1、 第2 节 提取公因式法【教学背景】“提取公因式法”是“新浙江版七年级数学（下） ”第六章第二节内容。本课安排在“整式的乘法”后，明确了因式分解与整式乘法的联系，起到知识的链结开拓作用。提取公因式法是因式分解的基础，也为学习因式分解的其他方法及利用因式分解解整式方程（如一元二次方程）打下结实的基础，从而也为学生的运算能力拓展了道路。 （老教材本小节是分两个课时上的）【教学内容分析】“提取公因式法”是因式分解的最基本、最常用的方法。它的理论依据是逆用分配律，因此，学生接受起来并不难，但因题目各有其特点，形式变化多，所以需要学生具有观察、分析能力和应变能力，这就需要在教学中加以指导、训练。例题讲授
2、及练习题的匹配都要由浅入深，形式多样化。利用这个方法，首先对要分解的多项式进行考察，发现特点及多项式各项之间的内在联系，适当变形。 （可利用计算机辅助教学手段，增大教学的容量和教学质量，改变传统的言传身教的方式。 ）【教学目标】认知目标：在具体情境中认识公因式通过对具体问题的分析及逆用分配律，使学生理解提取公因式法并能熟练地运用提取公因式法分解因式 能力目标：树立学生“化零为整” 、 “化归”的数学思想，培养学生完整地、辨证地看问题的思想。树立学生全面分析问题，认识问题的思想，提高学生的观察能力，分析问题及逆向思想能力。情感目标：在观察、对比、交流和讨论的数学活动中发掘知识，并使学生体验到学习
3、的乐趣和数学的探索性。【教学重点、难点】1教学重点掌握公因式的概念，会使用提取公因式法进行因式分解，理解添括号法则。教学难点正确地找出公因式【教学方法】理论与实例相结合（采用设问式、启发式）【教学工具】应用投影仪（计算机）【教学过程】 创设情境，提出问题如图 81，一块菜园由两个长方形组成，这些长方形的长分别是 3.8m,6.2m,宽都是 3.7 m,如何计算这块菜园的面积呢？3.8 列式：3.73.8+3.76.2 (学生思考后列式)3.7 有简便算法吗?=3.7(3.8+6.2) 3.7 =3.710=37(m2)6.2 图 8-1在这一过程中,把 3.7 换成 m,3.8 换成 a,6.
4、2 换成 b,于是有:mamb =m(ab)利用整式乘法验证: m(ab)=mamb来源:学优高考网可能有学生会提出把两个小的长方形补成一个大的长方形,那就更好,或其他的方法，教师都应该及时肯定学生思维中的闪光点.（使学生初步意识到因式分解可以使运算简便,同时起到使知识进行迁移化归.）【以问题引入能引起学生的学习兴趣，符合学生的认知规律。本课时用“复习引入”亦是一种好办法，即先复习分配律，同时可让学生说出整式乘法与因式分解的联系与区别，以便复习上一节的内容，然后让学生观察引出新内容。 】观察分析，探究新知让学生观察多项式：ma+mb（让学生说出其特点：都有 m，含有两种运算乘法、加法；然后教师
5、规范其特点，从而引出新知。 ）各项都含有一个公共的因式 m，我们把因式 m 叫做这个多项式各项的 公因式。【把主动权交给学生，尽量让他们自己说，也可尝试让他们取名，使他们体验到成功的喜悦。】注意：公因式是一个多项式中每一项都含有的相同的因式 。又如：b 是多项式 ab-b2 各项的公因式2xy 是多项式 4x2y-6xy2z 各项的公因式让学生说出公因式，学生可能会说是 2 或者是 x 、 y、2x、2y、2xy 等，最后一起确定公因式 2xy，让学生初步体会到确定公因式的方法。独立练习，巩固新知指出下列各多项式中各项的公因式（以抢答的形式）ax+ay-a （a ）5x 2y3-10x2y （
