1、第十三章 轴对称131 轴对称131.1 轴对称1理解轴对称图形和两个图形关于某直线对称的概念2了解轴对称图形的对称轴，两个图形关于某直线对称的对称轴、对应点3掌握线段垂直平分线的概念4理解和掌握轴对称的性质重点轴对称图形和两个图形关于某直线对称的概念难点轴对称图形和两个图形关于某直线对称的区别和联系一、作品展示1让部分学生展示课前的剪纸作品2小组活动：(1)在窗花的制作过程中，你是如何进行剪纸的？为什么要这样？(2)这些窗花(图案 )有什么共同的特点？二、概念形成(一)轴对称图形1在学生充分交流的基础上，教师提出“轴对称图形”的概念，并让学生尝试给它下定义，通过逐步地修正形成“轴对称图形”的
2、定义，同时给出“对称轴” 2结合教材图 13.11 进一步分析轴对称图形的特点，以及对称轴的位置3学生举例，试举几个在现实生活中你所见到的轴对称例子4概念应用：(1)教材第 60 页练习第 1 题(2)补充：判断下面的图形是不是轴对称图形？如果是轴对称图形，它们的对称轴是什么？(二)两个图形关于某条直线对称1观察教材中的图 13.13，思考：图中的每对图形有什么共同的特点？2两个图形成轴对称的定义观察右图：把ABC沿直线 l 对折后能与ABC 重合，则称ABC与ABC 关于直线 l 对称，简称“轴对称” ，点 A 与点 A对应，点 B 与 B对应，点 C 与 C对应，称为对称点，直线 l 叫做
3、对称轴3举例：你能举出一些生活中两个图形成轴对称的例子吗？4讨论：轴对称图形和两个图形成轴对称的区别(三)轴对称的性质观察教材中图 13.14，线段 AA与直线 MN 有怎样的位置关系？你能说明理由吗？引导学生说出如下关系：PAPA ，MPA MPA90.类似的，点 B 和点 B，点 C 和点 C是否有同样的关系？你能用语言归纳上述发现的规律吗？结合学生发表的观点，教师总结并板书对称轴经过对称点所连线段的中点，并且垂直于这条线段在这个基础上，教师给出线段的垂直平分线的概念，然而把上述规律概括成图形轴对称的性质上述性质是对两个成轴对称的图形来说的，如果是一个轴对称图形，那么它的对应点的连线与对称
4、轴之间是否也有同样的关系？从而得出：类似的，轴对称图形的对称轴，是任何一个对应点所连线段的垂直平分线三、归纳小结主要围绕下列几个问题：(1)概念：轴对称图形，两个图形关于某条直线对称，对称轴 ，对称点；(2)找轴对称图形的对称轴四、布置作业教材习题 13.1 第 1，2，3 题数学教学应该选在牵一发而动全身的关键之处进行，轴对称图形的认识的教学就是要抓住“对折”与“完全重合”两个关键之处不然就是隔靴搔痒. 当“部分重合”与“完全重合”理解了，轴对称图形的概念也会在学生脑海中留下深刻的印象131.2 线段的垂直平分线的性质( 2 课时)第 1 课时 线段的垂直平分线的性质与判定掌握线段的垂直平分
5、线的性质和判定，能灵活运用线段的垂直平分线的性质和判定解题重点线段的垂直平分线的性质和判定，能灵活运用线段的垂直平分线的性质和判定解题难点灵活运用线段的垂直平分线的性质和判定解题一、问题导入我们已经知道线段是轴对称图形，线段的垂直平分线是线段的对称轴那么，线段的垂直平分线有什么性质呢？这节课我们就来研究它二、探究新知(一)线段的垂直平分线的性质教师出示教材第 61 页探究，让学生测量，思考有什么发现？如图，直线 l 垂直平分线段 AB，P 1，P 2，P 3是 l 上的点，分别量一量点P1，P 2，P 3到点 A 与点 B 的距离，你有什么发现？学生回答，教师小结：线段垂直平分线上的点与这条线
6、段两个端点的距离相等性质的证明：教师讲解题意并在黑板上绘出图形：上述问题用数学语言可以这样表示：如图，设直线 MN 是线段 AB 的垂直平分线 ，点 C 是垂足，点 P 是直线 MN 上任意一点，连接PA， PB，我们要证明的是 PAPB.教师分析证明思路：图中有两个直角三角形，APC 和BPC，只要证明这两个三角形全等，便可证得 PAPB.教师要求学生自己写已知，求证，自己证明学生证明完后教师板书证明过程供学生对照已知：MNAB，垂足为点 C，ACBC，点 P 是直线 MN 上任意一点求证：PA PB.证明：在APC 和BPC 中，PC PC(公共边)，PCBPCA(垂直定义) ，ACBC(
