速度 v 做匀速直线运动时，经过时间 t 所行驶的路程为 svt .如果物体做变速直线运动，与求曲边梯形面积类似，我们采取“以不变代变”的方法，把时间 t 分割成许多“小段” ，在每一“小段”时间内物体的运动可以看做匀速直线运动，于是把求变速直线运动的路程
9、问题，化归为求匀速直线运动的路程问题例 2 汽车以速度 v 做匀速直线运动时，经过时间 t 所行驶的路程 svt .如果汽车做变速直线运动，在时刻 t 的速度为 v(t)t 22( 单位：km/h)，那么它在 0t1 这段时间行驶的路程是多少？解 分割将时间区间0,1分成 n 个小区间，0 ， ， ， ， ， ， ， ， ，1，1n 1n 2n 2n 3n i 1n in n 1n则第 i 个小区间为 ， (i1,2，n) i 1n in(2)近似代替第 i 个小矩形的高为 v( )，i 1ns iv( ) ( )22 .i 1n 1n i 1n 1n(3)求和sn ( )221nni 1 i
10、 1n 021 22 2(n1) 221n3 2 (1 )(1 )2.n 12n 16n2 13 1n 12n(4)取极限s sn (1 )(1 )2 .limn lim n 13 1n 12n 53这段时间行驶的路程为 km.53反思与感悟 (1)把变速直线运动的路程问题化归为匀速直线运动的路程问题，通过分割、近似代替、求和、取极限四步解决(2)从函数的角度来看，求变速运动的路程，就是求速度函数 v(t)t 22 在t0，t1，v(t)0 形成的曲边梯形的面积，这就是数学方法在物理应用中的体现跟踪训练 2 有一辆汽车在笔直的公路上变速行驶，在时刻 t 的速度为 v(t)3t 22(单位：km
11、/h)，那么该汽车在 0t2(单位：h) 这段时间内行驶的路程 s(单位：km)是多少？解 (1)分割在时间区间0,2上等间隔地插入 n1 个分点，将它分成 n 个小区间，记第 i 个小区间为， (i1,2，n)，其长度为 t .每个时间段上行驶的路程记为2i 1n 2in 2in 2i 1n 2nsi(i1,2，n)，则显然有 s si.ni 1(2)近似代替取 i (i1,2，n) ，用小矩形的面积 s i 近似地代替 si，于是2insis iv( )t2in3( )222in 2n (i1,2，n)24i2n3 4n(3)求和sn s i ( )ni 1ni 124i2n3 4n (1
12、22 2n 2)424n3 424n3nn 12n 168(1 )(1 )4.1n 12n从而得到 s 的近似值 sv n.(4)取极限s sn 8(1 )(1 )4limn lim n 1n 12n8412.所以这段时间内行驶的路程为 12 km.1把区间1,3 n 等分，所得 n 个小区间的长度均为( )A. B. C. D.1n 2n 3n 12n答案 B解析 区间1,3的长度为 2，故 n 等分后，每个小区间的长度均为 .2n2函数 f(x)x 2 在区间 上( )i 1n，inAf(x)的值变化很小Bf(x)的值变化很大Cf(x)的值不变化D当 n 很大时，f(x)的值变化很小答案
13、D解析 当 n 很大，即 x 很小时，在区间 ， 上，可以认为 f(x)x 2 的值变化很小，近i 1n in似地等于一个常数3在“近似代替”中，函数 f(x)在区间x i，x i1 上的近似值等于( )A只能是左端点的函数值 f(xi)B只能是右端点的函数值 f(xi1 )C可以是该区间内任一点的函数值 f(i)(ix i，x i1 )D以上答案均正确答案 C4求由曲线 y x2 与直线 x1，x2，y0 所围成的平面图形面积时，把区间 5 等分，则12面积的近似值(取每个小区间的左端点 )是_答案 1.02解析 将区间 5 等分所得的小区间为1， ， ， ， ， ， ， ， ，2，65 6
14、5 75 75 85 85 95 95于是所求平面图形的面积近似等于(1 ) 1.02.110 3625 4925 6425 8125 110 25525呈重点、现规律求曲边梯形面积和汽车行驶的路程的步骤：(1)分割：n 等分区间a，b；(2)近似代替：取点 ix i1 ， xi；(3)求和： (i) ；ni 1f b an(4)取极限：s (i) .“近似代替”也可以用较大的矩形来代替曲边梯形，为了limn ni 1f b an计算方便，可以取区间上的一些特殊点，如区间的端点(或中点).一、基础过关1当 n 很大时，函数 f(x)x 2 在区间 ， 上的值，可以近似代替为( )i 1n in
15、Af( ) Bf ( )1n 2nCf( ) Df(0)in答案 C2在等分区间的情况下 f(x) (x0,2) 及 x 轴所围成的曲边梯形面积和式的极限形式11 x2正确的是( )A. B. limn n i 111 in22n lim n n i 111 2in22nC. ( ) D. nlimn n i 1 11 i21n lim n n i 111 in2答案 B解析 x .2 0n 2n和式为 n i 111 2in22n应选 B.3把区间a，b ( ab)n 等分之后，第 i 个小区间是( )A ， i 1n inB (ba)， (ba)i 1n inCa ，a i 1n inDa
16、 (ba) ，a (ba)i 1n in答案 D解析 区间a，b( ab)长度为(ba) ，n 等分之后，每个小区间长度均为 ，b an第 i 个小区间是a (ba)，a (ba)( i1,2，n)i 1n in4一物体沿直线运动，其速度 v(t)t，这个物体在 t0 到 t1 这段时间内所走的路程为( )A. B.13 12C1 D.32答案 B解析 曲线 v(t)t 与直线 t0，t1，横轴围成的三角形面积 S 即为这段时间内物体所12走的路程5由直线 x1，y 0，x 0 和曲线 yx 3 所围成的曲边梯形，将区间 4 等分，则曲边梯形面积的的近似值(取每个区间的右端点 )是( )A.
17、B.119 111256C. D.1127 2564答案 D解析 将区间0,1四等分，得到 4 个小区间：0 ， ， ， ， ， ， ，1，以每个小区14 14 12 12 34 34间右端点的函数值为高，4 个小矩形的面积和为曲边梯形面积的近似值S( )3 ( )3 ( )3 1 3 .14 14 12 14 34 14 14 25646若做变速直线运动的物体 v(t)t 2，在 0t a 内经过的路程为 9，则 a 的值为( )A1 B2 C3 D4答案 C解析 将区间0，an 等分，记第 i 个区间为 ， (i1,2，n)，此区间长为 ，用ai 1n ain an小矩形面积( )2 近似
18、代替相应的小曲边梯形的面积，则 ( )2 (122 2n 2)ain an n i 1 ain an a3n3(1 )(1 )近似地等于速度曲线 v(t)t 2 与直线 t0，ta，t 轴围成的曲边梯形的面a33 1n 12n积依题意得 (1 )(1 )9，limn a33 1n 12n 9，a33解得 a3.7求直线 x0，x 2，y 0 与曲线 yx 2 所围成的曲边梯形的面积解 令 f(x)x 2.(1)分割将区间0,2 n 等分，分点依次为x00，x 1 ，x 2 ，x n1 ，x n2.2n 4n 2n 1n第 i 个区间为 ， (i1,2 ，n)，每个区间长度为 x .2i 2n 2in 2in 2i 2n 2n(2)近似代替、求和