6、5x 2y）24abc-9a 2b2 （3ab）m 2n+mn2 （mn）x(x-y) 2-y(x-y) (x-y)来源:gkstk.Com【初一学生自控能力不强，上课时注意力易分散，注意力集中时间较短，对数学概念的理解肤浅，对规律的应用生搬硬套，针对学生的这种特点，教师在教学中创设抢答，引起学生兴趣，积极参与教学进程，争做课堂的主人。 】说明:本活动也可以改为寻找公因式游戏如 :(根据提供的多项式和整式,寻找出这个多项式的公因式.)ax+ay-a 5x 2y3-10x2y 24abc-9a 2b2 m 2n+mn2 x(x-y) 2-y(x-y)a, x, y 5xy,5x2y3,5x2y
7、3abc,9ab,3ab mn,m2n,mn2 x(x-y),y(x-y),(x-y)游戏规则:准备好写有整式和多项式的纸牌 ,学生分为四组,每组选四个同学游戏,其中 3 个同学举一组题中的整式牌,第四个根据组员建议寻找出题中的公因式 ,并说明理由。显然由定义可知，提取公因式法的关键是如何正确地寻找确定公因式的方法：（可以由学生讨论总结，然后教师进行归纳）公因式的系数应取各项系数的最大公约数（当系数是整数时）来源:学优高考网 gkstk字母取各项的相同字母，且各字母的指数取最低次幂（让学生在游戏中团结协作，自主探索出方法，有利于发展思维能力及培养学生归纳总结表达交流的能力，打破了传统的由教师讲
8、授找公因式的方法，学生被动接受；补充是想让学生了解公因式也可以是多项式。 ）根据分配律，可得 m（a+b）=ma+mb 逆变形，使得到 ma+mb 的因式分解形式：ma+mb=m（a+b ） 这说明多项式 ma+mb 各项都含有的公因式可提到括号外面，将多项式 ma+mb写成 m（a+b）的形式，这种分解因式的方法叫做提取公因式法。定义：一般地，如果一个多项式的各项含有公因式，那么可把该公因式提取出来进行分解的方法叫做提取公因式法。例题教学，运用新知例 1 把 3pq3+15p3q 分解因式 来源:gkstk.Com通过上面的练习，学生会比较容易地找出公因式，所以这一步还是让学生来操作。然后在
9、黑板上正确规范地书写提取公因式法的步骤。事后总结出提取公因式的一般步骤分两步：第一步：找出公因式；第二步：提取公因式解：3pq 3+15p3q=3pqq2+3pq5p2=3pq(q2+5p2) 让学生口答：把 2x3+6x2 分解因式【学生在探究、交流中能获得一些初步概念和技能，但真正达到掌握知识与技能，还需要教师示范，学生模仿性学习，经过规范化的示范，就能逐步培养学生严谨的思维，正确的计算能力。 】说明：应特别强调确定公因式的两个条件,以免漏取.刚开始讲,最好把公因式单独写出。以显提醒强调提公因式强调因式分解课堂练习：P 156T1例 2 把 4x2-8ax+2x 分解因式（让学生做，教师下
10、去观察并选择有代表性的解答。 ）学生可能出现的解答：4x 2-8ax+2x=x（4x-8a+2）4x 2-8ax+2x=2（2x 2-4ax+x）4x 2-8ax+2x=2x（2x-4a） 4x 2-8ax+2x=2x（2x-2a+1）4x 2-8ax+2x=2x（2x-8ax+2x）教师出示学生的解答，可先让学生自行点评，找出分解因式的错误，而且这些错误都是以后学生练习中的常犯错误，接着由教师总结。这样做比教师直接给出可能会更有效。 【先让学生自己动手做，暴露他们的错误，然后再进行点评，加深他们的记忆。 】分析：找出公因式 2x，强调多项式中 2x=2x1 解：4x 2-8ax+2x=2x2
11、x-2x4a+2x1=2x（2x-4a+1）说明：当多项式的某一项恰好是公因式时，这一项应看成它与 1 的乘积，提公因式后剩下的应是 1。1 作为项的系数通常可省略，但如果单独成一项时，它在因式分解时不能漏项。这类题常有学生犯下面的错误：4x 2-8ax+2x=2x（2x-4a）注意：提公因式后的项数应与原多项式的项数一样，这样可检查是否漏项。例 3 把-3ab+6abx-9aby 分解因式【让学生自己观察找出此例与前面两例的不同点】 学生可能会指出字母的个数不同（只要学生说得合理，教师应及时给予肯定与鼓励）他们很快就会发现第一项的系数是“-”的，那么如何转化呢？【由学生各述己见，教师不加评定