7、已知)，APC BPC(SAS)PAPB(全等三角形的对应边相等) 因为点 P 是线段的垂直平分线上一点，于是就有：线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等(二)线段的垂直平分线的判定你能写出上面这个命题的逆命题吗？它是真命题吗？这个命题不是“如果那么”的形状，要写出它的逆命题，需分析命题的条件和结论，将原命题写成“如果那么”的形式，逆命题就容易写出鼓励学生找出原命题的条件和结论原命题的条件是“有一个点是线段垂直平分线上的点” ，结论是“这个点与这条线段两个端点的距离相等” 此时，逆命题就很容易写出来 “如果有一个点与线段两个端点的距离相等，那么这个点在这条线段的垂直平分线上 ”写出逆
8、命题后，就想到判断它的真假如果真，则需证明它；如果假，则需用反例说明请同学们自行在练习册上完成学生给出了如下的四种证法已知：线段 AB，点 P 是平面内一点，且 PAPB.求证：P 点在 AB 的垂直平分线上证法一 过点 P 作已知线段 AB 的垂线 PC，PAPB，PC PC，RtPACRt PBC(HL)ACBC ，即 P 点在 AB 的垂直平分线上证法二 取 AB 的中点 C，过 P，C 作直线PAPB， PCPC，ACCB ，APC BPC(SSS)PCA PCB(全等三角形的对应角相等) 又PCA PCB180，PCAPCB90，即 PCAB，P 点在 AB的垂直平分线上证法三 过
9、P 点作APB 的平分线PAPB，12，PCPC，APCBPC(SAS)ACBC，PCA PCB(全等三角形的对应边相等，对应角相等)又PCA PCB180，PCAPCB90，P 点在 AB 的垂直平分线上证法四 过 P 作线段 AB 的垂直平分线 PC.ACCB，PCA PCB 90，P 在 AB 的垂直平分线上四种证法由学生表述后，有学生提问：“前三个同学的证明是正确的，而第四个同学的证明我有点弄不懂 ”师生共析：如图(1)，PD AB，D 是垂足，但 D 不平分 AB；如图(2)，PD 平分 AB，但 PD 不垂直于 AB.这说明一般情况下， “过 P 作 AB 的垂直平分线 ”是不可能
10、实现的，所以第四个同学的证法是错误的从同学们的推理证明过程可知线段的垂直平分线的性质的逆命题是真命题，我们把它称为线段的垂直平分线的判定要作出线段的垂直平分线，根据垂直平分线的判定：与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上，那么我们必须找到两个与线段两个端点距离相等的点，这样才能确定已知线段的垂直平分线下面我们一同来写出已知、求作、作法，体会作法中每一步的依据例 1 尺规作图：经过已知直线外一点作这条直线的垂线已知：直线 AB 和 AB 外一点 C.(如下图)求作：AB 的垂线，使它经过点 C.作法：(1)任意取一点 K，使点 K 和点 C 在 AB 的两旁(2)以点 C 为圆
11、心，CK 长为半径作弧，交 AB 于点 D 和点 E.(3)分别以点 D 和点 E 为圆心 ，大于 DE 的长为半径作弧，两弧相交于点 F.12(4)作直线 CF.直线 CF 就是所求作的垂线师：根据上面作法中的步骤，想一想，为什么直线 CF 就是所求作的垂线？请与同伴进行交流生：从作法的第(2)(3)步可知 CDCE ，DFEF，C，F 都在 AB 的垂直平分线上(线段的垂直平分线的判定)CF 就是线段 AB 的垂直平分线(两点确定一条直线) 师：我们曾用刻度尺找线段的中点，当我们学习了线段的垂直平分线的作法时，一旦垂直平分线作出，线段与线段的垂直平分线的交点就是线段 AB 的中点，所以我们
