1、1.1.3 导数的几何意义明目标、知重点1了解导函数的概念；了解导数与割线斜率之间的关系2理解曲线的切线的概念；理解导数的几何意义3会求曲线上某点处的切线方程，初步体会以直代曲的意义 1导数的几何意义(1)割线斜率与切线斜率设函数 yf(x) 的图象如图所示，AB 是过点 A(x0，f (x0)与点B(x0 x，f( x0x )的一条割线，此割线的斜率是 .yx fx0 x fx0x当点 B 沿曲线趋近于点 A 时，割线 AB 绕点 A 转动，它的极限位置为直线 AD，这条直线AD 叫做此曲线在点 A 处的切线 于是，当 x0 时，割线 AB 的斜率无限趋近于过点 A 的切线 AD 的斜率 k
2、，即 kf (x0) .limx 0fx0 x fx0x(2)导数的几何意义函数 yf(x) 在点 xx 0 处的导数的几何意义是曲线 yf(x)在点 P(x0，f(x 0)处的切线的斜率也就是说，曲线 yf( x)在点 P(x0，f (x0)处的切线的斜率是 f( x0)相应地，切线方程为 yf(x 0)f (x0)(xx 0)2函数的导数当 xx 0 时，f(x 0)是一个确定的数，则当 x 变化时，f (x)是 x 的一个函数，称 f(x )是 f(x)的导函数(简称导数)f( x)也记作 y，即 f(x )y .limx 0fx x fxx情境导学如果一个函数是路程关于时间的函数，那么
3、函数在某点处的导数就是瞬时速度，这是函数的实际意义，那么从函数的图象上来考察函数在某点处的导数，它具有怎样的几何意义呢？这就是本节我们要研究的主要内容探究点一 导数的几何意义思考 1 如图，当点 Pn(xn，f(x n)(n1,2,3,4) 沿着曲线 f(x)趋近于点 P(x0，f (x0)时，割线 PPn的变化趋势是什么？答 当点 Pn 趋近于点 P 时，割线 PPn 趋近于确定的位置，这个确定位置的直线 PT 称为点P 处的切线，该切线的斜率为 ，即曲线 yf (x)在点 P(x0，f( x0)处的切limx 0fx0 x fx0x线的斜率 kf (x0)思考 2 曲线的切线是不是一定和曲
4、线只有一个交点？答 不一定曲线的切线和曲线不一定只有一个交点，和曲线只有一个交点的直线和曲线也不一定相切如图，曲线的切线是通过逼近将割线趋于确定位置的直线其图象特征是：切点附近的曲线均在切线的同侧，如 l2.思考 3 曲线 f(x)在点(x 0，f(x 0)处的切线与曲线过某点( x0，y 0)的切线有何不同？答 曲线 f(x)在点(x 0，f(x 0)处的切线，点( x0，f(x 0)一定是切点，只要求出 kf ( x0)，利用点斜式写出切线即可；而曲线 f(x)过某点(x 0，y 0)的切线，给出的点( x0，y 0)不一定在曲线上，既使在曲线上也不一定是切点小结 曲线 yf( x)在点
5、P(x0，f (x0)处的切线的斜率 kf (x0)，欲求斜率，先找切点P(x0，f (x0)思考 4 如何求曲线 f(x)在点(x 0，f(x 0)处的切线方程？答 先确定切点 P(x0，f(x 0) ，再求出切线的斜率 kf( x0)，最后由点斜式可写出切线方程例 1 已知曲线 yx 2，(1)求曲线在点 P(1,1)处的切线方程；(2)求曲线过点 P(3,5)的切线方程解 (1)设切点为(x 0，y 0)，y|x x 0 limx 0x0 x2 x20x 2x 0，limx 0x20 2x0x x2 x20xy| x1 2.曲线在点 P(1,1)处的切线方程为y12( x1) ，即 y2
6、x1.(2)点 P(3,5)不在曲线 yx 2 上，设切点为(x 0，y 0)，由(1)知，y|xx 02x 0，切线方程为 yy 02x 0(xx 0)，由 P(3,5)在所求直线上得5y 02x 0(3x 0)，再由 A(x0，y 0)在曲线 yx 2 上得 y0x ，20联立，得，x 01 或 x05.从而切点 A 的坐标为(1,1)或(5,25)当切点为(1,1)时，切线的斜率为 k12x 02，此时切线方程为 y12( x1)，即 y2x1，当切点为(5,25)时，切线的斜率为 k22x 010，此时切线方程为 y2510( x5)，即 y10x25.综上所述，过点 P(3,5)且与
7、曲线 yx 2 相切的直线方程为 y2x1 或 y10x25.小结 (1)求曲线上某点处的切线方程，可以直接利用导数求出曲线上此点处的斜率，然后利用点斜式写出切线方程；(2)求曲线过某点的切线方程，要先求出切点坐标，再按 (1)完成解答跟踪训练 1 已知曲线 y2x 27，求：(1)曲线上哪一点的切线平行于直线 4xy20?(2)曲线过点 P(3,9)的切线方程解 y limx 0yx limx 02x x2 7 2x2 7x (4x2x )4x .limx 0(1)设切点为(x 0，y 0)，则 4x0 4，x 01，y 05，切点坐标为(1，5)即曲线上点(1，5)的切线平行于直线 4xy
