1、3.1.4 空间向量的正交分解及其坐标表示课时目标 1.理解空间向量基本定理，并能用基本定理解决一些几何问题.2.理解基底、基向量及向量的线性组合的概念.3.掌握空间向量的坐标表示，能在适当的坐标系中写出向量的坐标1空间向量基本定理(1)设 i、j、k 是空间三个两两垂直的向量，且有公共起点 O，那么，对于空间任一向量 p，存在一个_，使得_，我们称_，_，_为向量 p 在 i、j 、k 上的分向量(2)空间向量基本定理：如果三个向量 a，b，c_，那么对空间任一向量 p，存在有序实数组x，y，z，使得_(3)如果三个向量 a，b，c 不共面，那么所有空间向量组成的集合就是_这个集合可看作是由
2、向量 a，b，c 生成的，我们把a，b，c 叫做空间的一个_，a，b，c 都叫做_空间中任何三个_的向量都可构成空间的一个基底2空间向量的坐标表示若 e1、e 2、e 3 是有公共起点 O 的三个两两垂直的单位向量，我们称它们为_，以 e1、e 2、e 3 的公共起点 O 为原点，分别以 e1、e 2、e 3 的方向为 x 轴、y 轴、z 轴的正方向建立空间直角坐标系 Oxyz，那么，对于空间任意一个向量 p，由空间向量基本定理可知，存在有序实数组x，y，z ，使得 pxe 1ye 2ze 3，把 x，y，z 称作向量 p 在单位正交基底 e1，e 2，e 3 下的坐标，记作_一、选择题1在以
3、下 3 个命题中，真命题的个数是( )三个非零向量 a，b，c 不能构成空间的一个基底，则 a，b，c 共面；若两个非零向量 a，b 与任何一个向量都不能构成空间的一个基底，则 a，b 共线；若 a，b 是两个不共线向量，而 c a b(，R 且 0) ，则a，b，c构成空间的一个基底A0 B1 C2 D32.已知 O、A、B、C 为空间不共面的四点，且向量 a ，向量 b OA OB OC OA ，则与 a、b 不能构成空间基底的是 ( )OB OC A. B C. D. 或OA OB OC OA OB 3以下四个命题中，正确的是( )A.若 ，则 P、A、B 三点共线P12OA 13OB
4、B设向量a，b，c 是空间一个基底，则 ab，bc ，ca构成空间的另一个基底C|( ab)c|a|b|c|D. ABC 是直角三角形的充要条件 0AB AC 4.设 OABC 是四面体， G1 是ABC 的重心，G 是 OG1 上的一点，且 OG3G,G 1 若x y z ，则( x，y ，z )为( )GOA OB OC A( ， ) B( ， )1414 14 3434 34C( ， ) D( ， )1313 13 2323 235已知点 A 在基底a，b，c 下的坐标为(8,6,4)，其中 aij，bj k，cki，则点 A 在基底 i，j，k下的坐标是( )A(12,14,10) B
5、(10,12,14)C(14,12,10) D(4,3,2)6.已知空间四边形 OABC 中 a， b， c，点 M 在 OA 上，且OA OB OC OM2 MA，N 为 BC 的中点，则 等于( )MN A. a b c B a b c12 23 12 23 12 12C. a b c D. a b c12 12 12 23 23 12二、填空题7设i，j，k是空间向量的一个单位正交基底，则向量a3i2jk，b2i4j2k 的坐标分别是_8.已知空间四边形 ABCD 中， a2c， 5a6b8c，对角线 AC、BD 的中点AB CD 分别为 E、F ，则 _.EF 9.已知正方体 ABCD
6、A 1B1C1D1 中，点 O 为 AC1 与 BD1 的交点， x y zAOAB BC ，则 xy z_.CC1 三、解答题10.四棱锥 POABC 的底面为一矩形，PO 平面 OABC，设a， b， c ，E、 F 分别是 PC 和 PB 的中点，用 a，b，c 表示 、OA OC OP BF 、 、 .BE AE EF 11.已知 PA 垂直于正方形 ABCD 所在的平面，M、N 分别是 AB、PC 的中点，并且PA=AD,求 、 的坐标NDC 能力提升12甲、乙、丙三名工人搬运石头，分别作用于石头的力为 F1，F 2，F 3，若 i、j、k是空间中的三个不共面的基向量，F1i2j 3
