《用二分法求方程的近似解》教案6（新人教a版必修1）.doc

1、3.1.2 用二分法求方程的近似解整体设计教学分析求方程的解是常见的数学问题，这之前我们学过解一元一次、一元二次方程，但有些方程求精确解较难.本节从另一个角度来求方程的近似解，这是一种崭新的思维方式，在现实生活中也有着广泛的应用.用二分法求方程近似解的特点是：运算量大，且重复相同的步骤，因此适合用计算器或计算机进行运算.在教学过程中要让学生体会到人类在方程求解中的不断进步.三维目标1.让学生学会用二分法求方程的近似解，知道二分法是科学的数学方法.2.了解用二分法求方程的近似解特点，学会用计算器或计算机求方程的近似解，初步了解算法思想.3.回忆解方程的历史，了解人类解方程的进步历程，激发学习的热

2、情和学习的兴趣.重点难点用二分法求方程的近似解.课时安排1 课时教学过程导入新课思路 1.(情景导入)师：(手拿一款手机)如果让你来猜这件商品的价格，你如何猜？生 1：先初步估算一个价格，如果高了再每隔 10 元降低报价.生 2：这样太慢了，先初步估算一个价格，如果高了每隔 100 元降低报价.如果低了，每 50元上升；如果再高了，每隔 20 元降低报价；如果低了，每隔 10 元上升报价生 3：先初步估算一个价格，如果高了，再报一个价格；如果低了，就报两个价格和的一半；如果高了，再把报的低价与一半价相加再求其半，报出价格；如果低了，就把刚刚报出的价格与前面的价格结合起来取其和的半价师：在现实生

3、活中我们也常常利用这种方法.譬如，一天，我们华庄校区与锡南校区的线路出了故障，(相距大约 3 500 米) 电工是怎样检测的呢？是按照生 1 那样每隔 10 米或者按照生 2 那样每隔 100 米来检测,还是按照生 3 那样来检测呢？生：(齐答) 按照生 3 那样来检测.师：生 3 的回答，我们可以用一个动态过程来展示一下(展示多媒体课件，区间逼近法).思路 2.(事例导入)有 12 个小球，质量均匀，只有一个球是比别的球重，你用天平称几次可以找出这个球，要求次数越少越好.(让同学们自由发言，找出最好的办法 )解：第一次，两端各放六个球，低的那一端一定有重球.第二次，两端各放三个球，低的那一端

4、一定有重球.第三次，两端各放一个球，如果平衡，剩下的就是重球，否则，低的就是重球.其实这就是一种二分法的思想，那什么叫二分法呢？推进新课新知探究提出问题解方程 2x-16=0.解方程 x2-x-2=0.解方程 x3-2x2-x+2=0.解方程(x 2-2)(x2-3x+2)=0.我们知道，函数 f(x)=lnx+2x-6 在区间(2 ，3)内有零点.进一步的问题是，如何找出这个零点的近似值？“取中点”后，怎样判断所在零点的区间?什么叫二分法?试求函数 f(x)=lnx+2x-6 在区间 (2，3)内零点的近似值.总结用二分法求函数零点近似值的步骤.思考用二分法求函数零点近似值的特点.讨论结果：

5、x=8.x=-1,x=2.x=-1,x=1,x=2.x= ,x= ,x=1,x=2.2-如果能够将零点所在的范围尽量缩小，那么在一定精确度的要求下，我们可以得到零点的近似值.为了方便，我们通过“取中点”的方法逐步缩小零点所在的范围.“取中点”,一般地,我们把 x= 称为区间(a,b)的中点 2ba比如取区间(2，3)的中点 2.5,用计算器算得 f(2.5)0,则 f(2)f(3)0,可得出根所在区间(1,2)；引发学生思考，如何进一步有效缩小根所在的区间；共同探讨各种方法，引导学生探寻出通过不断对分区间，有助于问题的解决；用图例演示根所在区间不断被缩小的过程，加深学生对上述方法的理解；引发学

6、生思考在有效缩小根所在区间时，到什么时候才能达到所要求的精确度.学生简述上述求方程近似解的过程.解：原方程即 2x+3x-7=0,令 f(x)=2x+3x-7,用计算器或计算机做出函数 f(x)=2x+3x-7 的对应值表与图象(3-1-2-2).x 0 1 2 3 4 5 6 7 8f(x) -6 -2 3 10 21 40 75 142 273图 3-1-2-2观察图表可知 f(1)f(2)0，这表明此函数图象在区间(2，3)上穿过 x 轴一次，即方程 f(x)=0 在区间 (2，3)上有唯一解.图 3-1-2-3计算得 f( )= 0，发现 x1(2 ，2.5)(如图 3-1-2-3)，

7、这样可以进一步缩小 x1 所在的区234间.解：设 f(x)=x2-2x-1，先画出函数图象的简图，如图 3-1-2-3.因为 f(2)=-10，所以在区间(2，3)内，方程 x2-2x-1=0 有一解，记为 x1.取 2 与 3 的平均数 2.5，因为 f(2.5)=0.250，所以 20 x1(2,3),f(2)0 x1(2,2.5),f(2.25)0 x1(2.25,2.5),f(2.375)0 x1(2.375,2.5),f(2.375)0 x1(2.375,2.437 5).因为 2.375 与 2.437 5 精确到 0.1 的近似值都为 2.4，所以此方程的近似解为 x12.4.

