1、2.6.3 曲线的交点课时目标 1.会求两条曲线的交点.2.会判断直线与圆锥曲线的位置关系.3.能解决有关直线与圆锥曲线的综合问题1直线与圆锥曲线的位置关系设直线 l 的方程为 AxBy C0，圆锥曲线 M 的方程为 f(x，y)0，则由Error!可得(消 y)ax2bx c0 (a0)位置关系 交点个数 方程相交 0相切 0相离 0，直线 l 与圆锥曲线有两个不同交点 0，直线 l 与圆锥曲线有唯一的公共点0，x 1x 2 1，x 1x2b3.AB 的中点 C 在 xy0 上：( 12，b 12)即 b 0 解得 b1 符合 0，12 12弦长 AB 3 .1 1 1 4 2 253x4y
2、50解析 这条弦的两端点为 A(x1，y 1)，B( x2，y 2)，斜率为 k，则Error!两式相减再变形得x1 x2x1 x24(y 1 y2)(y1 y2)，又弦中点为 M(3，1) ，故 k .34故这条弦所在的直线方程为 y1 (x3)，34即 3x4y50.6. 15解析 由Error!得 4x28x 1 0，x 1x 22，x 1x2 .14所得弦长为 |x1x 2|1 k2 .54 414 157.13解析 由题意可知，点 P 既在椭圆上又在双曲线上，根据椭圆和双曲线的定义，可得Error!Error!又 F1F22c4，cosF 1PF2PF21 PF2 F1F22PF1P
3、F2 . 6 32 6 32 422 6 3 6 3 138直角三角形解析 由Error!得 k2x2(2k 2 1)xk 20，设 A(x1，y 1)，B(x 2，y 2)，x 1x2y 1y2x 1x2k 2(x11)( x21)1k 2(1 1)0，2k2 1k2 0，OAOB，OA OB 所以AOB 是直角三角形9解 (1)依题意得方程组Error!把代入，得 2xx 22x m ，即 x24xm0. 因为抛物线与直线有两个公共点，所以 424 (m )0， m4.(2)设点 A(x1， y1)，B(x 2，y 2)，根据(1)中x 24xm0，得 x1x 24，x 1x2m，所以 A
4、B 1 22x1 x22 4x1x2 5 16 4m2 .5m 2010解 方法一 如图所示，设所求直线的方程为 y1k(x2)，代入椭圆方程并整理，得(4k21)x 28(2k 2k)x 4(2k1) 2160.又设直线与椭圆的交点为 A(x1，y 1)，B( x2，y 2)，则 x1，x 2 是上述方程的两个根，x 1x 2 .82k2 k4k2 1P 为弦 AB 的中点，2 ，解得 k ，x1 x22 42k2 k4k2 1 12所求直线的方程为 x2y 40.方法二 设直线与椭圆的交点为A(x1，y 1)，B (x2，y 2)，P 为弦 AB 的中点， x 1 x24，y 1y 22.
5、又A、B 两点在椭圆上，x 4y 16，x 4y 16.21 21 2 2两式相减，得(x x )4( y y )0，21 2 21 2即(x 1 x2)(x1x 2)4(y 1y 2)(y1y 2)0. ，y1 y2x1 x2 x1 x24y1 y2 12即 kAB .12直线方程为 y1 (x2)，12即 x2y40. 方法三 设所求直线与椭圆的一个交点为 A(x，y)，另一个交点为 B(4x,2y) ，A、B 两点在椭圆上，x 24y 216，(4x) 24(2y )216.从而 A、B 在方程所得直线 x2y 40 上，由于过 A、B 的直线只有一条，所求直线的方程为 x2y 40.1
6、112 ，32解析 曲线方程可化简为(x2) 2(y3) 24 (1y 3) ，即表示圆心为 (2,3)，半径为 2的半圆，依据数形结合，当直线 yxb 与此半圆相切时需满足圆心(2,3) 到直线yxb 距离等于 2，解得 b12 或 b12 ，因为是下半圆，故可得2 2b12 (舍)，当直线过(0,3)时，解得 b3，故 12 b3.2 212(1)证明 如图所示，设 A(x1,2x )，B(x 2,2x )，21 2把 ykx2 代入 y2x 2，得 2x2kx20，由韦达定理得 x1x 2 ，x 1x21，k2x Nx M ，x1 x22 k4N 点的坐标为 .(k4，k28)设抛物线在
7、点 N 处的切线 l 的方程为y m ，k28 (x k4)将 y2x 2 代入上式得 2x2mx 0.mk4 k28直线 l 与抛物线 C 相切，m 28 m 22mkk 2(mk )20，mk，即 lAB.(mk4 k28)故抛物线 C 在点 N 处的切线与 AB 平行(2)解 假设存在实数 k，使 0，NA NB 则 NANB.又M 是 AB 的中点，MN AB.12由(1)知 yM (y1y 2) (kx12kx 22)12 12 k(x1x 2)4 2.12 12(k22 4) k24MNx 轴，MN|y My N| 2 .k24 k28 k2 168又 AB |x1x 2|1 k2 1 k2 x1 x22 4x1x2 1 k2 (k2)2 4 1 .12k2 1 k2 16 ，解得 k2.k2 168 14k2 1 k2 16即存在 k= 2，使 0. NA NB
