1、第 3 章第 1 节 从算式到方程一. 教学内容：从算式到方程1. 方程、方程的解、一元一次方程的定义。2. 等式的性质。3. 分析实际问题中的数量关系，利用其中的相等关系列出方程，是用数学解决实际问题的一种方法。二. 知识要点：1. 与方程有关的定义（1）含有未知数的等式叫做方程。（2）使方程中等号左右两边相等的未知数的值叫做方程的解。（3）只含有一个未知数（元），未知数的次数都是 1，这样的方程叫做一元一次方程。一元一次方程有两个特点：未知数所在的式子是整式，即分母中不含未知数；只含有一个未知数，未知数的次数是 1。2. 等式的性质（1）等式的性质 1 等式两边加（或减）同一个数（或式子）
2、，结果仍相等. 如果 a b，那么ac_。（2）等式的性质 2 等式两边乘同一个数，或除以同一个不为 0 的数，结果仍相等. 如果 a b，那么 _；如果 a b（ c0），那么_。关于等式的几点说明：弄清等式与代数式的区别与联系：等式与代数式不同，等式是含“”的式子，代数式不含有等号，它是用运算符号连接数或表示数的字母而成的式子. 等式可用来表示两个代数式之间有相等关系，但代数式不是等式。等式的另外两个性质：等式的左右两边互换，所得结果仍是等式，如 a b，则 b a（这一性质也叫等式的对称性）；等式具有传递性，如：若 a b， b c，则 a c（这一性质也叫等量代换）。 3. 学会列方程
3、列方程的一般步骤：（1）“审”是指读懂题目，弄清题意，明确哪些是已知量，哪些是未知量，以及它们之间的等量关系；（2）“设”就是设未知数； （3）“列”就是列方程，这是最关键的一步. 一般先找出能够表达应用题全部含义的一个相等关系，然后列代数式表示相等关系中的各个量，就得到含有未知数的等式，即方程。 列方程需要注意的事项：（1）列方程时，寻找题目中的等量关系是关键，可利用列表、线段图等方法分析已知量与未知量的关系，从而寻找出等量关系式。 （2）设未知数就是将题目中要求的问题或与所求问题密切相关的其他问题用未知数表示出来，然后根据等量关系列出方程。三. 重点难点：1. 重点：等式的性质；列方程的步
4、骤和方法，特别是如何设未知数和列方程。2. 难点：分析实际问题中的数量关系，利用其中的相等关系列出方程。【典型例题】例 1. 判断下列各式是不是方程？如果是方程，指出已知数和未知数；如果不是方程，说明为什么？（1）2 x15；（2）4812；（3）5 y8；（4）2 a3 b0；（5）6 a25 x4；（6）2 x2 x1；（7） x21；（8） ax2 a3。分析：方程是含有未知数的等式；方程是等式，但等式不一定是方程；方程、等式都含有等号，而代数式不含等号；两个代数式用等号连接起来就是等式。解：（1）是方程。2、1、5 是已知数， x 是未知数；（2）不是方程。因为等式中不含未知数；（3）
5、不是方程。因为它是代数式，而不是等式；（4）是方程。2、3、0 是已知数， a、 b 是未知数；（5）不是方程。因为它是代数式，而不是等式；（6）是方程。2、1 是已知数， x 是未知数；（7）不是方程。因为它不是等式；（8）是方程。当 a 是未知数时， x、2、3 是已知数；当 x 是未知数时， a、2 a、3 是已知数；当a、 x 是未知数时，2、3 是已知数。评析：（1）化简后未知数系数为零的含有未知数的等式不是方程，如 2x132 x 就不是方程；（2）方程的已知数包括它前面的符号，当未知数的系数是 1 时，省略的 1 可看作已知数，但是一般不写，如本例中的（6）， x 的系数为 1，
6、在写已知数时，可以不写。例 2. 检验下列各数是不是方程 3x12 x1 的解。（1） x4；（2） x2. 解：（1）把 x4 分别代入方程的左边和右边，得左边34111；右边2419，左边右边， x4 不是方程 3x12 x1 的解。（2）把 x2 分别代入方程的左边和右边，得左边3215；右边2215，左边右边， x2 是方程 3x12 x1 的解。评析：一般地，要检验某个值是不是方程的解，可以用这个值代替未知数代入方程，看方程左右两边的值是否相等. 相等就是方程的解，否则不是。例 3. 根据下列条件列出方程：（1）某数的 7 倍比它本身大 5。（2）小赵为班级买了三副羽毛球拍，付出 5
7、0 元，找回 3.50 元。每副羽毛球拍的单价是多少？（3）一队学生从学校出发前往部队军训，行进速度是 5 千米/时，走了 4.5 千米时，一名通讯员派回送信，然后他又追赶队伍，通讯员的速度是 14 千米/时，他在距离部队 6 千米处追上学生队伍，问学校距离部队多远？（通信员报信时间忽略不计）。 分析：列方程时，注意题目中一些关键字的理解. 如（1）中的“大”；（2）中的“付出，找回”；（3）中的“追上” 。 解：（1）设某数为 x，根据题意列方程：7 x x5；（2）设每副羽毛球拍的单价是 x 元，根据题意得：503.53 x；（3）设通讯员从离开队伍到追上队伍共用去 x 小时，则依题意得：