8、点评：利用同样的方法，还可以求出方程的另一个近似解.思路 2例 1 利用计算器，求方程 lgx=3-x 的近似解(精确度 0.1).活动：学生先思考或讨论后再回答，教师点拨、提示并及时评价学生.分别画出 y=lgx 和 y=3-x 的图象，如图 3124 所示.在两个函数图象的交点处，函数值相等 .因此，这个点的横坐标就是方程 lgx=3-x 的解.由函数 y=lgx 与 y=3-x 的图象可以发现，方程 lgx=3-x 有唯一解，记为 x1，并且这个解在区间(2，3)内.图 3-1-2-4解：设 f(x)=lgx+x-3，设 x1 为函数的零点即方程 lgx=3-x 的解.用计算器计算，得f

9、(2)0 x1(2,3)，f(2.5)0 x1(2.5,3)，f(2.5)0 x1(2.5,2.75)，f(2.5)0 x1(2.5,2.625)，f(2.562 5)0 x1(2.562 5,2.625).因为 2.562 5 与 2.625 精确到 0.1 的近似值都为 2.6，所以原方程的近似解为 x12.6.例 2 求方程 lnx-2x+3=0 在区间1,2内的根(精确度 0.1).解：设 f(x)=lnx-2x+3,则原方程的根为函数 f(x)的零点.设 x1 为函数的零点即方程 lnx-2x+3=0 的解.如图 3-1-2-5,因为 f(1)=1,f(2)=-0.306 852 8

10、19,所以 f(1)f(2)0,f(1.812 5)=-0.030 292 8920,即 f(1)f(2)0,f(1.5)=-2.8750,所以 f(x)=2xln(x-2)-3 在区间(3,4) 上有一个零点.又因为 f(x)=2xln(x-2)-3 在(2,+) 上是增函数,所以 f(x)在(3,4)上有且仅有一个零点.(3)作出函数图象(图 3-1-2-8(3),因为 f(0)0,所以 f(x)=ex-1+4x-4 在区间(0,1)上有一个零点.又因为 f(x)=ex-1+4x-4 在(-,+)上是增函数,所以 f(x)在(0,1)上有且仅有一个零点.(4)作出函数图象(图 3-1-2-

11、8(4),因为 f(-4)0,f(-2)0,所以 f(x)=3(x+2)(x-3)(x+4)+x 在(-4,-3),(-3,-2),(2,3)上各有一个零点.图 3-1-2-8(课本第 91 页练习)1.由题设可知 f(0)=-1.40,于是 f(0)f(1)0,所以函数 f(x)在区间 (0，1)内有一个零点 x0.下面用二分法求函数 f(x)=x3+1.1x2+0.9x-1.4 在区间(0，1)内的零点.取区间(0，1) 的中点 x1=0.5,用计算器可算得 f(0.5)=-0.55.因为 f(0.5)f(1)0,所以 x0(0.5,1).再取区间(0.5，1)的中点 x2=0.75,用计

12、算器可算得 f(0.75)0.32.因为 f(0.5)f(0.75)0,所以 x0 (0.5,0.75).同理,可得 x0(0.625,0.75)，x 0(0.625,0.687 5)，x 0(0.656 25,0.687 5).由于|0.687 5-0.656 25|=0.031 250.1,所以原方程的近似解可取为 0.656 25.2.原方程可化为 x+lgx-3=0,令 f(x)=x+lgx-3,用计算器可算得 f(2)-0.70,f(3)0.48.于是 f(2)f(3)0,所以这个方程在区间(2,3)内有一个解 x0.下面用二分法求方程 x=3-lgx 在区间(2,3)的近似解.取区

13、间(2,3)的中点 x1=2.5,用计算器可算得 f(2.5)-0.10.因为 f(2.5)f(3)0,所以 x0(2.5,3).再取区间(2.5,3)的中点 x2=2.75,用计算器可算得 f(2.75)0.19.因为 f(2.5)f(2.75)0,所以x0(2.5,2.75).同理,可得 x0(2.5,2.625),x 0(2.562 5,2.625),x0(2.562 5,2.593 75),x0(2.578 125,2.593 75),x0(2.585 937 5,2.59 375).由于|2.585 937 5-2.593 75|=0.007 812 50.01,所以原方程的近似解可取为 2.593 75.(课本第 92 页习题 3.1)A 组1.A,C点评：需了解二分法求函数的近似零点的条件.2.由 x,f(x)的对应值表可得 f(2)f(3)0,f(3)f(4)0,f(4)f(5)0,又根据“如果函数 y=f(x)在区间a,b上的图象是连续不断的一条曲线，并且 f(a)f(b)0，