12、，然后集体总结学生思维中的闪光点。 】应先把它转化成前面的情形，便可以因式分解了，所以应先提负号转化，然后再提公因式，提“-”号时，教师可适当地引出添括号法则，可谓解决“燃尾之急” 。添括号法则：括号前面是“+”号，括到括号里的各项都不变号；括号前面是“-”号，括到括号里的各项都要变号。课堂练习：P 156T 2【巩固添括号法则】解：-3ab+6abx-9aby=-（3ab-6abx+9aby ）=-3ab （1-2x+3y ）说明：通过此例可看出应用提取公因式法分解因式时，应先观察第一项系数的正负，负号时，运用添括号法则要提出负因数，此时一定要把各项变号。由此总结出提取公因式法的一般步骤。见
13、P155课堂练习：P 156T3【通过纠错题，及时反馈信息，进行点评】例 4 探索： 2（a-b） 2-a+b 能分解因式吗？还是把问题先交给学生进行小组讨论（四人一小组） ，鼓励学生进行交流探索。可能有学生会提出好象没有公因式？此时教师可以适当地点拨一下。比如可降低难度改为：2（a-b） 2-（a-b） ，然后启发学生如何转化？从而解决问题。解：2（a-b ） 2-a+b= 2（a-b ） 2-（a-b）=（a-b） 2（a-b） -1=（a-b） （2a-2b-1）然后可追加一问：2（a-b） 2-（b-a ） 3 呢？让学生积极思考，讨论回答。注：n 为偶数 （a-b ） n=（b-a）
14、 nn 为奇数 （a-b ） n= -（b-a） n【让他们从合作中去感受群体合作的力量，体验展示自我的愉悦。 】指出：我们知道代数式里的字母可以表示一个数、一个单项式、一个多项式。此多项式的公因式不明显，但仔细观察可发现，利用添括号法则把-a+b 可变形成- （a+b） ，若把（a-b）看作 m，原多项式就可以提取公因式 a-b。【向学生渗透换元思想】【例题 4 培养学生分析问题的能力，优化学生思维品质，让学生区分方法的差异。 】强化训练，掌握新知把下列各式分解因式2ax+2ay x2y-xy2 a 3+2a2-a 2mn-6m 2n2+14m3n3 -ab 2c+2a2b-5ac2x（a+
15、b）-y（a+b） a（x-a）+b（a-x ）-c（x-a）【让学生上来板演，练习都是针对例题的直接应用，同时可检查学生对提取公因式法的灵活应用。 】变式训练，扩展新知A 组:将下列各式分解因式3（a-b ） 2-6a+6b-0.01x 3y+o.2x2yz2来源:学优高考网 gkstk利用因式分解计算223.145+533.145+31.452.5（学习的最终目的是应用，所以补充了此例，可让学生体验运用新知解决问题的喜悦。 ）B 组: 分解因式 xa-xa-1+xa-2【供学有余力的学生练习,让不同层次的学生都能得到发展.】整理知识,形成结构同学们，今天这节课你学会了什么？在学习过程中你有
16、哪些收获？还有什么疑问？【培养学生反思自己学习过程的意识，让学生在思考问题的过程中自己把整节内容进行了梳理，并且逐步培养学生自我概括、总结能力，学会口头表达能力。 】布置作业：作业本（2）6.2 课本 P157【设计思想】心理学研究成果说明：一个人只要体验到成功的欣慰与快乐，便会激起再一次追求成功胜利的信念和力量。因此我根据学生的心理特点和实践认知水平，努力为他们创造成功的条件。在教学过程中采用类比、探索式教学，辅以讲练结合,师生互动,引导学生习得自主、合作探索的方式,充分遵循学生的认知规律，使学生能顺利地掌握重点，突破难点，提高能力；在充分尊重教材的原则下，适当地改变了例题，增设了由浅入深，各有千秋的问题，为学生顺利掌握提取公因式法提供了有利条件；(如抢答或游戏找公因式和例 4)总而言之 ,努力营造出平等、轻松、活泼的教学氛围。从新课标评价理念出发，抓住学生语言、思想等方面的亮点给与表扬，不足的给予帮助、鼓励，提高学生学数学，用数学的信心。
