1、3.2 立体几何中的向量方法(三)空间向量与空间角课时目标 1.利用向量方法解决线线、线面、面面所成角的计算问题.2.会用向量方法求两点间的距离，点到平面的距离.3.体会空间向量解决立体几何问题的三步曲1空间中的角角的分类 向量求法 范围异面直线所成的角设两异面直线所成的角为 ，它们的方向向量为 a， b，则 cos _ (0，2直线与平面所成的角设直线 l 与平面 所成的角为 ，l 的方向向量为 a，平面 的法向量为 n，则 sin _0，2二面角设二面角 l 的平面角为 ，平面 、的法向量为 n1，n 2，则|cos | _0，2.空间的距离距离的分类 向量求法两点间的距离若 A(x1，y
2、 1，z 1)，B(x 2，y 2， z2)，则 dAB AB x2 x12 y2 y12 z2 z12|n|)点到平面的距离设 n 是平面 的法向量，A 是平面 外一点，B 则点 A 到平面的距离 d=n一、选择题1若直线 l1 的方向向量与直线 l2 的方向向量的夹角是 150，则 l1 与 l2 这两条异面直线所成的角等于( )A30 B150C30或 150 D以上均错2若直线 l 的方向向量与平面 的法向量的夹角等于 150，则直线 l 与平面 所成的角等于( )A30 B60C150 D以上均错3如图所示，在正方体 ABCDA1B1C1D1 中，M，N，P 分别是棱 CC1，BC，
3、A 1B1 上的点，若B 1MN90，则PMN 的大小是( )A等于 90 B小于 90C大于 90 D不确定4在棱长为 1 的正方体 ABCDA1B1C1D1 中，M，N 分别为 A1B1 和 BB1 的中点，那么异面直线 AM 与 CN 所成角的余弦值为 ( )A. B. C. D.32 1010 35 255.若 O 为坐标原点， (1,1，2)， (3,2,8)， (0,1,0)，则线段 AB 的中点OB OC P 到点 C 的距离为( )A. B21652 14C. D.535326在直角坐标系中，设 A( 2,3)，B(3，2)，沿 x 轴把直角坐标平面折成 120的二面角后，则
4、A、B 两点间的距离为( )A2 B.11 11C. D322 11二、填空题7若两个平面 ， 的法向量分别是 n(1,0,1)，(1 ，1,0) 则这两个平面所成的锐二面角的度数是_8如图，已知正三棱柱 ABCA1B1C1 的各条棱长都相等，M 是侧棱 CC1 的中点，则异面直线AB1 和 BM 所成的角的大小是_9已知 A(2,3,1)，B(4,1,2) ，C(6,3,7)，D(5，4,8)，则点 D 到平面 ABC 的距离为_三、解答题10.如图所示，已知直角梯形 ABCD，其中 ABBC2AD ，AS平面ABCD，AD BC，AB BC，且 ASAB.求直线 SC 与底面 ABCD 的
5、夹角 的余弦值11已知正方形 ABCD 的边长为 4，E、F 分别是 AB、AD 的中点，GC 平面 ABCD，且 GC2，求点 B 到平面 EFG 的距离能力提升12在正方体 ABCDA1B1C1D1 中，E 为 BB1 的中点，则平面 A1ED 与平面 ABCD 所成的锐二面角的余弦值为( )A. B. C. D.12 23 33 2213已知三棱锥 PABC 中，PA平面 ABC，AB AC ，PAAC AB，N 为 AB 上一12点，且 AB4AN ，M ，S 分别为 PB，BC 的中点(1)证明：CMSN ；(2)求 SN 与平面 CMN 所成角的大小1空间两条异面直线所成的角，可转
6、化为求两条直线的方向向量的夹角或夹角的补角2直线与平面所成的角，二面角主要利用平面的法向量解决；要注意向量的方向和所求角的范围3空间两点间的距离可直接利用距离公式，点到平面的距离转化为向量的投影问题3.2 立体几何中的向量方法(三)空间向量与角、距离知识梳理1.角的分类 向量求法 范围异面直线所成的角设两异面直线所成的角为 ，它们的方向向量为a，b，则 cos |cosa，b|ab|a|b| (0，2直线与平面所成的角设直线 l 与平面 所成的角为 ，l 的方向向量为 a，平面 的法向量为 n，则 sin |cosa，n | |an|a|n| 0，2二面角设二面角 l 的平面角为 ，平面 、
