1、空间直角坐标系 习题 第卷（选择题，共 50 分）一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把正确答案的代号填在题后的括号内（每小题 5 分，共 50 分）.1在空间直角坐标系中，已知点 P（ x， y， z） ，给出下列 4 条叙述：点 P 关于 x 轴的对称点的坐标是（ x， y， z）点 P 关于 yOz 平面的对称点的坐标是（ x， y， z）点 P 关于 y 轴的对称点的坐标是（ x， y， z）点 P 关于原点的对称点的坐标是（ x， y， z）其中正确的个数是 （ ）A3 B2 C1 D02若已知 A（1，1，1） ， B（3，3，3） ，则线段 AB 的
2、长为 （ ）A4 B2 C4 2D3 23已知 A（1，2，3） ， B（3，3， m） ， C（0，1，0） ， D（2，1，1） ，则 （ ）A |CD B |A| C | | D | |C4设 A（3，3，1） ， B（1，0，5） ， C（0，1，0） ， AB 的中点 M，则 |（ ）A 5B 32C 532D 1325如图，三棱锥 A BCD 中， AB底面 BCD， BC CD，且 AB=BC=1，CD=2，点 E 为 CD 的中点，则 AE 的长为（ ）A 2B 3C D 56点 B 是点 A（1，2，3）在坐标平面 yOz内的射影，则 OB 等于 （ ）A 4B 13 C 3
3、2 D 17已知 ABCD 为平行四边形，且 A（4，1，3） ，B（2，5，1） ，C（3，7，5） ，则点 D的坐标为 （ ）A （ 2，4，1） B （2，3，1） C （3，1，5） D （5，13，3）8点 ),(cbaP到坐标平面 xOy的距离是 （ ）A 2baB c C c D ba 9已知点 )1,(， )3,4(， )15,(yx三点共线，那么 yx,的值分别是 （ ）A 2，4 B1，8 C 2，4 D1，810在空间直角坐标系中，一定点到三个坐标轴的距离都是 1，则该点到原点的距离是（ ）A 26 B 3 C 23 D 36第卷（非选择题，共 100 分）二、填空题：请
4、把答案填在题中横线上（每小题 6 分，共 24 分） 11如右图，棱长为 3a 正方体 OABC DAB，点 M 在 |BC上，且 |2 |M，以 O为坐标原点，建立如图空间直有坐标系，则点M 的坐标为 12如右图，为一个正方体截下的一角 P ABC，|PAa， |b， |c，建立如图坐标系，求 ABC 的重心 G 的坐标 _ _13若 O（0，0，0） ， P（ x， y， z） ，且 |1O，则221xyz表示的图形是 _ _14已知点 A（3，1，4） ，则点 A 关于原点的对称点B 的坐标为 ； AB 的长为 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤(共 76 分)15 （1
5、2 分）如图，长方体 BCD中， |3AD， |5B， |3A，设E 为 DB的中点， F 为 的中点，在给定的空间直角坐标系 D xyz 下，试写出A， B， C， D， ， ， ， ， E， F 各点的坐标16 （12 分）如图，在四棱锥 P ABCD 中，底面 ABCD 为正方形，且边长为 2a，棱 PD底面 ABCD， PD=2b，取各侧棱的中点 E， F， G， H，写出点 E， F， G， H 的坐标17 （12 分）如图，已知矩形 ABCD 中， |3AD， |4B将矩形 ABCD 沿对角线 BD 折起，使得面 BCD面 ABD现以 D 为原点， DB 作为 y 轴的正方向，建立
