1、习题课 点线面之间的位置关系一、选择题(每个 5 分，共 30 分)1已知直线 l1、l 2，平面 ，l 1l 2，l 1，则 l2 与 的位置关系是( )Al 2 Bl 2Cl 2 或 l2 Dl 2 与 相交答案：C解析：注意不要漏掉 l2 的情况2在正方体 ABCDA1B1C1D1 中，已知 P、Q 分别是 AA1、CC 1 的中点，则过点B、P 、Q 的截面是 ( )A正方形B邻边不等的矩形C不是正方形的菱形D邻边不等的平行四边形答案：C解析：由平行平面被第三个平面所截，交线平行这一性质易得3如图所示，正方形 SG1G2G3 中，E、F 分别是 G1G2、 G2G3 的中点，D 是 E
2、F 的中点，现在沿 SE、SF 及 EF 把这个正方形折成一个四面体，使 G1、G 2、G 3 三点重合，重合后的点记为 G，则在四面体 SEFG 中必有( )ASG平面 EFG BSD平面 EFGCGF平面 SEF DGD平面 SEF答案：A解析：折叠后，有些线的位置关系不发生变化，如 SGGF ，SGGE.所以 SG平面GEF.4关于直线 m、n 与平面 、，有下列四个命题：m，n 且 ，则 mn；m，n 且 ，则 mn；m，n且 ，则 mn；m， n 且 ，则 mn.其中正确命题的序号是( )A BC D答案：D解析：若 m，n 且 ，则 mn 为错误命题，可能出现直线相交的情况；若 m
3、 ，n 且 ，则 mn 为错误命题，可能出现直线相交的情况在的条件下，m、n 的位置关系不确定5将图 1 中的等腰直角三角形 ABC 沿斜边 BC 的中线 AD 折起得到四面体ABCD (如图 2)，则在四面体 ABCD 中，AD 与 BC 的位置关系是( )A相交且垂直 B相交但不垂直C异面且垂直 D异面但不垂直答案：C解析：在图 1 中的等腰直角三角形 ABC 中，斜边上的中线 AD 就是斜边上的高，则ADBC ，翻折后 AD 与 BC 变成异面直线，而原线段 BC 变成两条线段 BD，CD，且ADBD，AD CD ，故 AD平面 BCD，所以 ADBC.6与空间不共面的四个点距离相等的平
4、面有( )A1 个 B2 个C4 个 D7 个答案：D解析：设空间不共面的四个点分别为 V，A，B，C ，则这四点可构成四面体 V ABC. 若空间的四个点中有一个点在平面的一侧，另外三个点在平面的另一侧，如图 1 所示，经过公共顶点 V 的三条棱的中点作截面 ，则可以证明点 V，A，B，C 到平面 的距离相等，从而此平面符合条件由四面体的特殊位置关系，可得这样的平面还有 3 个，即共有 4 个这样的平面，若空间的四个点中两个点在平面的一侧，另外两个点在平面的另一侧，如图 2 所示，取其中四条棱的中点，得一平面 ，可以证明点 V，A，B，C 到平面 的距离相等，从而此平面符合条件，这样的平面共
5、有 3 个，综上所述，共有 7 个平面满足条件二、填空题(每个 5 分，共 15 分)7已知 ， 是三个互不重合的平面，l 是一条直线，给出下列四个命题：若 ，l，则 l；若 l，l ，则 ；若 l 上有两个点到 的距离相等，则 l；若 ， ，则 .其中正确命题的序号是_答案：解析：由 ，l，得 l 或 l，故错误；过直线 l 作第三个平面与平面 相交于直线 m，根据线面平行的性质定理，知 ml ，又 l，则 m ，又 m，所以，故 正确； l 还可能与 相交，故错误；在平面 内作与 和 的交线垂直的直线 m，根据面面垂直的性质定理，得 m，再过直线 m 作平面 ，并与平面 相交于直线 n，根
6、据面面平行的性质定理，知 mn，所以 n .又 n，所以 ，故正确8如图所示，菱形 ABCD 的边长为 2，ABC120，若将菱形沿 BD 折起构成一个四面体，则该四面体体积的最大值等于_答案：1解析：由平面几何知识，得 AOOC ，BOOD1，BDC 的面积为定值 .折3 3起后，当平面 ABD 与平面 BDC 垂直时，四面体 ABCD 的高最大，此时体积也最大AO BD，平面 ABD 平面 BDC，AO平面 BCD，AO 为四面体 ABCD 的高又 AO ，四面体体积的最大值等于 1.313 3 39在棱长为 2 的正方体 ABCDA1B1C1D1 中，E 是 BC1 的中点，则直线 DE
7、 与平面ABCD 所成角的正切值为_答案：55解析：如图，过 E 作 EFBC，垂足为 F，连接 DF.易知平面 BCC1B1平面 ABCD，交线为 BC，所以 EF平面 ABCD.EDF 即为直线DE 与平面 ABCD 所成的角由题意，得 EF CC11，CF CB1，所以 DF .12 12 CF2 DC2 5在 Rt EFD 中，tan EDF .EFDF 15 55所以，直线 DE 与平面 ABCD 所成角的正切值为 .55三、解答题10(15 分)如图，已知在正方体 ABCDABC D中，E、M 分别是棱 AA，C C 的中点，求证：BM平面 DEC .证明：如图，取 BB 中点 F
8、，连接 EF，则 EF 綊 CD，四边形 EFCD是平行四边形，CFDE，又由已知可得 BMC F，BMDE，BM平面 DEC .11(20 分) 如图，已知点 P 是平行四边形 ABCD 所在平面外一点， M，N 分别是AB， PC 的中点(1)求证：MN平面 PAD；(2)在 PB 上确定一点 Q，使平面 MNQ平面 PAD.解：(1)如图，取 PD 的中点 H，连接 AH，NH.由 N 是 PC 的中点，H 是 PD 的中点，知 NHDC，NH DC.12由 M 是 AB 的中点，知 AMDC，AM DC.12NHAM，NHAM ，四边形 AMNH 为平行四边形，MNAH .又 MN平面
9、 PAD，AH 平面 PAD，MN平面 PAD.(2)若平面 MNQ平面 PAD，则应有 MQPA.M 是 AB 的中点，Q 是 PB 的中点当 Q 为 PB 的中点时，平面 MNQ平面 PAD.12(20 分) 如图所示，正四棱柱 ABCDA 1B1C1D1 中，底面边长为 2 ，侧棱长为24，E ， F 分别为 AB，BC 的中点，EFBDG .(1)求证：平面 B1EF平面 BDD1B1；(2)求点 D1 到平面 B1EF 的距离 d.(3)求三棱锥 B1EFD 1 的体积 V.解：(1)连接 AC.正四棱柱 ABCDA 1B1C1D1 的底面是正方形，ACBD.又 ACD 1D，BDD
10、 1DD，AC平面 BDD1B1.E，F 分别为 AB，BC 的中点，EFAC，EF平面 BDD1B1.EF平面 B1EF，平面 B1EF 平面 BDD1B1.(2)连接 B1G，在对角面 BDD1B1 中，作 D1HB 1G，垂足为 H.由(1)，知平面 B1EF平面 BDD1B1，且平面 B1EF平面 BDD1B1B 1G，D 1H平面 B1EF，点 D1 到平面 B1EF 的距离 dD 1H.在 Rt D1HB1 中，D 1HD 1B1sinD 1B1H，D 1B1 A1B14，2sinD 1B1HsinB 1GH ，B1BGB1 442 12 417dD 1H4 .417 161717(3)VVD 1B 1EF dSB 1EF 2 .13 13 161717 12 42 12 163
