1、1.3 正弦定理、余弦定理的应用(1)教学目标（1）综合运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决与测量学、航海问题等有关的实际问题；（2）体会数学建摸的基本思想，掌握求解实际问题的一般步骤；（3）能够从阅读理解、信息迁移、数学化方法、创造性思维等方面，多角度培养学生分析问题和解决问题的能力教学重点，难点（1）综合运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些实际问题；（2）掌握求解实际问题的一般步骤教学过程一问题情境1复习引入复习：正弦定理、余弦定理及其变形形式，（1）正弦定理、三角形面积公式：；RCcBbAa2sinisinBacSC sin1i2（2）正弦定理的变形： ；CbRai2,si,si
2、 ；RBAn ii:ac（3）余弦定理： bcaAb2os,22 二学生活动引导学生复习回顾上两节所学内容，然后思考生活中有那些问题会用到这两个定理，举例说明.三建构数学正弦定理、余弦定理体现了三角形中边角之间的相互关系，在测量学、运动学、力学、电学等许多领域有着广泛的应用.1下面给出测量问题中的一些术语的解释：（1）朝 上 看 时 ， 视 线 与 水 平 面 夹 角 为 仰 角 ； 朝 下 看 时 ， 视 线 与 水 平 面 夹 角 为 俯 角 .（ 2） 从 某 点 的 指 北 方 向 线 起 ,依 顺 时 针 方 向 到 目 标 方 向 线 之 间 的 水 平 夹 角 ,叫 方 位 角
3、.（ 3） 坡 度 是 指 路 线 纵 断 面 上 同 一 坡 段 两 点 间 的 高 度 差 与 其 水 平 距 离 的 比 值 的 百 分 率 .道 路 坡度 100%所 表 示 的 可 以 这 样 理 解 ： 坡 面 与 水 平 面 的 夹 角 为 45 度 .45 度 几 乎 跟 墙 壁 一 样 的 感 觉 了 .（ 4） 科 学 家 为 了 精 确 地 表 明 各 地 在 地 球 上 的 位 置 ， 给 地 球 表 面 假 设 了 一 个 坐 标 系 ， 这 就是 经 纬 度 线 . 2 应 用 解 三 角 形 知 识 解 决 实 际 问 题 的 解 题 步 骤 ： 根 据 题 意
4、作 出 示 意 图 ； 确 定 所 涉 及 的 三角 形 ， 搞 清 已 知 和 未 知 ； 选 用 合 适 的 定 理 进 行 求 解 ； 给 出 答 案 .四数学运用1例题：例 1如图 1-3-1，为了测量河对岸两点 之间的距离，在河岸这边取点 ，测得,AB,CD， ， ， ， .设85ADC60B47CD7210m在同一平面内，试求 之间的距离（精确到 ）., ,解：在 中， ， ，则 .又 ，由正ADC8547ACD48AC10D弦定理，得.sin10sin3.04m在 中， ， ，B62B则 .又 ，由正弦定理，得48.sin10sin16.548DC在 中，由余弦定理，得A22co
5、BABC134.056.3.0.4cos72，9所以 7m答 两点之间的距离约为 .,A57本例中 看成 或 的一边，为此需求出 ， 或 ， ，所以BACBDACBD可考察 和 ，根据已知条件和正弦定理来求 ， ，再由余弦定理求D.引申：如果 ， 两点在河的两岸（不可到达） ，试设计一种测量 ， 两点间距离的方法.可见习题 1.3 探究 拓展 第 8 题.例 2如图 1-3-2，某渔轮在航行中不幸遇险，发出呼救信号，我海军舰艇在 处获悉后，A测出该渔轮在方位角为 ，距离为 的 处，并测得渔轮正沿方位角为 的4510nmileC105方向，以 的速度向小岛靠拢，我海军舰艇立即以 的速度前去营救.