7、的法向量为 n1，n 2，则|cos | |cosn 1，n 2|n1n2|n1|n2| 0，作业设计1A 2.B3A A 1B1平面 BCC1B1，A 1B1MN， ( )MP MN MB1 B1P MN 0，MB1 MN B1P MN MPMN，即PMN 90.4D如图所示，建立空间直角坐标系，则 A(1,0,0)，M ，C(0,1,0)，(1，12，1)N .(1，1，12) ， .AM (0，12，1) CN (1，0，12) ，| | | |.AM CN 12 AM 52 CN cos ， .AM CN 1252 52 255D 由题意 ( )(2，3) ，OP 12OA OB 32
8、 (2， ，3)，PC OC OP 12PC=| | .PC 4 14 9 5326A 作 AE x 轴交 x 轴于点 E，BFx 轴交 x 轴于点 F，则 ，AB AE EF 2 2 2 22 2 2 AB AE EF AE EF AE BEF 2 2 22 AE EF AE 9254232 44，12| | 2 .AB 11760解析 cosn ， ， 12 2 12n，120.故两平面所成的锐二面角为 60.890解析 建立如图所示的坐标系，设正三棱柱的棱长为 1，则 B ，(32， 12，0)M ，(32，12，12)B1 ，(32， 12，1)因此 ，AB1 ( 32， 12，1)
9、，BM (0，1，12)设异面直线 AB1 与 BM 所成的角为 ，则 cos |cos ， | 0，90.AB1 BM 9.491717解析 设平面 ABC 的法向量为 n(x，y，z)，可取 n ，又 (7，7,7) ( 32， 1，1) AD 点 D 到平面 ABC 的距离 d .49171710.解 由题设条件知，可建立以 AD 为 x 轴，AB 为 y 轴，AS 为 z 轴的空间直角坐标系(如图所示)设 AB1，则 A(0,0,0)，B(0,1,0)，C(1,1,0)，D ，S(0,0,1)(12，0，0) (0,0,1)， ( 1，1,1) AS CS 显然 是底面的法向量，它与已
10、知向量 的夹角 90，AS CS 故有 sin |cos | ，11 3 33于是 cos .1 sin26311解 如图所示，以 C 为原点，CB、CD、CG 所在直线分别为 x、y 、z 轴建立空间直角坐标系 Cxyz.由题意知 C(0,0,0)，A(4,4,0)，B(4,0,0)，D(0,4,0)，E(4,2,0)，F(2,4,0)，G(0,0,2)(0,2,0)， (4,2，2)， (2,2,0) BE GE EF 设平面 GEF 的法向量为 n(x，y，z)，则有 即Error!令 x1，则 y1，z3，n(1,1,3)点 B 到平面 EFG 的距离为12B 建系如图，设正方体的棱长
11、为 1，则 D(0,0,0)，A1(1,0,1)，E ，(1，1，12) (1,0,1)，DA1 .DE (1，1，12)设平面 A1ED 的一个法向量为 n(x，y ，z )，则 n 0，且 n 0，DA1 DE 即Error!令 x1，得 y ，z1，12n .(1， 12， 1)又平面 ABCD 的一个法向量为 (0,0,1)，DD1 cosn， .DD1 1321 23平面 A1ED 与平面 ABCD 所成的锐二面角的余弦值为 .2313.(1)证明 设 PA1，以 A 为原点，AB，AC ，AP 所在直线分别为 x，y，z 轴正向建立空间直角坐标系如图所示，则 P(0,0,1)，C(0,1,0)，B(2,0,0)，M (1,0， )，12N( ，0,0)，S(1，0) 12 12所以 (1，1， )， ( ， ，0)CM 12 SN 12 12因为 00，所以 CMSN .CM SN 12 12（2）解 ( ，1,0)，NC 12设 a=(x,y,z)为平面 CMN 的一个法向量，则即Error! 令 x2，得 a(2,1，2)因为|cosa， | ，SN 所以 SN 与平面 CMN 所成的角为 45.