12、也用这种方法找线段的中点三、课堂练习教材第 62 页练习第 1，2 题四、课堂小结本节课我们学习了线段的垂直平分线的性质和判定，并学会了用尺规作线段的垂直平分线五、布置作业1教材习题 13.1 第 6 题2补充题：(1)下图是某跨河大桥的斜拉索，图中 PAPB，POAB，则必有 AOBO，为什么？(2)如左下图，ABC 中，AC16 cm，DE 为 AB 的垂直平分线，BCE 的周长为 26 cm.求 BC 的长(3)有 A，B，C 三个村庄(如右上图 )，现准备建一所学校，要求学校到三个村庄的距离相等，请你确定学校的位置本节证明了线段的中垂线的性质定理及判定定理、用尺规作线段的中垂线在课堂中
13、，学生证明过程、作图方法原理的理解及掌握都比较好，但要强调作业中不用三角板等工具而要用尺规来作图，解决实际问题时可以直接用定理而不是借助于全等第 2 课时 画对称轴会画轴对称图形的对称轴重点轴对称图形的对称轴的画法难点轴对称图形的对称轴的画法一、提出问题如果两个平面图形成轴对称，你能用什么办法验证？不经过折叠，你能用什么方法画出它的对称轴？二、探究新知我们已经学过，如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线，所以我们只要找到两个图形的一对对应点，然后画出以对应点为端点的线段的垂直平分线即可，如何作线段的垂直平分线呢？例 1 如图(1)，已知点 A 和点 B 关
14、于某条直线成轴对称， 你能作出这条直线吗？分析：我们只要连接点 A 和点 B，作出线段 AB 的垂直平分线，就可以得到点 A 和点B 的对称轴 ，为此作出到点 A，B 距离相等的两点，即线段 AB 的垂直平分线上的两点，从而作出线段 AB 的垂直平分线教师具体分析画法、写出画法，根据画法作出图形学生模仿教师的画法，边写画法，边画图作法：如图(2)(1)分别以点 A，B 为圆心，以大于 AB 的长为半径作弧 (想一想，为什么)，两弧相交12于 C，D 两点；(2)作直线 CD.CD 就是所求作的直线这个作法实际上就是线段的垂直平分线的尺规作图教师引导学生思考：(1)在作法中为什么有 CACB，D
15、ADB?(2)可以用这种方法找线段的中点吗？四等分点呢？三、举例分析例 2 如图(1)，ABC 和 ABC是两个成轴对称的图形，请画出它的对称轴教学方法：启发学生把问题转化为已解决问题，只要画出点 A、点 A连线的垂直平分线即可，如图(2) 例 3 图(1)是一个五角星，请画出它的对称轴教学方法：引导学生思考五角星有几条对称轴，点 A 可以和哪些点成对应点？最后化归到例 2，由学生自己完成四、巩固练习教材第 64 页练习第 1，2，3 题五、课堂小结本节课你有什么收获？还有哪些不懂的地方吗？六、布置作业教材习题 13.1 第 7，8 题通过前两节的学习，这节画对称轴的习题课就可以全部交由学生自
16、己完成画轴对称图形的对称轴就是利用两个对称点找到对称轴，即画出这对对应点连线的垂直平分线，让学生用尺规作图，独立完成132 画轴对称图形( 2 课时)第 1 课时 作轴对称图形通过实际操作，掌握作轴对称图形的方法重点能够按要求作出简单平面图形经过一次对称后的图形难点较复杂图形的轴对称图形的画法一、问题导入我们前面学习了轴对称图形以及轴对称图形的一些相关的性质如果有一个图形和一条直线，如何画出这个图形关于这条直线对称的图形呢？这节课我们一起来学习作轴对称图形的方法二、探究新知活动 在一张半透明纸的左边部分，画一只左脚印，把这张纸对折后描图 ，打开对折的纸，就能得到相应的右脚印这时，右脚印和左脚印
17、成轴对称，折痕所在的直线就是它们的对称轴，并且连接任意一对对应点的线段被对称轴垂直平分类似地，请你再将一个图形做一做，看看能否得到同样的结论认真观察，左脚印和右脚印有什么关系？(成轴对称)对称轴是折痕所在的直线，即直线 l，它与图中的线段 PP是什么关系？(直线 l 垂直平分线段 PP)思考 1 如何画一个点的对称图形？例 1 画出点 A 关于直线 l 的对称点 A.画法：(1)过点 A 作对称轴 l 的垂线，垂足为 B；(2)延长 AB 到 A，使得 BA AB.点 A就是点 A 关于直线 l 的对称点思考 2 如何画一条直线的对称图形？例 2 已知线段 AB，画出 AB 关于直线 l 的对