8、 20.(2)由于点 P(3,9)不在曲线上设所求切线的切点为 A(x0，y 0)，则切线的斜率 k4x 0，故所求的切线方程为 yy 04x 0(xx 0)将 P(3,9)及 y02x 7 代入上式，20得 9(2x 7)4x 0(3x 0)20解得 x02 或 x04，所以切点为(2,1)或(4,25)从而所求切线方程为 8xy 150 和 16xy390.跟踪训练 2 若曲线 yx 33ax 在某点处的切线方程为 y3x 1，求 a 的值解 yx 33ax .y limx 0x x3 3ax x x3 3axx limx 03x2x 3xx2 x3 3axx 3x23x x(x )23a
9、3x 23a.limx 0设曲线与直线相切的切点为 P(x0，y 0)，结合已知条件，得Error!解得 Error!a1 .322探究点二 导数与函数的单调性思考 1 观察下边两个图形，在曲线的切点附近(x0 时)曲线与那一小段线段有何关系？答 能在曲线的切点附近，曲线与切线贴合在一起，可用切线近似代替曲线思考 2 按照切线近似代替曲线的思想，切线的单调性能否表示曲线的变化趋势？如上左图，若在某一区间上曲线上各点的切线斜率均为负，则可判定在该区间上曲线的单调性如何？答 在连续区间上切线斜率的正负，对应了曲线的单调性思考 3 如上右图，当 t 在(t 0，t 2)上变化时，其对应各点的导数值变
10、化吗？会怎样变化？答 会当 t 变化时 h(t)便是 t 的一个函数，我们称它为 h(t)的导函数例 2 如图，它表示跳水运动中高度随时间变化的函数 h(t)4.9t 26.5t10 的图象根据图象，请描述、比较曲线 h(t)在t0，t 1，t 2 附近的变化情况并讨论在(t 0，t 1)和( t1，t 2)两个区间上函数的单调性解 用曲线 h(t)在 t0，t 1，t 2 处的切线，刻画曲线 h(t)在上述三个时刻附近的变化情况(1)当 tt 0 时，曲线 h(t)在 t0 处的切线 l0 平行于 t 轴所以，在 tt 0 附近曲线比较平坦，几乎没有升降(2)当 tt 1 时，曲线 h(t)
11、在 t1 处的切线 l1 的斜率 h(t 1)0(即切线的斜率大于零 )，则函数 yf(x) 在xx 0 附近的图象是上升的；若 f(x 0)0，则 yf (x)在区间a，b 上是增函数；若恒有f(x) 0，所以，在 tt 3，tt 4 附近单调递增，且曲线 h(t)在 t3 附近比在 t4 附近递增得快(2)若函数 yf(x )的导函数在区间a，b 上是增函数，则函数 yf (x)在区间a，b 上的图象可能是( )答案 A解析 依题意，yf( x)在 a，b 上是增函数，则在函数 f(x)的图象上，各点的切线的斜率随着 x 的增大而增大，观察四个选项的图象，只有 A 满足1已知曲线 yf(
12、x)2x 2 上一点 A(2,8)，则点 A 处的切线斜率为( )A4 B16 C8 D2答案 C解析 f(2) limx 0f2 x f2x (82x)8，即 k8.limx 022 x2 8x lim x 02若曲线 yx 2ax b 在点 (0，b)处的切线方程是 xy10，则( )Aa1，b1 Ba1，b1Ca1，b1 Da1，b1答案 A解析 由题意，知 ky | x 0 1，limx 00 x2 a0 x b bxa1.又(0，b) 在切线上，b1，故选 A.3已知曲线 yf( x)2x 24 x 在点 P 处的切线斜率为 16.则 P 点坐标为_答案 (3,30)解析 设点 P(
13、x0,2x 4x 0)，20则 f(x 0) limx 0fx0 x fx0x 4x 04，limx 02x2 4x0x 4xx令 4x0416 得 x03，P(3,30) 呈重点、现规律1导数 f(x 0)的几何意义是曲线 yf (x)在点(x 0，f(x 0)处的切线的斜率，即 k limx 0f(x 0)，物理意义是运动物体在某一时刻的瞬时速度fx0 x fx0x2 “函数 f(x)在点 x0 处的导数”是一个数值，不是变数， “导函数”是一个函数，二者有本质的区别，但又有密切关系，f(x 0)是其导数 yf ( x)在 xx 0 处的一个函数值3利用导数求曲线的切线方程，要注意已知点是
14、否在曲线上如果已知点在曲线上，则以该点为切点的切线方程为 yf (x0)f ( x0)(xx 0)；若已知点不在切线上，则设出切点(x0，f(x 0)，表示出切线方程，然后求出切点.一、基础过关1下列说法正确的是( )A若 f(x 0)不存在，则曲线 yf(x)在点( x0，f (x0)处就没有切线B若曲线 y f(x)在点(x 0，f(x 0)处有切线，则 f(x 0)必存在C若 f(x 0)不存在，则曲线 yf(x)在点( x0，f (x0)处的切线斜率不存在D若曲线 yf (x)在点( x0，f(x 0)处没有切线，则 f(x 0)有可能存在答案 C解析 kf(x 0)，所以 f( x0