7、k， F22i 3j k，F 33i 4j5k，则这三名工人的合力Fxiyjzk，求 x、y、z.13.如图，在正方体 ABCDA1B1C1D1 中，E、F 分别是 BB1、D 1B1 的中点，求证：EF平面 B1AC.1空间的一个基底是空间任意三个不共面的向量，空间的基底可以有无穷多个一个基底是不共面的三个向量构成的一个向量组，一个基向量指一个基底的某一个向量2. x x y z ，当且仅当 xyz1 时，P、A、B、C 四点共面OPOA OA OB OC 3对于基底a，b，c除了应知道 a，b，c 不共面，还应明确：(1)空间任意三个不共面向量都可以作为空间向量的一个基底，基底选定以后，空
8、间的所有向量均可由基底惟一表示(2)由于 0 可视为与任意一个非零向量共线，与任意两个非零向量共面，所以，三个向量不共面，就隐含着它们都不是 0.31.4 空间向量的正交分解及其坐标表示知识梳理1(1)有序实数组x ，y，z pxi yj zk xi y j zk (2)不共面 pxaybzc (3)p|p xaybzc ，x ，y ，zR 基底 基向量 不共面2单位正交基底 p(x，y，z)作业设计1C 命题，是真命题，命题是假命题2C (ab)， 与 a、b 共面，OC 12 OC a，b， 不能构成空间基底OC 3B A 中若 ，则 P、A、B 三点共线，故 A 错；OP 12OA 12
9、OB B 中，假设存在实数 k1，k 2，使 cak 1(ab)k 2(bc) k 1a(k 1k 2)bk 2c，则有Error! 方程组无解，即向量 ab，bc，c a 不共面，故 B 正确C 中，ab|a|b |cosa，b |a|b|，故 C 错D 中，由 0 ABC 是直角三角形，但ABC 是直角三角形，可能角 B 等于AB AC 90，则有 0.故 D 错BA BC 4A 因为 ( )OG 34OG1 34OA AG1 ( )34OA 342312AB AC ( )( )34OA 14OB OA OC OA ，14OA 14OB 14OC 而 x y z ，OG OA OB OC
10、所以 x ，y ，z .14 14 145A 设点 A 在基底 a，b，c下对应的向量为 p，则 p8a6b4c8i8j6j 6k4k4i12i14j10k，故点 A 在基底i，j ，k 下的坐标为(12,14,10)6B ( )MN ON OM 12OB OC 23OA a b c.23 12 127(3,2，1) ，( 2,4,2)83a3b5c解析 ，EF EA AB BF 又 ，EF EC CD DF 两式相加得2 ( ) ( )EF EA EC AB CD BF DF E 为 AC 中点，故 0，同理 0，EA EC BF DF 2 (a2c)(5a6b8c)EF AB CD 6a6
11、b10c， 3a3b5c.EF 9.32解析 ( )AO 12AC1 12AB BC CC1 故 xyz ，x yz .12 3210解 ( )BF 12BP 12BO OP (c ba) a b c.12 12 12 12 aBE BC CE 12CP a ( )12CO OP a b c.12 12 AE AP PE ( )AO OP 12PO OC ac (cb)12a b c.12 12 a.EF 12CB 12OA 1211解 PAAD AB，且 PA平面 ABCD，ADAB，可设 e 1， e 2， e 3.DA AB AP 以 e1、e 2、e 3 为坐标向量建立空间直角坐标系
12、Axyz，如图所示 MN MA AP PN MA AP 12PC ( )MA AP 12PA AD DC e2e 3 (e 3e 1e 2)12 12 e1 e3，12 12 ， e2(0,1,0)MN ( 12，0，12) DC AB 12解 由题意，得 FF 1F 2F 3( i2j3k)( 2i3jk)(3i4j5k)2ij7k.又因为 Fxi y jzk，所以 x2，y1，z7.13证明 设 a， c， b，AB AD AA1 则 EF EB1 B1F ( )12BB1 B1D 1 ( )12AA1 BD ( ) (abc )，12AA1 AD AB 12 ab.AB1 AB EB1 AB AA1 (abc )(ab)EF AB1 12 (b2a 2ababcacb)12 (|b|2|a| 2)0.12 ，即 EFAB 1.EF AB1 同理，EFB 1C.又 AB1B1CB 1，EF平面 B1AC.
