1、2.2.2 椭圆的几何性质课时目标 1.掌握椭圆的范围、对称性、顶点、离心率等几何性质.2.明确标准方程中a，b 以及 c，e 的几何意义， a、b、c、e 之间的相互关系 .3.能利用椭圆的几何性质解决椭圆的简单问题椭圆的简单几何性质焦点的位置 焦点在 x 轴上 焦点在 y 轴上图形标准方程范围顶点轴长 短轴长_，长轴长_焦点焦距对称性 对称轴是_，对称中心是_离心率一、填空题1椭圆 x2my 21 的焦点在 y 轴上，长轴长是短轴长的两倍，则 m 的值为_2P 是长轴在 x 轴上的椭圆 1 上的点，F 1、F 2 分别为椭圆的两个焦点，椭圆x2a2 y2b2的半焦距为 c，则 PF1PF2
2、 的最大值与最小值之差为_3以等腰直角ABC 的两个顶点为焦点，并且经过另一顶点的椭圆的离心率为_4焦点在 x 轴上，长、短半轴长之和为 10，焦距为 4 ，则椭圆的方程为5_5如图所示，A、B、C 分别为椭圆 1 (ab0)的顶点与焦点，若ABC90 ，则该椭圆的离心率为x2a2 y2b2_6.已知 F1、F 2 是椭圆的两个焦点，满足 0 的点 M 总在椭圆内部，则椭圆离MF1 MF2 心率的取值范围是_7已知椭圆的中心在原点，焦点在 x 轴上，离心率为 ，且过点 P(5,4)，则椭圆的55方程为_8直线 x2y20 经过椭圆 1 (ab0)的一个焦点和一个顶点，则该椭圆x2a2 y2b2
3、的离心率为_二、解答题9设椭圆的中心在原点，坐标轴为对称轴，一个焦点与短轴两端点的连线互相垂直，且此焦点与长轴上较近的端点的距离为 4( 1)，求此椭圆方程及它的离心率、焦点2坐标、顶点坐标10.如图，已知 P 是椭圆 1 (ab0)上且位于第一象限的一点，F 是椭圆的右焦点，x2a2 y2b2O 是椭圆中心，B 是椭圆的上顶点，H 是直线 x (c 是椭圆的半焦距) 与 x 轴的交a2c点，若 PFOF，HBOP ，试求椭圆的离心率 e.能力提升11若一个椭圆长轴的长度、短轴的长度和焦距成等差数列，则该椭圆的离心率为_12.已知 F1、F 2 是椭圆 1 (ab0)的左、右两个焦点，A 是椭
4、圆上位于第一象x2a2 y2b2限内的一点，点 B 也在椭圆上，且满足 0(O 是坐标原点)，AF 2F 1F2.若椭圆OA OB 的离心率等于 ，ABF 2 的面积等于 4 ，求椭圆的方程22 21椭圆的范围实质就是椭圆上点的横坐标和纵坐标的取值范围，在求解一些存在性和判断性问题中有着重要的应用2椭圆既是一个轴对称图形，又是一个中心对称图形椭圆的对称性在解决直线与椭圆的位置关系以及一些有关面积的计算问题时，往往能起到化繁为简的作用3椭圆的离心率是反映椭圆的扁平程度的一个量，其取值范围是 0c 恒成立，由椭圆性质知 OPb，其中 b 为椭圆短半轴长，bc，c 22c2， 2b0) ，x2a2
5、y2b2将点(5,4) 代入得 1，25a2 16b2又离心率 e ，即 e2 ，ca 55 c2a2 a2 b2a2 15解之得 a245，b 236，故椭圆的方程为 1.x245 y2368.255解析 由题意知椭圆的焦点在 x 轴上，又直线 x2y20 与 x 轴、y 轴的交点分别为(2,0)、(0,1)，它们分别是椭圆的焦点与顶点，所以 b1，c2，从而a ， e .5ca 2559解 设所求的椭圆方程为 1 或 1(ab0)，x2a2 y2b2 y2a2 x2b2则Error! 解得Error!所以所求的椭圆方程为 1，或 1.x232 y216 y232 x216离心率 e ，ca
6、 22当焦点在 x 轴上时，焦点为(4,0) ，(4,0)，顶点(4 ，0)，(4 ，0) ，(0，4)，(0,4) ，2 2当焦点在 y 轴上时，焦点为(0，4) ，(0,4)，顶点(4,0)，(4,0)，(0，4 )，2(0,4 )210解 依题意知 H ，F(c,0)，B(0，b)( a2c，0)设 P(xP，y P)，且 xPc，代入到椭圆的方程，得 yP .P .b2a (c，b2a)HBOP， kHBk OP，即 .b 00 a2cb2acabc 2.e ，e 2 e 2 1.ca bc a2 c2c2e 4e 210.0e1，e .5 1211.35解析 由题意知 2bac ，又 b2a 2c 2，4(a 2 c2)a 2c 22ac.3a 22ac5c 20.5c 22ac 3a 20.5e 22e30.e 或 e1(舍去) 3512解 由 0 知，直线 AB 经过原点，e ，OA OB ca 22b 2 a2，12设 A(x， y)，由 AF2F 1F2 知 xc，A(c， y)，代入椭圆方程得 1，c2a2 y2b2y ，连结 AF1，BF 1，AF 2，BF 2，b2a由椭圆的对称性可知SABF2 S ABF1 S AF1F2 ，所以 2c a4 ，12 12 2又由 c a，解得 a216，b 2 168，22 12故椭圆方程为 1.x216 y28