15、)不存在只说明曲线在该点的切线斜率不存在，而当斜率不存在时，切线方程也可能存在，其切线方程为 xx 0.2.已知 yf(x) 的图象如图所示，则 f( xA)与 f( xB)的大小关系是( )Af(x A)f (xB)Bf(x A)f( xB)Cf(x A)f(x B)D不能确定答案 B解析 由导数的几何意义，f(x A)，f(x B)分别是切线在点 A、B 处切线的斜率，由图象可知 f(x A)f(x B)3在曲线 yx 2 上切线倾斜角为 的点是( )4A(0,0) B(2,4)C( ， ) D( ， )14 116 12 14答案 D解析 y limx 0x x2 x2x (2xx )2
16、x ，limx 0令 2xtan 1，得 x .4 12y( )2 .12 144设曲线 yax 2 在点(1，a)处的切线与直线 2xy60 平行，则 a 等于( )A1 B. C D112 12答案 A解析 y limx 0a1 x2 a12x (2aax )2a，limx 0可令 2a2，a1.5设 yf(x) 为可导函数，且满足条件 li 2，则曲线 yf(x)在点(1 ，f (1)处mx 0f1 f1 x2x的切线的斜率是_答案 4解析 由 li 2， f(1)2，f(1)4.mx 0f1 f1 x2x 126已知函数 yf( x)的图象在点 M(1，f (1)处的切线方程是 y x
17、2，则 f(1)f(1)12_.答案 3解析 由在 M 点处的切线方程是 y x2，12得 f(1) 12 ，12 52f(1)li li .mx 0121 x 2 12 2x m x 012xx 12f(1)f(1) 3.52 12二、能力提升7设 f(x)为可导函数，且满足 1，则曲线 yf(x)在点(1 ，f (1)处的切线limx 0f1 f1 xx的斜率是( )A1 B1 C. D212答案 B解析 1，limx 0f1 f1 xx 1，limx 0f1 x f1 xf(1)1.8.如图，函数 yf( x)的图象在点 P 处的切线方程是 yx8，则 f(5)f(5)等于( )A2 B
18、3C4 D5答案 A解析 易得切点 P(5,3)，f(5)3，k1，即 f(5)1.f(5)f(5)312.9设 P 为曲线 C：y x 22x3 上的点，且曲线 C 在点 P 处的切线倾斜角的范围为 ，0，4则点 P 横坐标的取值范围为_答案 1， 12解析 f(x) limx 0x x2 2x x 3 x2 2x 3x limx 02x 2x x2x (x2x 2) 2x 2.limx 0可设 P 点横坐标为 x0，则曲线 C 在 P 点处的切线斜率为 2x02.由已知得 02x 021，1x 0 ，12点 P 横坐标的取值范围为 . 1， 1210求过点 P(1,2) 且与曲线 y3x
19、24x2 在点 M(1,1)处的切线平行的直线解 曲线 y3x 24x 2 在点 M(1,1)处的切线斜率ky| x1 limx 031 x2 41 x 2 3 4 2x (3x2)2.limx 0过点 P(1,2)的直线的斜率为 2，由点斜式得 y22( x1)，即 2xy40.所以所求直线方程为 2xy 40.11已知抛物线 yx 24 与直线 yx10.求：(1)它们的交点；(2)抛物线在交点处的切线方程解 (1)由Error!解得Error! 或Error!.抛物线与直线的交点坐标为(2,8) 或(3,13)(2)yx 24，y limx 0x x2 4 x2 4x limx 0x2
20、2xxx (x2x )2x .limx 0y| x2 4，y | x3 6，即在点(2,8) 处的切线斜率为4，在点(3,13)处的切线斜率为 6.在点(2,8) 处的切线方程为 4xy 0；在点(3,13)处的切线方程为 6xy50.12设函数 f(x)x 3ax 29 x1( a0)，若曲线 yf (x)的斜率最小的切线与直线 12xy6平行，求 a 的值解 yf(x 0x )f(x 0)(x 0 x)3a(x 0x )29( x0x)1( x ax 9x 01)30 20(3x 2ax09)x(3x 0a)( x)2(x) 3，20 3x 2ax 09(3x 0a) x( x)2.yx 20当 x 无限趋近于零时，无限趋近于 3x 2ax 09.yx 20即 f(x 0)3x 2ax 0920f(x 0)3(x 0 )29 .a3 a23