18、称线段画法：(1)画出点 A 关于直线 l 的对称点 A.(2)画出点 B 关于直线 l 的对称点 B.(3)连接点 A和点 B成线段 AB.线段 AB即为所求思考 3 如果有一个图形和一条直线，如何画出与这个图形关于这条直线对称的图形呢？例 3 如图，已知ABC 和直线 l，画出与ABC 关于直线 l 对称的图形画法：(1)过点 A 画直线 l 的垂线，垂足为 O，在垂线上截取 OAOA ，A 就是点 A关于直线 l 的对称点(2)同理，分别画出点 B，C 关于直线 l 的对称点 B，C .(3)连接 AB， BC，CA ，则ABC即为所求三、课堂练习1教材第 68 页练习第 1，2 题2下
19、列图形中，点 P 与 P关于直线 MN 对称的图形是( )四、小结与作业1归纳：几何图形都可以看成由点组成，对于某些图形，只要画出图形中的一些特殊点(如线段的端点)，连接这些对称点，就可以得到图形的对称图形2作业：教材习题 13.2 第 1 题几何图形都可以看作由点组成，我们只要分别作出这些点关于对称轴的对应点，再连接这些对应点，就可以得到原图形的轴对称图形；对于一些由直线、线段或射线组成的图形，只要作出图形中的一些特殊点(如线段端点) 的对称点 ，连接这些对称点，就可以得到原图形的轴对称图形第 2 课时 用坐标表示轴对称1能在直角坐标系中画点关于坐标轴的对称点2能表示点关于坐标轴对称的点的坐
20、标，表示关于平行于坐标轴的直线的对称点的坐标重点用坐标表示点关于坐标轴对称的点的坐标难点找对称点的坐标之间的关系一、问题导入教材图 13.23 是一张老北京城的示意图，其中西直门和东直门是关于中轴线对称的，如果以天安门为原点，分别以长安街和中轴线为 x 轴和 y 轴建立平面直角坐标系，根据如图所示的东直门的坐标，你能说出西直门的坐标吗？二、探究新知【探究 1】 (1)在直角坐标系中画出下列已知点 A(2， 3)，B(1，2)，C(6，5) ，D(3，5)，E(4，0)，F(0，3) ；(2)画出这些点分别关于 x 轴、y 轴对称的点，并填写表格；(3)请你仔细观察点的坐标，你能发现关于坐标轴对
21、称的点的坐标有什么规律吗？(4)请你想办法检验你所发现的规律的正确性，说说你是如何检验的已知点 A(2，3) B(1，2) C(6，5)D(3，5) E(4，0) F(0，3)关于 x 轴的对称点关于 y 轴的对称点【归纳】 关于 x 轴对称的点的坐标规律是：横坐标相同，纵坐标互为相反数【探究 2】 在同一平面直角坐标系内描出以上各点关于 y 轴的对称点并写出坐标，观察关于 y 轴对称的两个点的坐标有什么规律？【归纳】 关于 y 轴对称的点的坐标规律是：纵坐标相同，横坐标互为相反数【探究 3】 按以上规律，说出点 P(x，y)关于 x 轴的对称点 P1 的坐标，再说出 P1 关于 y 轴的对称
22、点 P2 坐标观察点 P 经过两次轴对称所得点 P2 的坐标有什么规律？【归纳】 一个点经历关于 x 轴、y 轴两次轴对称得到的对称点坐标规律是：横坐标互为相反数，纵坐标也互为相反数在以后学了“中心对称”后，两点被称为关于原点对称三、举例分析【例 1】 已知 A(2，a)，B(b，4) ，分别根据下列条件求 a，b 的值(1)A，B 关于 y 轴对称；(2)A，B 关于 x 轴对称；(3)A，C 关于 x 轴对称，B，C 关于 y 轴对称【解析】 (1)A ，B 关于 y 轴对称 ，说明纵坐标相同，横坐标相反 ，a4，b2；(2)A，B 关于 x 轴对称，说明横坐标相同 ，纵坐标相反， a4，