6、如图空间直角坐标系，此时点 A 恰好在 xDy 坐标平面内试求 A， C 两点的坐标 18 （12 分）已知 )1,2(A， )3,4(B， )4,16(C ，求证其为直角三角形19 （14 分）如图，已知正方体 ABCD的棱长为 a， M 为 BD的中点，点 N在 AC上，且 |3|N，试求 MN 的长20 （14 分）在空间直角坐标系中，已知 A（3，0，1）和 B（1，0，3） ，试问（1）在 y 轴上是否存在点 M，满足 |？（2）在 y 轴上是否存在点 M，使 MAB 为等边三角形？若存在，试求出点 M 坐标参考答案一、CADCB BDCCA二、11 （2 a， 3a， 3a） ；
7、12G（ 3,bca） ； 13以原点 O 为球心，以 1 为半径的球面；14 （3，1，4） ； 26；三、15解：设原点为 O，因为 A， B， C， D 这 4 个点都在坐标平面 xOy 内，它们的竖坐标都是 0，而它们的横坐标和纵坐标可利用 |3AD， |5B写出，所以 A（3，0，0） ， B（3，5，0） ， C（0，5，0） ， D（0，0，0） ；因为平面 C与坐标平面 xOy 平行，且 |，所以 A， B， C， D的竖坐标都是 3，而它们的横坐标和纵坐标分别与 A， B， C， D 的相同，所以A（3，0，3） ， B（3，5，3） ， （0，5，3） ， （ 0，0，3）
8、 ；由于 E 分别是 D中点，所以它在坐标平面 xOy 上的射影为 DB 的中点，从而 E 的横坐标和纵坐标分别是 的 12，同理 E 的竖坐标也是 的竖坐标的 12，所以 E（ 35,2） ；由 F 为 C中点可知， F 在坐标平面 xOy 的射影为 BC 中点，横坐标和纵坐标分别为32和 5，同理点 F 在 z 轴上的投影是 AA中点，故其竖坐标为 3，所以 F（ ，5， ） 16解: 由图形知， DA DC， DC DP， DP DA，故以 D 为原点，建立如图空间坐标系D xyz因为 E， F， G， H 分别为侧棱中点，由立体几何知识可知，平面 EFGH 与底面 ABCD平行，从而这
9、 4 个点的竖坐标都为 P 的竖坐标的一半，也就是 b，由 H 为 DP 中点，得 H（0，0， b）E 在底面面上的投影为 AD 中点，所以 E 的横坐标和纵坐标分别为 a 和 0，所以E（ a，0， b） ，同理 G（0， a， b） ；F 在坐标平面 xOz 和 yOz 上的投影分别为点 E 和 G，故 F 与 E 横坐标相同都是 a，与 G 的纵坐标也同为 a，又 F 竖坐标为 b，故 F（ a， a， b） 17解： 由于面 BCD面 ABD，从面 BCD 引棱 DB 的垂线 CF 即为面 ABD 的垂线，同理可得AE 即为面 BCD 的垂线，故只需求得 DCA,的长度即可。最后得
10、A（ 129,05） ，C（0, 162,5）18略解：利用两点间距离公式，由 8B， 7， 4B，从而 22AB，结论得证.19解：以 D 为原点，建立如图空间直角坐标系因为正方体棱长为 a，所以 B（ a， a，0） ，A（ a，0， a） ， C（0， a， a） ， D（0，0， a） 由于 M 为 的中点，取 A中点 O，所以 M（ 2， ， ） ，O（ 2， ， a） 因为 |3|ANC，所以 N 为 的四等分，从而 N 为 OC的中点，故 N（ 4，34a， a） 根据空间两点距离公式，可得 22236|()(44aMa20解：（1）假设在在 y 轴上存在点 M，满足 |AB因 在 y 轴上，可设 M（0， y，0） ，由 |，可得222313，显然，此式对任意 yR恒成立这就是说 y 轴上所有点都满足关系 |MAB（2）假设在 y 轴上存在点 M，使 MAB 为等边三角形由（1）可知， y 轴上任一点都有 |AB，所以只要 |就可以使得 MAB 是等边三角形因为 222|(30)(10)Ay222|(13)0(31)0AB于是 y，解得 y故 y 轴上存在点 M 使 MAB 等边， M 坐标为（0， 1，0） ，或（0， 10，0）