8、14 x4.55 x4.5。评析：根据数量关系列方程，就是把文字叙述的问题，转化为符号语言表达的式子，列方程的关键是找到题中的等量关系，根据题意列出的方程，有时并不唯一，但实质一样。如本题中（1）还可以列出 7x x5 等。 评析：（1）要注意转化过程中应用等式的性质. （2）考虑问题要注意全面性。例 5. （2007 年浙江丽水）请根据图中给出的信息，可得正确的方程是 （ ）解：A评析：本题关键要抓住“相同水量”这一等量关系列方程。例 6.已知关于 x 的方程（2 a b） x10 无解，那么 ab 的值是 （ ）A. 负数 B. 正数 C. 非负数 D. 非正数分析：一个方程无解说明无论
9、x 为何值这个等式都不成立，即 2a b0，把 2a 看成一个数，那么 2a 和 b 都为零或一正一负，所以 a 和 b 都为零或一正一负，所以 ab0，或 ab0。解：D评析：一个方程无解，说明这个方程中所含字母的项的系数为零。【方法总结】1. 把实际问题中的数量关系用方程形式表示出来，就是建立一种数学模型，这种建模思想在这部分内容中占主导地位。2. 从算式到方程使我们有了更有力、更方便的数学工具，从算术方法到代数方法是数学的进步。【模拟试题】（答题时间：40 分钟）一. 选择题1. 下列各式是方程的是 （ ）A. 3x6 B. 5 x2 x3 C. x3 D. 4（2）22. 下列方程中是
10、一元一次方程的是 （ ）A. 2x y1 B. y2 C. x22 x3 D. y243. 下列方程中，以 3 为解的方程是 （ ）A. 4y52 y6 B. y12 C. y41 D. 2 y334.方程 x11 的解是 （ ）A. x1 B. x0 C. x1 D. x2A. 2 B. 3 C. 4 D. 5*6.已知是方程 2x ay3 的一个解，那么 a 的值是 （ ）A. 1 B. 3 C. 3 D. 17. 某工厂在第一季度生产机器 300 台，比原计划超产了 20%. 若设原计划第一季度生产 x 台，则这个问题中所含的相等关系及相应的方程是 （ ）A. 实际产量超产量原计划产量，
11、30020%300 xB. 实际产量超产量原计划产量，30020% x xC. 实际产量超产量原计划产量，30020%300 xD. 实际产量超产量原计划产量，30020% x x*8. 下列结论正确的是 （ ） A. 若 m3 n7，则 m7 n11B. 若 0.25x1，则 x1/4C. 若 7y652 y，则 7y6172 yD. 若 7a7 a，则 77二. 填空题 1.方程 2x60 的解为_. 2. 如果 x5 是方程 2x53 k 的解，则 k 的值等于_. 3. 若 3x4m5 70 是一元一次方程，则 m_. 4. 王平家有 5.4 亩苹果树，他和爸爸、妈妈一起收摘，3 天全
12、部摘完. 结果妈妈比王平多摘 0.6 亩，而爸爸收摘的是王平的 2 倍. 若设王平摘了 x 亩，则妈妈摘了_亩，爸爸摘了_亩，它们应满足的方程为_. *5. 阅读理解：将等式 3a2 b2 a2 b 变形过程如下：因为 3a2 b2 a2 b所以 3a2 a（第一步）所以 32（第二步）上述过程中，第一步的依据是_；第二步得出错误的结论，其原因是_. *6. 已知 4m2 n5 m5 n，试利用等式的性质比较 m 与 n 的大小关系：_. 三. 解答题3. 根据下列条件设出未知数，列出一元一次方程. （不必求解）（1）七年级共有学生 550 人，其中男生比女生多 10 人，求女生的人数. （2
13、）若干年前，某种品牌的 21 英寸彩电价格为 3000 元，现在只卖 1800 元，求降低了百分之几？（3）一根铁丝长 80cm，现要做成一长方形的方框，长是宽的 3 倍，求它的宽. 4. （1）当 m 为何值时，关于 x 的方程 x2m50 是一元一次方程？（2）当 m 为何值时，关于 x 的方程（ m1） x2 mx10 是一元一次方程？四. 开放探究题*1. 求作一个方程，使它的解分别为（1）1/2；（2）0；（3）2. *2. 如图是一张 4 月份的日历. （1）在该日历中能否找出一竖列上相邻的三个数，使它们的和分别为 25，60 和 75？（2）阴影所示的方框中，每行数之和有什么规律
14、？每列数之和有什么规律？【试题答案】一. 选择题1. A 2. B 3. B 4. D 5. B 6. A 7. D 8. C二. 填空题1. x3 2. 5 3. 4. x0.6，2 x， x（ x0.6）2 x5.4 5. 等式的性质 1，两边都除以 a 时，忽略了 a0 这个条件 6. m n三. 解答题1. 等式有：（2）（3）（4）（5）；代数式有：（1）（6）；方程有：（2）（4）（5） 2. （1）能，由已知可得 x0， y0，所以在等式两边同乘以 xy 可得到 y2 x；（2）不一定，若 a0，根据等式性质 2，在等式两边都除以 a 得到；若 a0 不能得到，是因为 0 不能作分母。 3. （1）设女生人数为 x，则 x10 x550；（2）设降低了 x%，则 3000x%30001800；（3）设宽为 xcm，则 3x2 x280。4. （1）由于 2m1，所以 m；（2）由于 m10，所以 m1，当 m1 时原方程变为 x10。四. 开放探究题1. 答案不唯一，如（1） x0（2）2 x0（3）3 x6 等。2. （1）设一竖列上相邻的三个数中中间一个为 x，则它上面的数为 x7，它下面的数为 x7，所以x（ x7）（ x7）25 或 60 或 75。根据题意，和可以为 60，但不能为 25 和 75（2）每行数之和相差 28，每列数之和相差 4。