23、b2；(3)A，C 关于 x 轴对称，B，C 关于 y 轴对称，说明 A，B 经过 x 轴、y 轴两次对称变换，即关于原点对称，横、纵坐标各互为相反数，a4，b2.【例 2】 如下图，四边形 ABCD 的四个顶点的坐标分别为 A(5，1) ，B(2，1)，C(2，5) ，D( 5，4)，分别画出与四边形 ABCD 关于 y 轴和 x 轴对称的图形学生独立完成，教师用多媒体出示出正确答案并讲评四、课堂巩固1平面直角坐标系中，点 P(4，5)关于 x 轴的对称点在( )A第一象限 B第二象限C第三象限 D第四象限2已知点 P(2，3)关于 y 轴对称点为 Q(a，b) ，则 ab 的值为( )A1
24、 B1 C 5 D53点 P(a，b) 关于 x 轴对称的点为 P1，点 P1 关于 y 轴的对称点为 P2，则 P2 的坐标为( )A(a，b) B (a，b)C(a，b) D(a，b)4若点(a ，b)与点(m，n)满足 am0，bn0，则这两点关于( ) 对称Ax 轴 By 轴Cx 轴或 y 轴 D不确定五、拓展思维如图，点 A(1， 4)，B(4，1)，l 为第一、三象限角xOy 的平分线(1)求证：l 垂直平分 AB；(2)A，B 关于 l 成轴对称吗？(3)如果点 A， B 的坐标分别为 (6，8)和(8 ，6)，它们还关于 l 对称吗？(4)如果你发现了对称点的坐标规律，写出点
25、P(m，n)关于第一、三象限角平分线的对称点 Q 的坐标六、小结与作业小结：(1)点关于某条直线对称的点的坐标可以通过寻找线段之间的关系来求(2)点(x， y)关于 x 轴对称的点的坐标为(x，y) ，即横坐标相等 ，纵坐标互为相反数；点(x，y)关于 y 轴对称的点的坐标为(x，y) 即横坐标互为相反数，纵坐标相等作业：教材习题 13.2 第 3，4 题本节课通过学生熟悉、向往的北京城内天安门、长安街、东直门等的方位引入新课，能强烈地吸引学生的注意力，较好地激发学生的学习兴趣其中归纳规律后检验其正确性是科学研究问题的一个必不可少的步骤，并通过一系列的练习培养学生思维的流畅性，也使学生特别是学
26、有困难的学生都能达到基本的学习目标133 等腰三角形133.1 等腰三角形(2 课时)第 1 课时 等腰三角形的性质和应用1理解并掌握等腰三角形的性质2运用等腰三角形的性质进行证明和计算3观察等腰三角形的对称性、发展形象思维重点等腰三角形的性质及应用难点等腰三角形的性质的证明一、情境导入【活动 1】教师预先做出各种几何图形，包括圆、长方形、正方形、等腰梯形、一般三角形、等腰三角形、等边三角形等让同学们抢答哪些是轴对称图形，提问什么是轴对称图形，什么样的三角形才是轴对称图形引入今天所要讲的课题等腰三角形我们知道，有两条边相等的三角形是等腰三角形，下面我们利用轴对称的知识来研究等腰三角形二、探究新
27、知如图，把一张长方形的纸按图中虚线对折，并剪去阴影部分，再把它展开，得到的ABC 有什么特点？学生活动：学生动手操作，从剪出的图形观察ABC 的特点，可以发现 ABAC.教师活动：让学生回顾等腰三角形的概念：有两边相等的三角形叫做等腰三角形，相等的两边叫做腰，另一边叫做底边，两腰的夹角叫做顶角，腰和底边的夹角叫做底角如下图在ABC 中，若 ABAC，则ABC 是等腰三角形，AB ，AC 是腰，BC 是底边，A 是顶角，B 和C 是底角【活动 2】把活动 1 中剪出的ABC 沿折痕 AD 对折，找出其中重合的线段 ，填入下表：重合的线段 重合的角从上表中你能发现等腰三角形具有什么性质吗？学生活动
28、：学生经过观察，独立完成上表，然后小组讨论交流，从表中总结等腰三角形的性质教师活动：引导学生归纳性质 1 等腰三角形的两个底角相等(简写成“等边对等角”) ；性质 2 等腰三角形顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合(简写成“三线合一”) 【活动 3】你能用所学知识验证上述性质吗？如图，在ABC 中，AB AC. 求证：BC.学生活动：学生在独立思考的基础上进行讨论，寻找解决问题的办法，若证B C，根据全等三角形的知识可以知道，只需要证明这两个角所在的三角形全等即可于是可以作辅助线构造两个三角形，作 BC 边上的中线 AD，证明ABD 和ACD 全等即可，根据条件利用“边边边”可以证明教