6、9/nmileh21/nmileh求舰艇的航向和靠近渔轮所需的时间（角度精确到 ，时间精确到 ）.解：设舰艇收到信号后 在 处靠拢渔轮，则xB， ，又 ，21ABxCA.45801520由余弦定理，得，22cosC即.10910920xxx化简，得，236解得 （负值舍去）.4minh由正弦定理，得，sin9sin1203si 4BCAx所以 ，方位角为 .21.8BAC4521.86答 舰艇应沿着方向角 的方向航行，经过 就可靠近渔轮.6. 4mi本例是正弦定理、余弦定理在航海问题中的综合应用.因为舰艇从 到 与渔轮从AB到 的时间相同，所以根据余弦定理可求出该时间，从而求出 和 ；再根据正
7、弦C定理求出 .例 3如图，某海岛上一观察哨 在上午 时测得一轮船在海岛北偏东 的 处，A13图 1-3-1图 1-3-2时 分测得轮船在海岛北偏西 的 处， 时 分轮船到达海岛正西方 的 港1203B12405kmE口.如果轮船始终匀速前进，求船速.解：设 ，船的速度为 ，则 ， .ABE/kmh3C1BE在 中， ， .153sini015sin2在 中， ，ABC4sii18.45sn20332在 中， ，ACE2505cos153， ，2540719329船的速度 .9/kmh2练习：书上 P20 练习 1，3，4 题.五回顾小结：1测量的主要内容是求角和距离，教学中要注意让学生分清仰
8、角、俯角、张角、视角和方位角及 坡 度 、 经 纬 度 等 概念，将实际问题转化为解三角形问题.2解决有关测量、航海等问题时，首先要搞清题中有关术语的准确含义，再用数学语言（符号语言、图形语言）表示已知条件、未知条件及其关系，最后用正弦定理、余弦定理予以解决.六课外作业： 书上 P21 页习题 1.3 第 2，3，4 题.普通高中课程标准实验教科书数学必修五 苏教版1.3 正弦定理、余弦定理的应用(2)教学目标（1）能熟练应用正弦定理、余弦定理解决三角形等一些几何中的问题和物理问题；（2）能把一些简单的实际问题转化为数学问题，并能应用正弦、余弦定理及相关的三角公式解决这些问题；（3）通过复习、
9、小结，使学生牢固掌握两个定理，应用自如.教学重点，难点能熟练应用正弦定理、余弦定理及相关公式解决三角形的有关问题。教学过程一问题情境1复习引入总结解斜三角形的要求和常用方法.（例 3）（1） 利用正弦定理和三角形内角和定理，可以解决以下两类解斜三角形问题：已知两角和任一边，求其它两边和一角；已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角，从而进一步求其它的边和角.（2） 应用余弦定理解以下两类三角形问题：已知三边求三内角；已知两边和它们的夹角，求第三边和其它两个内角.二学生活动引导学生回忆上节课内容，总结利用两个定理解决实际问题的一般步骤.想一想可以用这两个定理来解决有关物理问题和几何问题吗？三数学
10、运用1例题：例 1如图，在四边形 中，已知 , ，ABCDC10AD, , ，求 的长.4AB60135B解：在 中，设 ，x则 ， cos22即 ， 602x ，91 ， （舍去） ，62由正弦定理： ，BCDsinsi 283015nBC例 2作用在同一点的三个力 平衡.已知 ，13,F130FN， 与 之间的夹角是 ，求 的大小与方向0FN26（精确到 ）.解： 应和 合力 平衡，所以 和 在同一直线上，31, 3并且大小相等，方向相反.如图 1-3-3，在 中，由余弦定理，得OF2050cos1270N.再由正弦定理，得，1in53sin7014所以 ，从而 .138.2FO348FO
11、答 为 ， 与 之间的夹角是 .370N1本例是正弦定理、余弦定理在力学问题中的应用，教学时可作如下分析：由图根据余弦定理可求出 ，再根据正弦定理求出 .1FO例 3如图 1-3-4，半圆 的直径为 ， 为直径延长线上的一点， ， 为半圆上2A2AB任意一点，以 为一边作等边三角形 .问：点 在什么位置时，四边形 面ABBCOC积最大？分析：四边形的面积由点 的位置唯一确定，而点由 唯一确定，因此可设 ，再用O的三角函数来表示四边形 的面积.解：设 .在 中，由余弦定理，得图 1-3-3.221cos54csAB于是，四边形 的面积为OCOACS23sin24B15cossin3cos4.2因
12、为 ，所以当 时， ，即 时，四边形0325656AOB的面积最大.OACB对于本例，教学中可引导学生分析得到四边形 的面积随着 的变化C而变化.这样将四边形 的面积表示成 的函数，利用三角形的有界性求出四边形OACB面积的最大值.例 4 中，若已知三边为连续正整数，最大角为钝角，求最大角的余弦值； 求以此最大角为内角，夹此角两边之和为 4 的平行四边形的最大面积.解：设三边 ， 且 ， 1,1kcbkaN1k 为钝角， ，解得 ，C22os0()aC4k ， 或 ，但 时不能构成三角形应舍去，Nk3当 时， ；31,4,csb设夹 角的两边为 ， ，yx所以， ，当 时， 25sin()(4
13、)SCx2xmax15S2练习：1书上 P20 页练习第 2 题，习题 1.3 第 1 题.2在 中，已知 ，求 的最大内角；AB()()56:bcabABC3已知 的两边 是方程 的两个根，的面积是 ，周长,240xk1032c是，试求 及 的值；0cmk4如图， ， ， ，C3D3ACB， ， 求 的长. 75B45（答案： ）12四回顾小结：1正弦、余弦定理是解三角形的有力工具，要区别两个定理的不同作用，在解题时正确选用；2由于有三角形面积公式，解题时要时刻与三角形面积与三角形外接圆直径联系在一起；图 1-3-4第 4 题3应用正弦、余弦定理可以实现将“边、角相混合”的等式转化为“边和角的单一”形式；4在较为复杂的图形中求边或角，首先要找出有关的三角形，再合理使用正弦定理或余弦定理解决.五课外作业：书上 P21 习题 1.3，第 5，6，7 题，P24 复习题第 6 题.