29、师活动：让学生充分讨论，根据所学的数学知识利用逻辑推理的方式进行证明，证明过程中注意学生表述的准确性和严谨性证明：作 BC 边上的中线 AD，如图在ABD 和ACD 中， AB AC，AD AD，BD CD， )所以ABDACD(SSS)，所以BC.这样，就证明了性质 1.类比性质 1 的证明你能证明性质 2 吗？由ABDACD，还可得出BADCAD ，ADBADC90.从而 ADBC， 这也就证明了等腰ABC 底边上的中线平分顶角A 并垂直于底边BC.添加辅助线的方法多样，让学生再去讨论、交流，即用类似的方法可以证明性质 2.三、应用提高例 1 如图，在ABC 中，ABAC，点 D 在 AC
30、 上，且 BDBCAD，求ABC各角的度数学生活动：小组合作，分组讨论、交流教师活动：引导学生分析图形中关于角的数量关系(三角形的内角、外角，等腰三角形的底角)发现：(1)ABCACB CDBA ABD；(2)AABD；(3)A2C 180.若设Ax，则有 x4x180 ，得到 x36，进一步得到两个底角的度数四、小结与作业请同学们回顾本节课所学的内容，有哪些收获？师生活动：学生思考后，用自己的语言归纳，教师适时点评，并关注以下几个问题：小结：(1)等边对等角；(2) 等腰三角形的三线合一；(3) 等腰三角形常用辅助线作法(作底边上的高、作底边上的中线、作顶角的平分线)作业：教材习题 13.3
31、 第 1，3，7 题本节课重点要让学生通过动手翻折等腰三角形纸片得出等腰三角形“两个底角相等” 、“三线合一”的性质设计理念是让学生通过感官认识、折纸、猜想、验证等腰三角形的性质，然后运用全等三角形的知识加以论证，使学生思维由形象直观过渡到抽象的逻辑演绎，层层展开，步步深入，从而实现教学目的第 2 课时 等腰三角形的判定1理解并掌握等腰三角形的判定方法2运用等腰三角形的判定进行证明和计算重点等腰三角形的判定方法难点等腰三角形的判定方法的证明一、提出问题出示教材第 77 页“思考” 学生思考，回答后教师提问：在一般三角形中，如果有两个角相等，那么它们所对的边有什么关系？学生猜想它们所对的边相等即
32、如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等如何证明？二、解决问题教师引导提示，学生根据提示画出图形，并写出已知、求证已知：在ABC 中，B C.求证：ABAC.与学生一起回顾等腰三角形中常添加的辅助线：高、顶角平分线、底边上的中线让学生逐一尝试，发现可以作 ADBC，或 AD 平分BAC ，但不能作 BC 边上的中线学生口头证明后，选一种方法写出证明过程如图，在ABC 中，B C ，作ABC 的角平分线 AD.在BAD 和CAD 中， 1 2， B C，AD AD， )BADCAD(AAS )，ABAC.归纳等腰三角形的判定方法：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相
33、等，简称：“等角对等边”三、应用举例1出示教材例 2.引导学生根据命题画出图形，利用角平分线的性质及“等边对等角”来证明学生讨论后，自己完成证明过程例 2 求证：如果三角形一个外角的平分线平行于三角形的一边，那么这个三角形是等腰三角形已知：CAE 是ABC 的外角，12，ADBC.(如图所示)求证：ABAC.分析：要证明 ABAC.可先证明BC. 因为12 ，所以可以设法找出B ， C 与 1，2 的关系证明：ADBC ，1B(_)，2C(_)而已知12，所以BC.ABAC(_) 2出示教材例 3.让学生自学例 3.例 3 已知等腰三角形底边长为 a，底边上的高的长为 h，求作这个等腰三角形作
34、法：(1)作线段 ABa.(2)作线段 AB 的垂直平分线 MN，与 AB 相交于点 D.(3)在 MN 上取一点 C，使 DCh.(4)连接 AC，BC，则ABC 就是所求作的等腰三角形四、课堂小结1等腰三角形的判定方法是什么？2等腰三角形的性质与判定既有区别又有联系，你能总结一下吗？五、布置作业教材习题 13.3 第 2，8，10 题学生刚刚学过等腰三角形的性质，对等腰三角形已经有了一定的了解和认识因此在课堂教学中先引出等腰三角形的判定定理及推论，并能够灵活应用它进行有关论证和计算发展学生的动手、归纳猜想能力；发展学生证明用文字表述的几何命题的能力；使它们进一步掌握归纳思维方法，领会数学分
35、类思想、转化思想133.2 等边三角形(2 课时)第 1 课时 等边三角形的性质和判定1掌握等边三角形的定义2理解等边三角形的性质与判定重点等边三角形的性质和判定难点等边三角形的性质的应用一、问题引入在等腰三角形中，如果底边与腰相等，会得到什么结论？二、自主探究1等边三角形的定义底边和腰相等的等腰三角形叫做等边三角形2思考：把等腰三角形的性质用于等边三角形，能得到什么结论？一个三角形的三个内角满足什么条件才是等边三角形？边：三条边都相等角：三个角都相等，并且每一个角都等于 60.3在ABC 中，ABC，你能得到 ABBCCA 吗？为什么？你从中能得到什么结论？三个角都相等的三角形是等边三角形4
36、在ABC 中，AB AC，A60.(1)求证：ABC 是等边三角形；(2)如果把A 60改为B60或C60，那么结论还成立吗？(3)由上你可以得到什么结论？有一个角是 60的等腰三角形是等边三角形三、应用举例1教材例 4.例 4 如图，ABC 是等边三角形，DE BC ，分别交 AB，AC 于点 D，E.求证：ADE 是等边三角形证明：ABC 是等边三角形，AB C.DEBC，ADEB，AEDC，AADEAED ，ADE 是等边三角形2归纳：在判定三角形是等边三角形时：(1)若三角形是一般三角形，只要找三个角相等或三条边相等；(2)若三角形是等腰三角形，一般是找一个角等于 60.四、巩固练习教
37、材第 80 页练习第 1，2 题补充题：1如图，已知等边ABC，点 D，E，F 分别是各边上的一点，且 ADBE CF.求证：DEF 是等边三角形2如图，已知等边ABC，点 D 是 AC 的中点，且 CECD，DFBE. 求证：BFEF.,第 2 题图)教师提出要求，补充题 1，2 可以让学生板书过程五、总结提高小结：通过本节课的学习，你了解到了等边三角形有哪些特点？怎样判定一个三角形是等边三角形？布置作业：教材习题 13.3 第 12，14 题教学中设计了两个问题：把等腰三角形的性质用于等边三角形，你能得到什么结论？类似地，你又能得到哪些等边三角形的判定方法？让学生先自主探索再合作交流，小组
38、内、小组间充分讨论后概括所得结论这既巩固应用等腰三角形的知识，又类比探索等边三角形性质定理和判定定理的方法，并使学生加深对等腰三角形与等边三角形的联系与区别的理解第 2 课时 含 30角的直角三角形的性质掌握含 30角的直角三角形的性质与应用重点含 30角的直角三角形的性质难点含 30角的直角三角形性质的推导一、情境导入将两个含 30的三角尺摆放在一起，你能借助这个图形，找出 RtABC 的直角边 BC与斜边 AB 之间的关系吗？二、探究新知由题意可判定ABD 是等边三角形，且 AC 为边 BD 上的高，可得 BCCD AB.12教师归纳：在直角三角形中，如果一个锐角等于 30，那么它所对的直
39、角边等于斜边的一半你能证明这一结论吗？让学生从以下两个途径探索：(1)ABD 是等边三角形，ACBD 于点 C，则BAD _度，BC_BD _AB.(2)在ABC 中，若 ACBC，A30，则B _度，延长 BC 到点 D，使BDAB，连接 AD，则ABD 是等边三角形，BC _ _12 12以上结论是直角三角形的性质之一，在以后的证明和计算中经常用到思考：逆命题：“在直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的锐角等于 30”是否成立？课堂练习在ABC 中，ACB 90，A30，CDAB，AB4，则BC_ ，BCD_，BD_小明沿倾斜角为 30的山坡从山脚步行到山顶，共走
40、了 200 m，求山的高度三、举例分析出示教材例 5.例 5 如图是屋架设计图的一部分，点 D 是斜梁 AB 的中点，立柱 BC，DE 垂直于横梁 AC， AB7.4 m，A30.立柱 BC，DE 要多长？解：DEAC，BCAC ，A30，BC AB，DE AD.12 12BC 7.43.7( m)12又 AD AB，12DE AD 3.71.85(m )12 12答：立柱 BC 的长是 3.7 m，DE 的长是 1.85 m.教师引导学生寻找图中含有 30角的直角三角形，并选择 BC，DE 所在直角三角形由学生口答后，找学生完成板书，其他同学对照四、课堂小结学生小结，教师梳理本节课的知识点，
41、强调含 30的直角三角形性质的应用五、布置作业教材习题 13.3 第 15 题补充练习：1如图，已知 RtABC 中， A30，ACB90，BD 平分ABC，求证：AD2DC.2如图，已知ABC 中，ABAC，C30，ABAD ，AD 2 cm，求 BC 的长本节课我采用从生活中创设情境来激发学生们的学习兴趣，采用拼图形的方法创设问题的情境，引导学生自主探究活动，培养学生用类比、猜想、论证的研究方法研究问题，培养学生善于动手、善于观察、善于思考的学习习惯，使学生在自主探索和合作交流中理解和掌握本节课的内容134 课题学习 最短路径问题通过对最短路径问题的探索，进一步理解和掌握两点之间线段最短和
42、垂线段最短重点应用所学知识解决最短路径问题难点选择合理的方法解决问题一、创设情境多媒体展示：如图，一个圆柱的底面周长为 20 cm，高 AB 为 4 cm，BC 是底面的直径，一只蚂蚁从点 A 出发，沿着圆柱的侧面爬行到点 C，试求出爬行的最短路径这是一个立体图形，要求蚂蚁爬行的最短路径，就是要把圆柱的侧面展开，利用“两点之间，线段最短”求出最短路径那么怎样求平面图形中的最短路径问题呢？二、自主探究探究一：最短路径问题的概念1多媒体出示图和图，提出问题：(1)图中从点 A 走到点 B 哪条路最短？ (2)图中点 C 与直线 AB 上所有的连线中哪条线最短？2教师总结：“两点之间，线段最短” “
43、连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短”等问题，我们称之为最短路径问题探究二：河边饮马问题多媒体出示问题 1：牧马人从 A 地出发，到一条笔直的河边 l 饮马，然后到 B 地，牧马人从河边什么地方饮马，可使所走的路径最短？提出问题：如果点 A 和点 B 分别位于直线的两侧，如何在直线 l 上找到一点，使得这个点到点 A 和点 B 的距离的和最短？思考：如果点 A 和点 B 位于直线的同侧，如何在直线 l 上找到一点，使得这个点到点A 和点 B 的距离的和最短？教师引导学生讨论，明确找点的方法让学生对刚才的方法通过逻辑推理的方法加以证明教师巡视指导学生的做题情况，有针对性地进行点拨探
44、究三：造桥选址问题多媒体出示问题 2.(教材第 86 页)提出问题：(1)根据问题 1 的探讨你对这道题有什么思路和想法？(2)这个问题有什么不同？(3)要保证路径 AMNB 最短，应该怎样选址？学生对这个三个问题展开讨论，得出结论：要保证 AMNB 最短，就是要保证AMMNNB 最小尝试选址作出图形多媒体展示教材图 13.47，13.48，13.49，引导学生分析、观察，让学生根据刚才的分析，完成证明过程根据问题 1 和问题 2，你有什么启示？三、知识拓展已知长方体的长为 2 cm、宽为 1 cm、高为 4 cm，一只蚂蚁如果沿长方体的表面从 A点爬到 B点， 那么沿哪条路最近，最短的路程是多少？让学生讨论有几种爬行的方法，计算出每种方案中的路程，再进行比较四、归纳总结1本节课你学到了哪些知识？2怎样解决最短路径问题？本节课以数学史中的一个经典问题“将军饮马问题”为载体开展对“最短路径问题”的课题学习，让学生经历将实际问题抽象为数学问题的线段和最小问题，再利用轴对称将线段和最小的问题转化为“两点之间，线段最短”问题
